【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第33讲《两个相似三角形的判定》预习讲学案

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第33讲 两个相似三角形的判定

相似三角形的判定定理

1.（一）相似三角形判定的预备定理
A
B
C
D
E

D
E
A
C
B
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。









2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
　
3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

例1．下列能判定的条件是(          )
A． B．且
C．且 D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两三角形相似的判定方法之一：两边对就成比例，且夹角相等，两三角形相似.
A只有两边对就成比例，不能判定相似；
B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
C有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定；
D有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似．
故选：B.
【点睛】
利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角．
例2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
解：∵∠BAC=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
例3．下列说法，其中正确的有（　　）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定以及等腰三角形的性质可以作出解答．
各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形与等腰三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定以及等腰三角形的性质求解是解题关键．
例4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（     ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，

①

，


，
故①是不正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
例5．下列说法中，正确的是（       ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．
A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形相似的判定判定即可；
①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．
例6．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
例7．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）

A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
例8．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为(             )

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以D，， 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．
根据题意得，，.
连接，，，.
故，∴.
同理可找到，和相似.故选B.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”,　理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键．
例9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
例10．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且，求证：△ABC∽△DAC．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据，可以得到，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到，即可得证.
解：∵，
∴，
∵CA是∠BCD的角平分线，
∴，
∴.

【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件.
例11．如图，在四边形中，，，．求证：∽．

【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.
例12．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
例13．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：

【答案】见解析
【解析】
【分析】
过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．
证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴

【点睛】
本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
例14．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．

【答案】见解析．
【解析】
【分析】
两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．
证明:∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ECD=120°,
又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,
∠ADB+∠EDC=60°
∴∠DAB=∠EDC
△ABD∽△DCE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形．
例15．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
例16．如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结
（1）求证：；
（2）连结，如果，且，求的长．

【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；
（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合，即可求出AF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴，
∴；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴是等腰三角形，
∴BA＝BE＝6，
∵BG⊥AE，
∴AG=EG，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴，
即AG＝GE＝EF，
∵△GDF∽△DAF，AD=FD，
∴DG=FG，
∴DG=，
∵，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．


一、单选题
1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（        ）

A．AB∥CD B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（       ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．
解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】
相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．下列说法中，正确的是（       ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．
A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形相似的判定判定即可；
①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．
4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
5．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【解析】
试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．
6．如图，下列选项中不能判定的是（        ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A、∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD•AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．
7．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（       ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；
如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；
如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，
故选：C．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
8．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（     ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，

①

，


，
故①是不正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
9．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（       ）

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．
解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
试题解析：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．

如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；

如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；

如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．

故选D．
二、填空题
11．如图，已知，则_______，理由是______．

【答案】     ABC     两角分别对应相等的两个三角形相似
【解析】
【分析】
结合相似三角形的判定即可求解．
解：
（两角分别对应相等的两个三角形相似）
故答案是：①ABC；②两角分别对应相等的两个三角形相似．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．
12．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．

【答案】
【解析】
【分析】
运用“两角对应相等，两三角形相似”进行解答.
若∠1=∠B，因∠A是公共角，可证明∽；若∠2=∠ACB，因∠A是公共角，可证明∽.
【点睛】
本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
13．如图，若，则．

【答案】DE
【解析】
【分析】
结合相似三角形的性质即可求解
解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
【点睛】
本题主要考察相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（）连接的两个三角形，则相同位置的顶点是对应顶点．
14．如图，在中，，则图中相似三角形共有______对．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似．
解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似．
∴相似三角形共有6对．
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．
15．如图，在四边形ABCD中，DE∥BC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件________(不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE.

【答案】答案不唯一，如CF∥DA
【解析】
分析：在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
详解：添加条件：CF∥DA．理由如下：
          ∵CF∥DA，∴∠A=∠CFE．∵DE∥BC，∴∠DEA=∠B，∴△FCB∽△ADE．
故答案为答案不唯一，如CF∥DA．
点睛：这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
16．在和中，，，，，则__时，和相似．
【答案】或
【解析】
【分析】
由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分与两种情况进行讨论．
解：，
当时，，
又∵，，，
即，
解得：；
当时，，
又∵，，，
即，
解得：．
综上所述，当或时，和相似．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
17．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）

【答案】③④⑤
【解析】
【分析】
两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【解析】
【分析】
先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.

【点睛】
对于新定义问题，读懂题意是关键.
三、解答题
19．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（l），，，
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，，即可推出，由此即可得到答案；
（2）由题意可以证明，再由，即可证明．
解：（1）∵，，，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
20．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
21．如图，在中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且.
求证：.

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
本题要证明，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明，即可完成．
证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴
∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．
22．如图，P是的边上的一点．

（1）如果，与是否相似？为什么？
（2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？
【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等．
【解析】
【分析】
（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解．
解：（1）相似，理由如下：
∵，，
∴；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴；
不相似，理由如下：
因为虽然，但它们的夹角 与 不相等，
所以与不相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）可由相似三角形对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
（1）证明：四边形是菱形，
，，，
又是公共边，
，
，，
由得，，
，
又
，∴PA：PF=PE：PA，

．
（2），，
，
，
，


，
又，

．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
24．已知，如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，过点C作直线于D（），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交于点F.连接AF与直线CD交于点G，
     
（1）求证：
（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证AC2=AG•AF，即证AC：AG=AF：AC，可以通过证明△AGC∽△ACF得到；
（2）分清E点在AD上有两种情况，然后逐一证明．
（1）证明：连接CB，

∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，
∴△CAD∽△BAC，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠ABC=∠AFC，
∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴，
∴AC2=AG•AF；
（2）当点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论仍成立
①当点E与点D重合时，F与G重合，如图所示：

有AG=AF，∵CD⊥AB，
∴ ，AC=AF，
∴AC2=AG•AF；
②当点E与点D不重合时（不含点A）时，如图所示：

证明类似（1）．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定方法及圆周角定理的综合运用，熟练掌握相关的性质及定理是解答此题的关键．
25．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP

（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；
（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1，
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明即可；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；
（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题．
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∴∠ADP＝∠BDF，
∵∠DAP＝∠DBF＝45°，
∴△ADP∽△BDF；
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．
∵∠ACB＝45°，PC＝，
∴PH＝CH＝1．
由（2）得：BE＝PE＝PF，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝30°，
∴PF＝2，
∴HF＝，
∴CF＝﹣1，

【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．