【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第10讲《中考怎么考-二次函数与方程、根与系数的关系》预习讲学案

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第10讲 中考怎么考-二次函数与方程、根与系数的关系
一、解答题
1．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且．


(1)若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数的最小值在对称轴时取得为-1，然后根据和两种情况考虑自变量离对称轴的远近来确定二次函数的最大值即可求解．
(1)
解：①将点代入中，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为；
(2)
解：二次函数的对称轴为直线，
当，点M、N在对称轴的异侧，
∴二次函数的最小值为当时取得，此时最小值为，
对于开口向上，对称轴的二次函数最大值，根据点到对称轴距离，分类讨论：
①当时，即时，结合已知条件，解出，
此时二次函数的最大值为时取得，且最大值为，
∵二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴，
∴，
又∵，则，从而，
∴，
∴a的取值范围为；
②当，即时，结合已知条件，解出，
此时二次函数的最大值为时取得，且最大值为，
∵二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴，
∴，
又∵，则，有，从而，
∴，
∴a的取值范围为；
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)的值为4
(3)
【解析】
【分析】
（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；
（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是．
(1)
解：把代入得：
，
解得，
；
答：抛物线的函数表达式为；
(2)
解：抛物线的顶点为，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，
把代入得：
，
解得，
答：的值为4；
(3)
解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，
点，都在抛物线上，
，
，
y1＞y2，
，
整理变形得：，

，

解得，
的取值范围是．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
3．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．
(1)
由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
(2)
由题意，得，
∵，
∴b=-4h，c=
∴，
∴当时，的最小值是．
(3)
由题意，得
因为函数y的图像经过点，
所以，
所以，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．
4．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②最小值为
【解析】
【分析】
（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
(1)
抛物线与x轴相交于点
解得
；
(2)
①点是抛物线上不同的两点．

若，则．

；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．（2022·浙江·杭州采荷实验学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2的值；
(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．
【答案】(1)a＜0
(2)x1+x2＝﹣4
(3)a≤0或a＝1
【解析】
【分析】
（1）先将抛物线解析式化成顶点式，求出抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2），再根据第二象限内点的坐标特征得出不等式组，求解即可；
（2）将抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2）代入反比例函数解析式即可求得a=-2，从而得出抛物线顶点坐标（﹣2，4），再利用抛物线的对称性和中点坐标公式求解即可；
（3）根据当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，得出不等式组或方程组，求解即可．
(1)
解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2＝﹣（x﹣a）2﹣a+2，
∴抛物线y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2的顶点为（a，﹣a+2），
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴，
解得a＜0；
(2)
解：∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标为(a,-a+2)，
又∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上，
∴a（﹣a+2）＝﹣8，
解得a＝4或a＝﹣2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴顶点为（﹣2，4），
∵y1＝y2，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝﹣2对称，
∴＝﹣2，
∴x1+x2＝﹣4；
(3)
解：∵当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴或，
解得a≤0或a＝1，
故a的取值范围为a≤0或a＝1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
6．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为．
(1)求抛物线的对称轴及c的值．
(2)若该抛物线与直线只有一个公共点．
①求a的值；
②若点，在该抛物线上，当，时，均满足，求m的取值范围
【答案】(1)x＝1，c＝0
(2)①；②m＜0或m＞1
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线对称轴直线求抛物线对称轴，再将点代入解析式即可求解．
（2）①令ax2－2ax＝x－2，由抛物线与直线y＝x－2只有一个公共点可得，进而可求得答案；②点A（m，y1）与点B（m＋2，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，结合图象求解；点A（m－1，y1）与点B（m＋1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，结合图象即可求解．
(1)
∵y＝ax2－2ax＋c，
∴抛物线对称轴为直线，
把（2，0）代入y＝ax2－2ax＋c得0＝4a－4a＋c，
解得c＝0，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，c＝0．
(2)
①∵c＝0，
∴y＝ax2－2ax，
令ax2－2ax＝x－2，整理得ax2－（2a＋1）x＋2＝0，
∵该抛物线与直线y＝x－2只有一个公共点，
∴Δ＝（2a＋1）2－8a＝0，解得，
∴，
②如图，点A（m，y1）与点B（m＋2，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，

则，
解得m＝0，
∴m＜0满足题意，
如图，点A（m－1，y1）与点B（m＋1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，

则，
解得m＝1，
∴m＞1满足题意，
综上所述，m＜0或m＞1．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合解题．
7．（2022·浙江杭州·九年级期末）在直角坐标系中，设函数（m、n是实数）．
(1)当时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
(2)若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
(3)若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），当时．求证：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，解得即可；
（3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
(1)
当时，则，
把点代入得，，
，
，即；
(2)
，
抛物线与轴的交点为，，
抛物线的对称轴为直线，
∵，
对称轴为直线，
抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
，
；
(3)
证明：函数的图象经过，两点，是实数），
，，


，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
8．（2022·浙江杭州·一模）已知二次函数（a为常数）．
(1)若该函数图象经过点，求a的值；
(2)在（1）的情况下，当时，求y的取值范围；
(3)当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上两点，对任意的，，，总满足，试求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）将点P坐标代入表达式，即可求出a值；
（2）根据x的范围结合开口方向和对称轴可得y的最值；
（3）由x≥3时，y随x的增大而增大，可得3a≤3，即a≤1；又由二次函数的增减性可知，x=3a时，ymin=9-9a2；x=5时，ymax=34-30a；根据y1-y2≤9a2+25，建立不等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．
(1)
解：把代入表达式中，得：，解得：；
(2)
解：，∴对称轴为直线．图象大致如下：


由图可知，当时，；当时，．
．
(3)
解：∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
已知当时，y随x的增大而增大，∴，∴．
∵，，
∴当时，，当时，．
由题意可知，，
∴，．
∴．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．
9．（2022·浙江金华·一模）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”．

(1)函数对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象．
(2)函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
【答案】(1)是，见解析；
(2)或；
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据定义进行判断即可，根据对称性画出函数图象即可；
（2）当直线过点时，得，当直线与函数图象相切时，联立方程，根据一元二次方程根的判别式等于0，解方程求解即可；
（3）分别求得当，函数与x轴相切时，当，函数与直线相切时，当，函数经过点时，的值，结合函数图象求解即可．
(1)
在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”．
画图如下，

(2)
当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
(3)
当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，．
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
【点睛】
本题考查了新定义问题，二次函数函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，数形结合是解题的关键．
10．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1−x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
(1)求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
(2)若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
(3)设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2．如果对一切实数t恒成立，求m，n的值．
【答案】(1)截距为1
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解；
（2）由直线与轴成角，可得，由一元二次方程可得，可求的值；
（3）分别求出，，解不等式可求解．
(1)
解：根据题意可得
解得：或
，，
双曲线与直线上的“截距”，
(2)
解：直线与轴成角，



△

解得：，，
，



(3)
解：令，则，
，，

由，
，，
，
对一切实数恒成立，
，
，
①
当，且△时，①式对于一切实数恒成立，

且，为正整数，
或．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程等多个知识点，综合性较强，有一定的难度，题干中定义了“截距”新概念，解题的关键是理解“截距”这概念．
11．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线，，是常数，的对称轴为直线．
(1)　　；（用含的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在轴上，求的值；
(3)若抛物线过点，当时，二次函数的最值是，求的取值范围；
(4)当时，若关于的方程式在的范围内有解，求的取值范围，请借助函数图象解决问题．
【答案】(1)；
(2)0；
(3)；
(4)
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称轴公式；由对称轴，可以转化为用表示；
（2）根据抛物线的顶点在轴上，可知抛物线与轴只有一个交点，所以△，可得，从而得的值；
（3）由题意可知：抛物线的顶点是，根据最值是，可得不等式组：，可解答；
（4）由时，可得，根据关于的方程在的范围内有解，则，看作是抛物线与直线在的范围内有交点，画抛物线在的范围内与有交点，可得结论．
(1)
由题意得：抛物线的 解得，
故答案为：；
(2)
抛物线的顶点在轴上，
△，
，
，
，
，
；
(3)
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线的顶点是，
当时，二次函数的最值是，
，解得：；
(4)
当时，，

抛物线，
关于的方程式在的范围内有解，即关于的方程在的范围内有解，
，
可以看作是抛物线与直线在的范围内有交点，
当时，，时，，
如图所示，由图象得：的取值范围：．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值等知识．在（4）中确定画抛物线y=x2+4x与直线y=c有交点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
12．（2022·浙江丽水·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”．例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为（1，1）．
(1)在下列关于x的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“√”．
       ①________；②________；③________．
(2)若点A，点B是“等值函数”（其中m＞0）上的“等值点”，且，求m的取值范围；
(3)若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，n的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)①×，②√，③√；
(2)
(3)，．
【解析】
【分析】
（1）根据等值函数的定义判断即可；
（2）根据根与系数关系求出m的取值即可；
（3）根据得出m，n，k的关系式，分情况讨论得出k的值即可．
(1)
解：①∵时无解，
∴不是“等值函数”；
②时，解得，
∴是“等值函数”；
③时，
解得或，
∴是“等值函数”；
故答案为：①×，②√，③√；
(2)
解：∵是“等值函数”，
∴，
整理得，，
∵点A、点B是“等值函数”上的“等值点”，
设，，
∴，，，
∴

∵，∴，
∴；
(3)
解：∵“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，
∴，且，
∴，
，
∴，
n是关于m的二次函数，对称轴为，
①若，即，
当时，n有最小值k，，
∴；（舍去），
∴；
②若，即，当时，n有最小值k，，
解得（舍去）；
③若，即，当时，n有最小值k，，
解得；
综上所述：，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合知识，根据二次函数与x轴交点的个数得出的取值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，．
(1)若，
①点到轴的距离为______；
②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；
(2)已知点到轴的距离为，若此抛物线与直线必有两个交点，分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
【答案】(1)①16；②
(2)；
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式求点的纵坐标，进而求解；
把代入函数解析式，分别求出，，再作差求解；
（2）由点到轴的距离为可得，根据，结合图象可得抛物线开口向上时，点在点右侧时满足题意，进而求解．
(1)
解：把代入得，
点坐标为，
点到轴距离为，
故答案为：．
将代入得，
解得，，
．
(2)
解：点坐标为，
，
解得，
当时，总满足，
当时，随增大而减小，
，
当点在点右侧或与点重合，抛物线开口向上时满足题意，如图，

，
点纵坐标为，
将代入得，
解得，
时满足题意，
令，整理得，
抛物线与直线有个交点，
，
解得，
．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
14．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）已知二次函数y1＝x2+ax+1，y2＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．
(1)若a＝﹣2，求二次函数y1的顶点坐标．
(2)若b＝4a，设函数y2的对称轴为直线x＝k，求k的值．
(3)点P（x0，m）在函数y1图象上，点Q（x0，n）在函数y2图象上．若函数y1图象的对称轴在y轴右侧，当0＜x0＜1，b＝1时，试比较m，n的大小．
【答案】(1)（1，0）
(2)-2
(3)
【解析】
【分析】
（1）将代入抛物线解析式求出解析，再化成顶点式即可求得；
（2）把代入抛物线解析式中求出解析式，再根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意求得，即可判断函数y2图象开口向下，令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求解．
(1)
解：∵，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点坐标为；
(2)
解：∵，∴，
∴对称轴为直线，
设函数的对称轴为直线，
则；
(3)
解：∵函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴函数图象开口向下．
∵，
∴，
令，
整理得，
解得或，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，

由图象可知，当，．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
15．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数，，是实数，．
(1)若，且函数和函数的对称轴关于轴对称，求的值；
(2)若函数的图象过点，，求函数的图象与轴的交点个数；
(3)设函数，的图象两个交点的纵坐标分别为，，求证：的值与无关．
【答案】(1)；
(2)函数的图象与轴只有一个交点；
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解答．
（2）由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答．
（3）求得交点的横坐标，分别代入，求得、，即可得出．
(1)
解：根据题意知：，
因为，
所以；
(2)
将点，代入，得．
整理，得．
令，则，
∵．
∴函数的图象与轴只有一个交点；
(3)
证明：令，则，
解得，，
两个交点横坐标为1和，
，，
所以，
所以的值与无关．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与轴的交点问题，求二次函数值的问题，掌握二次函数的同学与性质是解题的关键．
16．（2022·浙江绍兴·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为．二次函数的图象如图所示．


(1)点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值．
(2)点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求的最小值及对应的点C的坐标．
②当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．
【答案】(1)5
(2)①（1，2）②或
【解析】
【分析】
（1）分别求出A、B的坐标，然后根据直角距离的定义求解即可；
（2）①先求出点C的坐标为（m，），则，由此求解即可；②分类讨论当时， 当时， 当时，三种情况分别求解即可．
(1)
解：∵点A是二次函数与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，4），
∵点B（-1，b）在二次函数的函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（-1，8），
∴；
(2)
解：①令x=m，则，
∴点C的坐标为（m，），
∴，
∵，，
∴，
∴当m=1时，有最小值，最小值为3，此时点C的坐标为（1，2）；
②∵，
∴当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，
把代入到中得，
把代入到中得，，
当时，解得，
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质．
17．（2022·浙江杭州·二模）设二次函数，其中为实数．
(1)若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式；
(2)把二次函数的图象向上平移个单位，使图象与轴无交点，求的取值范围；
(3)若二次函数的图象经过点，点，设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为0
【解析】
【分析】
（1）把代入解析式，即可解得a值，即可求解；
（2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为-1，则将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，因为图象与轴无交点，所以，即可求解；
（3）因为二次函数的对称轴为直线，设，则，．然后把，代入函数解析式，得．又因为，即可求出的最小值．
(1)
解：把，代入得
，解得．
∴二次函数的表达式为．
(2)
解：由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标，，
∴二次函数的对称轴为直线，
把代入解析式得顶点纵坐标为-1．
∴将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，
∵图象与轴无交点，
∴，
∴．
(3)
解：∵二次函数的对称轴为直线，不妨设，
∴，．
把，代入函数解析式，得．
因为，所以的最小值为0．
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．
18．（2022·浙江杭州·九年级期末）在直角坐标系中，设函数（是实数）．
(1)当时，若该函数的图像经过点，求函数的表达式；
(2)若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若该函数的图像经过两点（是实数）．当时，求证：0≤ab＜4．
【答案】(1)y＝x2+3x﹣4；
(2)m；
(3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m，根据二次函数的性质即可得出m2，解得即可；
（3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得．
(1)
当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），
把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；
(2)
∵y＝（x﹣m）（x﹣n），
∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴n＝m﹣1，
∴对称轴为直线x＝m，
∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m2，
∴m；
(3)
证明：∵函数的图像经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），
∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n），
∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n）
＝m（3﹣m）•n（3﹣n）
＝[﹣（m）2][﹣（n）2]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜﹣（m）22，
0≤﹣（n）22，
∴0≤ab＜4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
19．（2021·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线x＝a﹣1
(2)①y=0；②x1＝a﹣2
(3)a≥﹣1
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
(1)
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
(2)
解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
(3)
解：①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
20．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点(4，5)．
（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；
（2）若点M(a，y1)，点N(5，y2)在抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象上，且y1＞y2，求a的取值范围．
（3）在（1）的条件下，经过点的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）是定值，为
【解析】
【分析】
（1）将点(4，5)代入解析式，得到的方程，结合题意，求解即可；
（2）分两种情况进行讨论，和，根据二次函数的性质求解即可；
（3）设，，联立直线与抛物线，求得两根之和和两根之积，得到，求出、，再求解，进行化简求解．
解：（1）将点(4，5)代入解析式，得，即
又∵，即，解得
即抛物线的解析式为
（2）由抛物线y＝ax2+bx+5可得抛物线过点
所以抛物线的对称轴为
当时，时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小
即离对称轴越远，函数值越大
又∵y1＞y2
∴
解得或
∴
当时，时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
即离对称轴越近，函数值越大
又∵y1＞y2
∴
解得或
∴
综上：或
（3）设，，
将点代入直线得，，解得
联立直线与抛物线得：
，即
，

令，，则，设



∴

为定值，定值为4
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解函数解析式、二次函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）已知二次函数，其中．
（1）若，，，求二次函数顶点坐标；
（2）若，当时，，当时，，且（，为相邻整数），求的值；
（3）在（1）的条件下，将抛物线向左平移（）个单位，记平移后随着的增加而减小的部分为，若和直线有交点，求的最小值．
【答案】（1），；（2）7；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意得，抛物线的表达式为，即可求解；
（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，则在对称轴的右侧，而时，，且，为相邻整数），故在3和4之间，即可求解；
（3）当和直线有交点时，则当时，直线在的上方，进而求解．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为，
故抛物线的顶点坐标为，；
（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，
则在对称轴的右侧，而时，，且，为相邻整数），
故在3和4之间，即、分别为3、4，
故；
（3）将抛物线向左平移个单位，此时函数的对称轴为直线，
当和直线有交点时，
则当时，直线在的上方，
当时，的值为，
当时，，
即，
解得，
故，
设，
，故有最小值，
而，
当时，
的最小值为．
【点睛】
此题为二次函数综合题，主要考查了一次函数基本知识、二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，确定直线和抛物线的位置关系是解题关键．
22．（2021·浙江·九年级期末）已知抛物线．
（1）当抛物线过点时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；
（3）点为抛物线上的两点，设，当且，均有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）抛物线经过点P（4，-6），代入抛物线即可求出顶点坐标；
（2）根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标；
（3）根据二次函数的开口的情况进行讨论即可．
解：（1）因为在二次函数图象上，
，解得，
当抛物线经过点时，
抛物线的解析式为：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
当时，随增大而增大．
，
当时，取的值最大，
即．
把代入，
解得，
该二次函数的表达式为，
当时，，
；
（3）当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，
，当时，具有，点，，在该函数图象上，
，
．
∴的取值范围．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（2021·浙江杭州·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．
（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．
（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点
①若x1+x2＝2，则y1＝y2，试求a的值．
②当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣x；（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①把两点坐标代入解析式，列出方程即可求解a；②由已知当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣2时，根据二次函数的增减性即可求解；
解:（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
-3＝a+（a+1），
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①∵（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点
∴x1≠x2，
∵y1＝y2，
∴ax12+（a+1）x1＝ax22+（a+1）x2，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）＝（a+1）（x2﹣x1），
a（x1+x2）＝﹣（a+1），
∵x1+x2＝2，
∴a；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是x，
∵x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，2时，0＜a；
∴0＜a；
当a＜0时，时，在对称轴右侧y随x增大而减小，不存在x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，当时，二次函数增减性不确定，不满足当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，不符合题意舍去；
∴0＜a；
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够运用数形结合思想进行求解是解决本题的关键．
24．（2021·浙江·九年级期末）在二次函数的复习课中，关于x的二次函数（），师生共同探讨得到以下4条结论：
（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；
（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；
（3）当时，y随x的增大而减小；
（4）当时，，则，；
请判断上述结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的判别式进行分析判断即可得到答案；
（2）根据平移的性质先求出平移后的解析式，在把点（-1，0）代入解析式中求解即可；
（3）根据抛物线图像的性质，从而判断函数的增减性；
（4）令抛物线对称轴落在x的取值范围内，求出最小值，从而进行判断即可．
解：（1）∵
∴
△=
故时，△=0，方程只有一个根
即此时抛物线与x轴只有一个交点，故（1）说法错误；
（2）抛物线的解析式为：向左平移2个单位后的解析式为
，即
把（-1，0）代入上式中得
即，
解得，
由于，故此说法正确；
（3）∵
∴，
∴二次函数的对称轴：
又∵
∴二次函数的对称轴且二次函数开口向上
∴二次函数在对称轴左边递减，
∴当，y随x的增大而减小，此说法正确；
（4）∵
∴
∴
即当，
∵时，
若，即时函数有最小值
即
又∵
∴
故当时，，则，这种说法不正确；
综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合性质和平移性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
25．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数，（，为常数，）．
（1）若，求二次函数的顶点坐标．
（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值．
（3）点在函数图象上，点在函数图象上．若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小．
【答案】（1）（1，0）；（2）k=-2；（3）m＜n
【解析】
【分析】
（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意求得a＜0，即可判断函数y2图象开口向下，令x2+ax+1=ax2+x+1，解得x=0或x=1，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得m＜n．
解：（1）若a=-2，则y1=x2-2x+1，
∵y1=x2-2x+1=（x-1）2，
∴二次函数y1的顶点坐标为（1，0）；
（2）若b=4a，则y2=ax2+4ax+1，
∴对称轴为直线x= =-2，
设函数y2的对称轴为直线x=k，则k=-2；
（3）∵函数y1图象的对称轴在y轴右侧，
∴＞0，
∴a＜0，
∴函数y2=ax2+bx+1图象开口向下，
∵b=1，
∴y2=ax2+x+1，
令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，
解得x=0或x=1，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，

由图象可知，当0＜x0＜1，m＜n．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
26．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（a，b，c是实数，ac＜0）．
(1)若函数y1的对称轴为直线x＝1，且函数y1的图象经过点（a，c），求a，b的值．
(2)设函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为n，若m+n＝0，求证：a+c＝0．
(3)若函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在一、三象限，求证：b＞0．
【答案】(1)a的值为2，b的值为-4
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴和点（a，c）坐标得出方程组求出a和b的值即可；
（2）当a＜0时，函数y1有最大值m；当a>0时，函数y2有最小值n．根据顶点坐标公式得出m和n，再利用m+n=0得出a和c的关系即可；
（3）因为ac＜0，所以分两种情况：①a＜0，c＞0，②a＞0，c＜0，根据对称轴的位置推出结论即可．
(1)
解：∵函数y1的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，①
∵函数y1的图象经过点（a，c），
∴a×a2+ab+c＝c，②
联立①②，解得，
即a的值为2，b的值为-4；
(2)
证明：∵函数y1的最大值为m，
∴a＜0，m＝，
∵函数y2的最小值为n，
∴c＞0，n＝，
∵m+n＝0，
∴＝0，
整理，得
，
∵ac＜0，
∴4ac-b2