【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第11讲《逆命题和逆定理》预习讲学案

第11讲 逆命题和逆定理

一、命题与逆命题，定理与逆定理

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.

要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.

二、线段垂直平分线定理的逆定理

    到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

    证明  (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．

(2)当点P不在线段AB上时，

作PC⊥AB于点O．

PA=PB，PO⊥AB，

∵ OA=OB，  

∴PC是AB的垂直平分线．

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

三、角的平分线的判定

　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
 

例1．下列说法错误的是（       ）

A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的

C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的

例2．下列命题中，逆命题是真命题的是（       ）

A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等

C．两直线平行，内错角相等 D．如果，那么

例3．下列说法正确的是（　　）

A．每个定理都有逆定理

B．每个命题都有逆命题

C．真命题的逆命题都是真命题

D．假命题的逆命题都是假命题

例4．下列命题的逆命题是真命题的是（       ）

A．全等三角形的周长相等 B．对顶角相等

C．等边三角形的三个角都是60° D．全等三角形的对应角相等

例5．下列定理中，逆定理不存在的是（       ）

A．等边三角形的三个内角都等于

B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等

C．同位角相等，两直线平行

D．全等三角形的面积相等

例6．命题“若，那么”是一个____________命题（填真、假），写出它的逆命题：____________．

例7．写出命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是______．

例8．下列命题的逆命题成立的序号是____

① 同旁内角互补，两直线平行

② 等边三角形是锐角三角形

③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等

④ 全等三角形的三条对应边相等

例9．如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．

例10．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______．

例11．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：

（1）；

（2）垂直平分．

例12．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．

例13．如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分．

例14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）

一、单选题

1．下列命题：①若，则；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等．④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．下列命题中，其逆命题成立的是（       ）

①等边对等角；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④无理数是无限小数．

A．① B．② C．③ D．④

3．下列命题的逆命题是假命题的是（       ）

A．等腰三角形两底角相等 B．全等三角形面积相等

C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．如果，则或

4．下列命题是真命题的是（     ）

A．等腰三角形的顶角一定是锐角 B．三个角对应相等的两个三角形全等

C．每个定理都有逆定理 D．等腰三角形的底角小于 90°

5．命题“如果，，那么”的逆命题是（       ）

A．如果，，那么

B．如果，那么，

C．如果，，那么

D．如果，那么，

6．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（       ）

A．35° B．40° C．50° D．55°

7．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（       ）

A． B．

C． D．

8．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：

①点P在的角平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上．

其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（       ）

结论①；结论②．

A．结论①②都正确 B．结论①②都错误

C．只有结论①正确 D．只有结论②正确

10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AFO的度数是（　　）

A．40° B．60° C．70° D．80°

二、填空题

11．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是__________命题（选填“真”或“假”）．

12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．

13．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是_____________；该逆命题是____________命题（填“真”或“假”）．

14．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．

15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．

16．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：

步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；

步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；

步骤3：连接CD，且过A，B作直线

则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．

17．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm．

18．P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____．

三、解答题

19．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)同旁内角互补，两直线平行．

(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．

20．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．

（1）若，则．

（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

（3）若，则．

21．如图，已知锐角的两条高BD，CE相交于点O，且BD=CE．求证：点O在∠BAC的平分线上．

22．已知，在四边形ABCD中，，，连接，判断的位置关系，并加以证明．

23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，求证：AD垂直平分EF．

24．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

根据小明设计的尺规作图过程．

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接，．

______

点在线段的垂直平分线上（       ）（填推理依据）

同理可证，点也在线段的垂直平分线上

垂直平分（       ）（填推理依据）

是的高．

25．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

（1）求证：点在的垂直平分线上；

（2）若，求的度数．

26．如图，在中，，，，垂足为点，平分交于点，交于点． 点为的中点，连接交于点．

（1）求的度数；

（2）．

27．如图，和都是等边三角形，和交于点，绕点旋转．

（1）如图1所示，求证：；

（2）如图2所示，求证：平分．

28．如图，在中，，，点为内一点，且，

(1)求证：；

(2)，为延长线上的一点，且，

①求证：平分；

②若点在上，且，试证明；

③若为直线上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数．