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【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第10讲《等腰三角形的判定定理》预习讲学案
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第10讲 等腰三角形的判定定理
一、等腰三角形和等边三角形的判定定理
1. 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2. 等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
例1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
【答案】BD=CD
【解析】
已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得．
解：添加的条件是BD=CD．
∵BD=CD，AD⊥BC，AD是公共边，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一．
故填BD=CD．
例2．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝56°，∠E＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三线合一得出，∠ABD＝28°，证△ABD≌△CED，推出∠E＝∠ABD即可．
解：∵AD＝CD，BE⊥AC，
∴AB＝CB
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×56°＝28°，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E＝∠ABD＝28°，
故答案是：28°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD度数和求出∠E＝∠ABD．
例3．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，则添加下列条件后，仍不能证明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS，对每一个选项进行判断即可．
解：A、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故A选项不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故B选项不符合题意；
C、∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故C选项不符合题意；
D、∠BAD＝∠CAE不能得到△ABD≌△ACE，
故D选项符合题意；
故选 D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，等腰三角形的性质：①等边对等角，②等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线三线重合．
例4．如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)：____________
【答案】①④或②④或①③或②③
【解析】
【分析】
①④：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；②④：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；①③：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；②③：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
解： ①④，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为：①④或②④或①③或②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
例5．等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形．
【答案】 三条边 三个角 是 等腰
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理解答即可．
解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
故答案为：三条边；三个角；是；等腰．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理，熟知定理是解本题的关键．
例6．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC，∠BAC=36°，那么线段AD与BD的长度关系是_______．
【答案】AD=BD
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ABC＝∠C＝∠BDC＝72°，再利用三角形外角的性质可求解∠ABD的度数，可得∠ABD＝∠BAC，进而可判断AD＝BD．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠BAC＝36°，∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∵∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，
∴∠ABD＝72°−36°＝36°，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AD＝BD．
故答案为：AD＝BD．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
例7．如图，在一个三角形纸片ABC中，，，点D在边BC上，将沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若，则AC的长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由折叠性质可知，，由，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可求的长，进而可求的长．
解：由折叠性质可知，
∵
∴是等腰三角形
∵
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
例8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，于E，则∠ECD＝______，BD与EC之间的数量关系是______．
【答案】 22.5° BD＝2EC
【解析】
【分析】
①根据等腰直角三角形的性质可得，由角平分线得出，依据对顶角相等可得，再由等角的余角相等即可得出结果；
②延长BA，CE交于点F，利用全等三角形的判定定理证明，，再由其性质及线段间的数量关系即可得出结果．
解：∵在中，，，
∴，
∵BD平分，
∴，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴；
延长BA，CE交于点F，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用角平分线进行计算，等角的余角相等等，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键．
例9．已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
【答案】等边
【解析】
【分析】
运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
解：∵2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，
∴（a-b）2+（a-c）2=0，
∴a-b=0且a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
例10．如图，在中，，，CD平分，于E，若，，则的周长为______．
【答案】##b+a
【解析】
【分析】
根据题意证明，进而可得，进而求得，即可求得的周长．
，，CD平分，，，，
，
又
，
，
则的周长为
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，求得是解题的关键．
例11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，AD 垂直于 BD，△BCD 的面积为38，△ADC 的面积为17，则△ABD 的面积等于_____．
【答案】21
【解析】
【分析】
延长AD交BC于E，由ASA证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，即可得出结果．
延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=38-17=21．
故答案为：21．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出AD=ED是解题关键．
例12．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，下列两个结论：①AB＋BD＝DC，②AB＋BE＝AC．其中正确的是（ ）
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，证明△ABE≌△AFE得到∠AFE=∠B，BE=EF，再证∠C=∠CEF，得到EF=CF，即可判断②；如图在BC上截取DM=BD，证明△ADB≌△ADM得到AB=AM，则∠B=∠AMB，同理可证∠MAC=∠C，即可判断①．
解：如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
又∵AB=AF，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AFE=∠B，BE=EF，
∵∠B=2∠C，
∴∠AFE=∠C+∠CEF=2∠C，
∴∠C=∠CEF，
∴EF=CF，
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE，故②正确；
如图在BC上截取DM=BD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵AD=AD，BD=MD，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB，
同理可证∠MAC=∠C，
∴AM=MC，
∴AB=MC，
∴CD=CM+DM=AB+BD，故①正确，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
例13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【答案】C
【解析】
【分析】
由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC=×70°=35°，
∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握定理和性质．
例14．如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
例15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分钱CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 ___．
【答案】3cm
【解析】
【分析】
根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，
∴DE=FD-EF=BD-CE=8-5=3（cm），
故答案为：3cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
例16．如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，，则的周长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据旋转的性质△BCD旋转后三角形不发生变化，前后两三角形一样；再根据旋转角度判断△BDE的性质求解．
解：∵△BCD绕点B逆时针旋转得到△BAE，
∴AE=DC，BE=BD，
∵△ABC是等边三角形，旋转后BC和BA重合，
∴旋转角度是60°，
∴∠EBD=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=3
三角形ADE的周长=AE＋AD＋DE=DC＋AD＋DE=AC＋BD=4＋3=7，
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角度推出三角形BDE是等边三角形是解题关键．
一、单选题
1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题图所给信息，根据边或角分析即可
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
2．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
3．已知是的两边，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
把变形得到可得三角形形状．
解：因为：，所以：，
所以：，所以三角形ABC是等腰三角形，
故选A．
【点睛】
本题考查的是完全平方式的特点及三角形形状的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
4．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
6．下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理求解即可．
解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，
故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，
故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，
故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，
故（5）正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可求得答案.
如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，
当OA=AP时，可得P3满足条件，
当AP=OP时，可得P4满足条件，
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.
8．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（ ）．
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
先设 ，得到 ， ， ，求和即可得到答案．
设
∵
∴
∴
∵
∴根据等边三角形的性质得
∴
∴
∴在四边形ABCD中， ， ，
即：∠BCD是最大角，等于150°
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了四边形的角度问题，掌握等边三角形的性质求出各角的度数是解题的关键．
9．如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线及平行线可以得到两个等腰三角形、，根据这两个等腰三角形即可得出： ，，求出DE．
解：∵，
∴．
又∵平分，
∴，
即：，
∴．
同理可得：，
∴，
故：选A．
【点睛】
本题只要是利用平行+角平分线即可出现等腰三角形这一特点，求出DE．
10．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，在内作，且使得，连，证明，得到为等腰三角形，再证明为等边三角形，推出为等腰三角形，由三角形外角的性质得出即可．
如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．等腰三角形的判定定理是______________________．
【答案】等角对等边
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等进行求解即可．
解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边
故答案为：等角对等边．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的判定定理．
12．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
，
∴△ACD≌△BHD(AAS)，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
13．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；
∵，
∴是等腰三角形．
∴．
∵平分交于E，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵平分，
∴．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，准确判断是解题的关键．
14．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可．
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
15．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线性质，可△OBD，△EOC为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB.
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长．
故答案为：14cm
【点睛】
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，正确证明△OBD，△EOC均为等腰三角形是关键.
16．如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝2．
解：延长AC，使CP＝BM，连接DP．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
又∵CP＝BM，
∴△BDM≌△CDP，
∴MD＝PD，
∠MDB＝∠PDC，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
即∠MDN＝∠PDN＝60°，
∴△NMD≌△NPD（SAS），
∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解是解题关键．
17．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得△BOC≌△ADC，则有∠BOC=∠ADC，OC=CD，进而可得△ODC是等边三角形，设∠AOD=∠OAD=x，则∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，然后根据角的和差关系进行求解即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵将绕点按顺时针方向旋转得，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，OC=CD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∵，
∴设∠AOD=∠OAD=x，则有∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，
∴∠BOC=360°-110°-60°-x=190°-x，
∴240°-2x=190°-x，解得：x=50°，
∴∠BOC=140°，
故答案为140°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．
有下列结论：
①∠AMC=135°；
②△AMH≌△BME；
③∠AGC+∠BAC=180°；
④BC=BH+2MH；
⑤AH+CE=AC．
其中，正确的结论有__________（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由“双角平分线模型” 可得∠AMC=135°；先证△CMA≌△CMB，从而易得出AM=BM，再利用互余得∠MAH=∠MBE，所以△AME≌△BME；表示∠AGC和∠BAC的度数，可得相加等于定角180°；由△AME≌△BME可得AH=BE，从而得AH+CE=AC；延长BM交AC于点N，先证△AMH≌△AMN得出2MH=HN，从而得到BH+2MH=BN≠BC．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ACD中，90°+2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠AMC=180°-（∠2+∠3）=135°．故①正确；
∴∠AMF=45°，
∵AD⊥DC，BM⊥AE，
∴∠AMH=∠BME=∠ADB=90°，
∴∠1+∠7=∠6+∠5=90°，
又∵∠6=∠7，
∴∠1=∠5=∠2．
在△CMA和△CMB中，，
∴△CMA≌△CMB（AAS）．
∴AC=BC．
∵CF平分∠ACB，
∴CF⊥AB，即∠MFA=90°，
∴∠MAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠MBF=180°-90°-45°=45°=∠MAF，
∴MB=MA．
在△AMH和△BME中，，
∴△AMH≌△BME（ASA）．故②正确；
∴AH=BE，
∵BC=BE+CE，且BC=AC，
∴AH+CE=AC．故⑤正确；
∵∠AGC=180°-∠1-45°，∠BAC=∠MAF+∠2=45°+∠1，
∴∠AGC+∠BAC=180°-∠1-45°+45°+∠1=180°，故③正确；
延长BM交AC于点N，
∵BM⊥AE，
∴∠AMH=∠AMN=90°，
在△AMH和△AMN中，，
∴△AMH≌△AMN（ASA）．
∴HM=MN，
∴2MH=HN，
∴BH+2MH=BN＜BC，故④错误．
所以正确的结论是①②③⑤．
．
【点睛】
本题是几何综合题，主要考查了双角平分线模型、三角形内角和、全等三角形、等腰三角形的性质．
三、解答题
19．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
过点D作，交于F，结合题意即可证明，进而证明，即可得证．
过点D作，交于F，
，
在与中
．
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．
21．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）65°
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
(2)
△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键．
23．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明：，再利用 证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过作交于，先证明为等腰三角形，可得：，再证明，可得，从而可得结论；
（3）过作于，利用全等三角形的性质求解，再利用等腰直角三角形的性质求解，再求解的面积，从而可得答案．
证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线交于点E，直线交于点F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要证明△CAN≌△CMB即可得到答案；
（2）根据△CAN≌△CMB得到∠EAC=∠FNC，再由AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，即可证明△AEC≌△MFC，得到CE=CF；
（3）根据CE=CF，∠ECF=60°，推出△ECF是等边三角形，则∠CEF=∠ACE=60°，即可得证．
解：（1）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：
(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
【答案】(1)∠AND=45°
(2)当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质求出∠A=∠B=，利用三角形外角性质得出∠CPA=∠PCB+∠B=45°，然后求出∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，再利用外角性质求解决可；
（2）△PCD的形状可以是等腰三角形．由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．分三种情况①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°即可求解．
(1)
解：在中，∵，
∴∠A=∠B=，
∵，∠CPA为△CPB的外角，
∴∠CPA=∠PCB+∠B=45°，
∵∠CPD=30°，
∴∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，
∴∠AND=∠A+∠DPA=30°+15°=45°，
(2)
解：△PCD的形状可以是等腰三角形．
由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．
①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．
∴∠PCD＝（180°－∠MPN）＝（180°－30°）＝75°，
即120°－α＝75°，
解得α＝45°．
②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，
即120°－α＝30°，
解得α＝90°；
③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°．
∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°，
即120°－α＝120°，
解得α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综合上述，当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，三角形外角性质，三角形内角和，注意要进行分类讨论．
26．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．
求证，请你完善下列过程．
证明：∵，
∴（ ）①
即
在和中
∴（ ）④
(2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并写出简要过程．
【答案】(1)等量代换，，，SAS
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出；
（3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
(1)
证明：∵，
∴（等量代换）①
即，
在和中
∴（SAS）④
故答案为：等量代换，，，SAS．
(2)
解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
(3)
解：如图，在的延长线上找一点E，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向．
第10讲 等腰三角形的判定定理
一、等腰三角形和等边三角形的判定定理
1. 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2. 等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
例1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
【答案】BD=CD
【解析】
已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得．
解：添加的条件是BD=CD．
∵BD=CD，AD⊥BC，AD是公共边，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一．
故填BD=CD．
例2．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝56°，∠E＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三线合一得出，∠ABD＝28°，证△ABD≌△CED，推出∠E＝∠ABD即可．
解：∵AD＝CD，BE⊥AC，
∴AB＝CB
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×56°＝28°，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E＝∠ABD＝28°，
故答案是：28°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD度数和求出∠E＝∠ABD．
例3．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，则添加下列条件后，仍不能证明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS，对每一个选项进行判断即可．
解：A、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故A选项不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故B选项不符合题意；
C、∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故C选项不符合题意；
D、∠BAD＝∠CAE不能得到△ABD≌△ACE，
故D选项符合题意；
故选 D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，等腰三角形的性质：①等边对等角，②等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线三线重合．
例4．如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)：____________
【答案】①④或②④或①③或②③
【解析】
【分析】
①④：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；②④：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；①③：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；②③：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
解： ①④，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为：①④或②④或①③或②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
例5．等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形．
【答案】 三条边 三个角 是 等腰
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理解答即可．
解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
故答案为：三条边；三个角；是；等腰．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理，熟知定理是解本题的关键．
例6．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC，∠BAC=36°，那么线段AD与BD的长度关系是_______．
【答案】AD=BD
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ABC＝∠C＝∠BDC＝72°，再利用三角形外角的性质可求解∠ABD的度数，可得∠ABD＝∠BAC，进而可判断AD＝BD．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠BAC＝36°，∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∵∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，
∴∠ABD＝72°−36°＝36°，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AD＝BD．
故答案为：AD＝BD．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
例7．如图，在一个三角形纸片ABC中，，，点D在边BC上，将沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若，则AC的长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由折叠性质可知，，由，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可求的长，进而可求的长．
解：由折叠性质可知，
∵
∴是等腰三角形
∵
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
例8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，于E，则∠ECD＝______，BD与EC之间的数量关系是______．
【答案】 22.5° BD＝2EC
【解析】
【分析】
①根据等腰直角三角形的性质可得，由角平分线得出，依据对顶角相等可得，再由等角的余角相等即可得出结果；
②延长BA，CE交于点F，利用全等三角形的判定定理证明，，再由其性质及线段间的数量关系即可得出结果．
解：∵在中，，，
∴，
∵BD平分，
∴，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴；
延长BA，CE交于点F，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用角平分线进行计算，等角的余角相等等，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键．
例9．已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
【答案】等边
【解析】
【分析】
运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
解：∵2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，
∴（a-b）2+（a-c）2=0，
∴a-b=0且a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
例10．如图，在中，，，CD平分，于E，若，，则的周长为______．
【答案】##b+a
【解析】
【分析】
根据题意证明，进而可得，进而求得，即可求得的周长．
，，CD平分，，，，
，
又
，
，
则的周长为
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，求得是解题的关键．
例11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，AD 垂直于 BD，△BCD 的面积为38，△ADC 的面积为17，则△ABD 的面积等于_____．
【答案】21
【解析】
【分析】
延长AD交BC于E，由ASA证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，即可得出结果．
延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=38-17=21．
故答案为：21．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出AD=ED是解题关键．
例12．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，下列两个结论：①AB＋BD＝DC，②AB＋BE＝AC．其中正确的是（ ）
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，证明△ABE≌△AFE得到∠AFE=∠B，BE=EF，再证∠C=∠CEF，得到EF=CF，即可判断②；如图在BC上截取DM=BD，证明△ADB≌△ADM得到AB=AM，则∠B=∠AMB，同理可证∠MAC=∠C，即可判断①．
解：如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
又∵AB=AF，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AFE=∠B，BE=EF，
∵∠B=2∠C，
∴∠AFE=∠C+∠CEF=2∠C，
∴∠C=∠CEF，
∴EF=CF，
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE，故②正确；
如图在BC上截取DM=BD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵AD=AD，BD=MD，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB，
同理可证∠MAC=∠C，
∴AM=MC，
∴AB=MC，
∴CD=CM+DM=AB+BD，故①正确，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
例13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【答案】C
【解析】
【分析】
由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC=×70°=35°，
∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握定理和性质．
例14．如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
例15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分钱CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 ___．
【答案】3cm
【解析】
【分析】
根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，
∴DE=FD-EF=BD-CE=8-5=3（cm），
故答案为：3cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
例16．如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，，则的周长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据旋转的性质△BCD旋转后三角形不发生变化，前后两三角形一样；再根据旋转角度判断△BDE的性质求解．
解：∵△BCD绕点B逆时针旋转得到△BAE，
∴AE=DC，BE=BD，
∵△ABC是等边三角形，旋转后BC和BA重合，
∴旋转角度是60°，
∴∠EBD=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=3
三角形ADE的周长=AE＋AD＋DE=DC＋AD＋DE=AC＋BD=4＋3=7，
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角度推出三角形BDE是等边三角形是解题关键．
一、单选题
1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题图所给信息，根据边或角分析即可
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
2．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
3．已知是的两边，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
把变形得到可得三角形形状．
解：因为：，所以：，
所以：，所以三角形ABC是等腰三角形，
故选A．
【点睛】
本题考查的是完全平方式的特点及三角形形状的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
4．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
6．下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理求解即可．
解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，
故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，
故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，
故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，
故（5）正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可求得答案.
如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，
当OA=AP时，可得P3满足条件，
当AP=OP时，可得P4满足条件，
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.
8．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（ ）．
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
先设 ，得到 ， ， ，求和即可得到答案．
设
∵
∴
∴
∵
∴根据等边三角形的性质得
∴
∴
∴在四边形ABCD中， ， ，
即：∠BCD是最大角，等于150°
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了四边形的角度问题，掌握等边三角形的性质求出各角的度数是解题的关键．
9．如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线及平行线可以得到两个等腰三角形、，根据这两个等腰三角形即可得出： ，，求出DE．
解：∵，
∴．
又∵平分，
∴，
即：，
∴．
同理可得：，
∴，
故：选A．
【点睛】
本题只要是利用平行+角平分线即可出现等腰三角形这一特点，求出DE．
10．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，在内作，且使得，连，证明，得到为等腰三角形，再证明为等边三角形，推出为等腰三角形，由三角形外角的性质得出即可．
如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．等腰三角形的判定定理是______________________．
【答案】等角对等边
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等进行求解即可．
解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边
故答案为：等角对等边．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的判定定理．
12．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
，
∴△ACD≌△BHD(AAS)，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
13．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；
∵，
∴是等腰三角形．
∴．
∵平分交于E，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵平分，
∴．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，准确判断是解题的关键．
14．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可．
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
15．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线性质，可△OBD，△EOC为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB.
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长．
故答案为：14cm
【点睛】
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，正确证明△OBD，△EOC均为等腰三角形是关键.
16．如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝2．
解：延长AC，使CP＝BM，连接DP．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
又∵CP＝BM，
∴△BDM≌△CDP，
∴MD＝PD，
∠MDB＝∠PDC，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
即∠MDN＝∠PDN＝60°，
∴△NMD≌△NPD（SAS），
∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解是解题关键．
17．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得△BOC≌△ADC，则有∠BOC=∠ADC，OC=CD，进而可得△ODC是等边三角形，设∠AOD=∠OAD=x，则∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，然后根据角的和差关系进行求解即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵将绕点按顺时针方向旋转得，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，OC=CD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∵，
∴设∠AOD=∠OAD=x，则有∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，
∴∠BOC=360°-110°-60°-x=190°-x，
∴240°-2x=190°-x，解得：x=50°，
∴∠BOC=140°，
故答案为140°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．
有下列结论：
①∠AMC=135°；
②△AMH≌△BME；
③∠AGC+∠BAC=180°；
④BC=BH+2MH；
⑤AH+CE=AC．
其中，正确的结论有__________（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由“双角平分线模型” 可得∠AMC=135°；先证△CMA≌△CMB，从而易得出AM=BM，再利用互余得∠MAH=∠MBE，所以△AME≌△BME；表示∠AGC和∠BAC的度数，可得相加等于定角180°；由△AME≌△BME可得AH=BE，从而得AH+CE=AC；延长BM交AC于点N，先证△AMH≌△AMN得出2MH=HN，从而得到BH+2MH=BN≠BC．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ACD中，90°+2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠AMC=180°-（∠2+∠3）=135°．故①正确；
∴∠AMF=45°，
∵AD⊥DC，BM⊥AE，
∴∠AMH=∠BME=∠ADB=90°，
∴∠1+∠7=∠6+∠5=90°，
又∵∠6=∠7，
∴∠1=∠5=∠2．
在△CMA和△CMB中，，
∴△CMA≌△CMB（AAS）．
∴AC=BC．
∵CF平分∠ACB，
∴CF⊥AB，即∠MFA=90°，
∴∠MAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠MBF=180°-90°-45°=45°=∠MAF，
∴MB=MA．
在△AMH和△BME中，，
∴△AMH≌△BME（ASA）．故②正确；
∴AH=BE，
∵BC=BE+CE，且BC=AC，
∴AH+CE=AC．故⑤正确；
∵∠AGC=180°-∠1-45°，∠BAC=∠MAF+∠2=45°+∠1，
∴∠AGC+∠BAC=180°-∠1-45°+45°+∠1=180°，故③正确；
延长BM交AC于点N，
∵BM⊥AE，
∴∠AMH=∠AMN=90°，
在△AMH和△AMN中，，
∴△AMH≌△AMN（ASA）．
∴HM=MN，
∴2MH=HN，
∴BH+2MH=BN＜BC，故④错误．
所以正确的结论是①②③⑤．
．
【点睛】
本题是几何综合题，主要考查了双角平分线模型、三角形内角和、全等三角形、等腰三角形的性质．
三、解答题
19．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
过点D作，交于F，结合题意即可证明，进而证明，即可得证．
过点D作，交于F，
，
在与中
．
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．
21．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）65°
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
(2)
△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键．
23．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明：，再利用 证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过作交于，先证明为等腰三角形，可得：，再证明，可得，从而可得结论；
（3）过作于，利用全等三角形的性质求解，再利用等腰直角三角形的性质求解，再求解的面积，从而可得答案．
证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线交于点E，直线交于点F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要证明△CAN≌△CMB即可得到答案；
（2）根据△CAN≌△CMB得到∠EAC=∠FNC，再由AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，即可证明△AEC≌△MFC，得到CE=CF；
（3）根据CE=CF，∠ECF=60°，推出△ECF是等边三角形，则∠CEF=∠ACE=60°，即可得证．
解：（1）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：
(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
【答案】(1)∠AND=45°
(2)当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质求出∠A=∠B=，利用三角形外角性质得出∠CPA=∠PCB+∠B=45°，然后求出∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，再利用外角性质求解决可；
（2）△PCD的形状可以是等腰三角形．由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．分三种情况①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°即可求解．
(1)
解：在中，∵，
∴∠A=∠B=，
∵，∠CPA为△CPB的外角，
∴∠CPA=∠PCB+∠B=45°，
∵∠CPD=30°，
∴∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，
∴∠AND=∠A+∠DPA=30°+15°=45°，
(2)
解：△PCD的形状可以是等腰三角形．
由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．
①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．
∴∠PCD＝（180°－∠MPN）＝（180°－30°）＝75°，
即120°－α＝75°，
解得α＝45°．
②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，
即120°－α＝30°，
解得α＝90°；
③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°．
∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°，
即120°－α＝120°，
解得α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综合上述，当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，三角形外角性质，三角形内角和，注意要进行分类讨论．
26．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．
求证，请你完善下列过程．
证明：∵，
∴（ ）①
即
在和中
∴（ ）④
(2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并写出简要过程．
【答案】(1)等量代换，，，SAS
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出；
（3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
(1)
证明：∵，
∴（等量代换）①
即，
在和中
∴（SAS）④
故答案为：等量代换，，，SAS．
(2)
解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
(3)
解：如图，在的延长线上找一点E，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向．
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