【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第34讲《相似三角形的性质及应用》预习讲学案

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第34讲 相似三角形的性质及应用

一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则







要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.
即 .
要点：


过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到．
三、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点：测量旗杆的高度的几种方法：







平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　
要点：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．


例1．已知ABC∽DEF，若AB：DE＝1：2，则ABC与DEF的面积之比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．
解：∵△ABC∽△DEF，

∵ AB：DE＝1：2，，
∴△ABC与△DEF的面积比
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．
例2．已知，，若，则（       ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质得到，代入求解即可．
解：∵，
∴，即，
解得．
故选：A．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
例3．如图，AB∥CD，，AB＝2，则CD的长为（　　）


A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
通过证明△ABE∽△DEC，可得，即可求解．
解：∵，
∴△ABE∽△DEC，
∴ ， 而，AB＝2，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
例4．如图，小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，在D处发现自己在地面上的影子长是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是（       ）米．

A．4.6 B．5.6 C．7.5 D．8.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应边成比例可解．
解：∵AD=5，DE=2，
∴AE=7，
∵AB⊥AE，CD⊥AE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∴（米）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
例5．如图：在△ABC中，AB＝AC，D是AC上的一点，且∠A＝∠DBC＝36°，则下列结论不成立的是（　　）

A．BC＝AD B．点D是AC的黄金分割点
C． D．BC2＝AC•CD
【答案】C
【解析】
【分析】
由等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°，
∵∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BC＝BD，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴BC＝AD，故选项A成立，不符合题意；
∵∠A＝∠DBC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD＝BC：DC，
∴AB：AD＝AD：DC，
∴点D是AC的黄金分割点，AB：BC＝BD：CD，故选项B成立，选项C不成立；
D、∵AD2＝AB•CD，AD＝BC，
∴BC2＝AB•CD，故选项D成立；
故选：C．
【点睛】
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
例6．如图，中，点D、E分别在、上，且，下列结论错误的是(     )

A． B．
C．与的面积比为 D．与的周长比为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中成比例线段证，从而即可进行判断；
解：∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴，
∴，；故B不符合题意；
∴，故A不符合题意；
∵，
∴与的周长比为；故D符合题意；
∴，故C不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
例7．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由BE、CD是△ABC的中线， 可得 即，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，从而可判断④．
解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ 即，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
故②错误；
③∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△DOE∽△COB，
，
∴，
故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，
且△ABC与△BOC同底（BC），
∴，
由②和③知，，，
∴，
∴，
∴．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选C．

【点睛】
本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．
例8．如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
证明，得出；证明，，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．
解：，
；
；
，
，，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
例9．的边上有、、三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
例10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（　　）

A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案
解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．

【点睛】
此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
例11．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米．

【答案】8
【解析】
【分析】
由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
例12．如图，已知，，、交于，，，，则________．

【答案】6
【解析】
【分析】
由题意在Rt△CDF中可求得，由条件可证得△CDF∽△EDB，可得，可求得BE，由勾股定理可求得DE，进一步可求得EF，再证明△BDE∽△BAC，可得到，进而分析即可求得AC．
∵CA⊥DB，DE⊥AB，
∴∠DCF=∠BED，且∠D=∠D，
∴△CDF∽△EDB，
∴，
∵BC=3，BD=5，
∴CD=2，且FC=1，
在Rt△CDF中，，
∴，
解得，
在Rt△BDE中，BD=5，，则，
同理可证得△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
解得AC=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法以及勾股定理是解题的关键．
例13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长__．

【答案】
【解析】
【分析】
作EH⊥BC于H，如图，利用等腰直角三角形的性质得BCAB＝16，∠C＝45°，再计算出EH＝CH＝4，则BH＝12，利用勾股定理计算出BE后根据射影定理计算出BF，然后计算BC−BF即可．
作EH⊥BC于H，
如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，
∴BCAB＝16，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝4，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH4，
∴BH＝12
在Rt△ABE中，BE4，
在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH•BF，即BF，
∴CF＝BC﹣BF＝16．
故答案为．

【点睛】
本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了等腰直角三角形的性质．
例14．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，连接交于点F已知，则___．（用含m、n、k的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】
作交于点M，首先证明OM是△ABC的中位线，求出OM，FM，再根据△OMF∽△EBF，可得，由此求出BE即可．
解：如图，过点O作交于点M．

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得．
故答案为．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
例15．已知Rt△ABC≌Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是边AB的中点，∠FDE的两边分别与AC交于点G、H．当△BDH与△ADG相似时，CH的长为__．

【答案】或．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，然后分为三种情况讨论：当△BDH与△ADG相似时，①∠A＝∠DBH，②∠A＝∠BHD，③∠A＝∠HDB，对于①∠A＝∠DBH，②∠A＝∠BHD利用三角形相似的性质即可求解，③根据外角的性质判断出不存在．
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
①当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠DBH，
∴AH＝BH，
∵点D是边AB的中点
∴HD⊥AB
∴∠ADH＝∠C＝90°
∴△ADH∽△ACB
∴
∴
∴AH
∴CH＝AC﹣AH＝8；
②当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠BHD
∵∠ABH＝∠DBH
∴△ABH∽△HBD
∴
∴BH5
∴CH；
③当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠HDB
∵HDB是△ADH的外角
∴∠HDB＞∠A
∴这种情况不存在．

故答案为或．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，根据题意选择适当的方法证明两三角形相似，并利用三角形相似的性质解答是本题的关键．
例16．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．

【答案】1或
【解析】
【分析】
分两种情形：①如图，当△PFE∽△EAD时，②如图，当△EFP∽△EAD时，分别求解即可．
解：①如图，当△PFE∽△EAD时，
∴∠ADE=∠FEP，
∴AD∥PE，
∴PE⊥CD，
∴四边形AEPD是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，
∴t=DP=AE=1；

②如图，当△EFP∽△EAD时，
∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP，
∵DC∥AB，
∴∠AED=∠CDE，
∴∠FEP=∠CDE，
∴PD=PE，
∴PF是DE的垂直平分线，
∴F为DE中点，
DE=，
EF=DF=DE=，
∵，
即，
解得t=DP=，
综上所述，满足条件的t的值为1s或s．
故答案为：1或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．


一、单选题
1．在△ABC中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(       )
A．2 B． C．4 D．2
【答案】A
【解析】
根据相似三角形对应边成比例，得：△A′B′C′的三边比为2:3:4，由于两边长为1和1.5，即2:3，则第三边为，
故选A.
2．在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则下列等式中错误的是（       ）
A．AC﹒BC=AB﹒CD B．AC﹒BD=BC﹒AD
C．AC2=AB﹒AD D．CD2=AD﹒BD
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，根据△ABC面积的两种计算方法可以判断A成立，根据△ACD~△CBD可以判断B错误、D正确，根据△ACD~△ABC可以判断C正确．
解：如图，

A、根据△ABC面积的两种计算方法可知等式成立，正确；
B、由题意可知△ACD~△CBD,所以,所以AC﹒BD=BC﹒CD，错误；
C、由题意可知△ACD~△ABC,所以,所以AC2=AB﹒AD，正确；
D、由题意可知△ACD~△CBD, 所以,所以CD2=AD﹒BD，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形被斜边上高分成若干相似三角形是解题关键．
3．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于                                                                                                      （　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：在△BDE和△ADC中，
∠C=∠E，∠BDE=∠ADC
∴△BDE∽△ADC
∴
∵BC=8，BD：DC=5：3，
∴BD=5，CD=3
∴DE=
故选D.
考点：相似三角形的判定与性质.
4．如图，在中，，垂直平分，延长至点D，使，连接．若，则等于（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质证明，可得到，即可得到，得到，即可得到结果；
由题意知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AMN和Rt△NDC中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．
5．如图，已知在中，，，则下列比例式中正确的个数为（       ）
①       ②     ③     ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定及性质分析结论即可．
解：∵，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，故④正确；
由可得：，即，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
综上所述：正确的有②③④．
故选：C
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质．
6．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（       ）．

A．∽ B．∽
C．∽ D．∽
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
又∵∠A=∠A
∴△ADB∽△AEC
∴
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC，故A正确；
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
又∵∠EOB=∠DOC
∴△BOE∽△COD，故C正确；
∵△BOE∽△COD
∴
又∵∠DOE=∠COB
∴△DOE∽△COB，故B正确；
无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键.
7．如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.

当作了1个正方形时，如图所示，
过A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于N，
∴∠AMC=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC，
∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°，
∵∠GAH=∠BAC，
∴△AGH~△ABC，
∴AN:AM=GH:BC，
∵△ABC面积为12，BC为6，
∴，
∴AM=4，
设GH=，
∵GF=NM=GH，
∴AN=AM−NM=AM−GH=，
∴，
∴，
同理，当时，根据正方形性质可得：DN=2DE，
∴，
∴，
以此类推，当为第n个正方形时，每个小正方形边长为：，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
8．如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可求BD，，从而得到QC，由勾股定理即可求解；
解：∵在矩形中，，，
∴
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
9．如图，将⊙O的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，M也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（       ）

A． B． C．BN＝NM＝ME D．∠A＝36°
【答案】C
【解析】
【分析】
由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接CO、OD求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD、AE，得出AM＝EM，再根据黄金分割的定义和相似三角形的性质判断即可．
连接CO、OD 、CD、AE，
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD＝72°，
∴∠CAD＝36°；D正确，不符合题意；
同理可得，∠BEA＝∠DAE＝∠BDC＝∠ECD＝∠ADB＝36°；
∴AM＝EM，∠AMN＝72°；
∴AM≠MN，C错误，符合题意；
∵M也是线段NE的黄金分割点,
∴，即，A正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝72°；
∴△ADC∽△AMN，
∴，
同理∠ACD＝∠ADC＝72°；
∴∠ACD＝∠DFC＝72°；
∴DC＝DF，
∴，B正确，不符合题意；
故选：C

【点睛】
本题考查了圆周角定理、黄金分割和相似三角形，解题关键是根据圆周角定理求出角度，利用黄金分割和相似三角形解决问题．
10．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（       ）个．
①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论.
解：因为，，所以 =90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确；
由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确；
因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确；
因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确；
若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误；
因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确；
5个正确，
故答案为：D .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题
11．如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________．

【答案】3
【解析】
【分析】
由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．
解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
∵AC=2，AD=1，
∴，
解得DB=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．
12．如图，四边形中，，，，与相交于点，的面积为3，则的面积是______．

【答案】27
【解析】
【分析】
首先证明△AOD∽△COB，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出的面积.
解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积是27，
故答案为：27.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
13．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离.如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，若小林能看到整个红灯，则x的最小值为_____.

【答案】10m
【解析】
【分析】
根据平行证出，列出比例式即可求出的最小值.
解：如下图，当红灯，大巴车车车顶和小张的眼睛三点共线时，最小，
由题意可知，

∴
∴
即，
解得.
∴的最小值为10m.
故答案为：10m.
【点睛】
此题考查的是相似三角形的应用，掌握利用平行证相似及相似三角形的性质是解决此题的关键.
14．如图，四边形中，、相交于，若，，，，则______．

【答案】10
【解析】
【分析】
首先证明△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的性质求解即可.
解：∵，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴，即，
∴AD=10，
故答案为10.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
15．如图，在中，，分别是，上的点，平分，交于点，交于点，若，且，则_______．

【答案】3：5
【解析】
【分析】
根据题意利用相似三角形的性质即相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题.
解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，
∴（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），AG：FG=3：2，
∴AG：AF=3：5，
∴DE：BC=3：5，
故答为3：5．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，难度一般．
16．如图，在ABCD中，点E在CD边上运动(不与C，D两点重合)，连结AE并延长与BC的延长线交于点F.连结BE，DF，若△BCE的面积为8，则△DEF的面积为________．

【答案】8
【解析】
试题解析：




故答案为
17．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是_____．

【答案】秒或4秒
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
设运动时间是秒
∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动

由题意可得：当时，点P运动到端点B，此时点Q正好运动到端点A，均停止运动
则要使A、P、Q三点能构成三角形，t的取值范围为
，且以A、P、Q为顶点的三角形与相似
∴或
即或
∴或
故答案为：秒或4秒.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，依据题意将三角形相似分两种情况讨论是解题关键.
18．如图，边长为的正方形中，点是上一点，点是上一点．点关于直线的对称点恰好在延长线上，交于点．点为的中点，若，则=_____．

【答案】5
【解析】
【分析】
连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，证得APHQ为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG长．
解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，

∵点F，点G关于直线DE的对称，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，
∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，

∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，

∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，
又在△PFF与△DQH中有:

∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易证△FPH∽△EHG，
则有，即,
又FH2=22+42=20，PH=4，
∴EG=5
故答案为5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
19．根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．

【答案】（1）相似，，；（2）相似，，
【解析】
【分析】
（1）由题得，，根据两角对应相等的两个三角形相似可得，，由相似三角形的性质得，，解出，即可；
（2）由，从而得出，，由，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，，由相似三角形的性质可解出，．
在图（1）中，
，
，
，
，
解得：，；
在图（2）中，
，
，
，
，
， ，
，．
【点睛】
本题考查了相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定．
20．如图，与相似，AD，BE是的高，，是的高，求证．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由△ABC与△A′B′C′相似可得∠ABD=∠A′B′D′，可证明△ABD∽△A′B′D，可得，同理可证明，可得出结论．
证明：∵△ABC与∽A′B′C′，
∴∠ABD=∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB=∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴，
同理可得，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．
21．如图，在中，点D，E分别在边和上，且．

（1）若，则等于多少？
（2）若，则，各等于多少？
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质，得出，可得，依据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，由图形中的三角形、四边形的关系即可得出面积比；
（2）由（1）得：且，可得：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出三角形的相似比，即：，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即可得出答案．
解：（1）∵DE//BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题关键．
22．如图，已知，．


（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由，可得：再代入数据可得答案；
（2）由，可得：再代入数据可得答案；
（3）由，可得：再利用角的和差可得答案；
解：（1）

，



（2） ，

而


（3） ，


【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE
∴，，
∴，
即．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后可得，最后问题可求证．
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）可得，
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．如图，、、是全等的三个等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，，连接交、、分别为P、Q、R．

（1）试证
（2）求．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）根据SAS判定即可；
（2）由全等三角形对应角相等，继而证明，进而可证明，最后由相似三角形对应边成比例解题．
解：（1）据题意知，，，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：
∵
∴．
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
(2)
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
27．如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．

(1)求证：﹔
(2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
(3)连接NP，当是直角三角形时，求AE的值．
【答案】(1)见解析
(2)；定义域为
(3)AE的值为，
【解析】
【分析】
（1）过点E作交AC于H ，可得△EHN∽△GCN，根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据直角三角形的性质可得，．从而得到，再由△EHN∽△GCN，可得CN=2HN，从而得到，进而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，过E点作交BC边于Q点，即可求解．
(1)
证明：过点E作交AC于H ，

∴，△EHN∽△GCN，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
(2)
解∶∵
∴．
∴，
∵，
∴．CG=x，
∴，
由（1）得：△EHN∽△GCN，
∴，即CN=2HN，
∵HN+CN=CH，
∴，
∴   
∴；
定义域为：
(3)
解∶当时，则∠PNG=90°，

∴∠PNC+∠CNG=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACG=90°，
∴∠PNC+∠CPN=90°，
∴∠CPN=∠CNG，
∵∠CNG=∠ENH，
∴∠CPN=∠ENH，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠EPN=∠PEN=45°，
∴EN=PN，
∵∠ACB=∠EHN=90°，
∴，
∴，
由（2）得：CN=2HN，
∴，
∴，解得：，
当时，过E点作交BC边于Q点，

∴∠EPQ+∠CPN=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∴∠CNP=∠EPQ，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠PNE=∠PEN=45°，
∴EP=PN，
∵∠ACB=∠EQP=90°，
∴，
∴EQ=CP，PQ=CN，
∵EH⊥AC，BC⊥AC，
∴CH=EQ=AC-AH=，
∴，
∴，
∵EQ⊥BC，
∴EQ∥AC，
∴∠BEQ=30°，
∴，
∴，
解得：．
综上所述，AE的值或．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键．