【暑假小升初自学】苏科版数学六年级（六升七）暑假-专题4.3《用方程解决问题（3-4）》预习讲学案

4.3用方程解决问题（3-4）

【推本溯源】

1.配套问题

某家具厂有名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？有名工人加工桌面，名工人加工桌腿

分析：本题的相等关系为：                                              

解：设：

根据题意，得方程为：                                     

解方程：

答：                                                          

2. 比例分配问题

某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？

三种型号三种洗衣机分别生产．

分析：本题的相等关系为：                                              

解：设：

根据题意，得方程为：                                     

解方程：

答：                                                          

3.行程问题

甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时千米，乙车的速度是每小时千米，甲车开出分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？

小时（或分钟）后乙车追上甲车．

分析：本题的相等关系为：                                              

解：设：

根据题意，得方程为：                                     

解方程：

答：                                                          

4.工程问题

现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬．

分析：本题的相等关系为：                                              

解：设：

根据题意，得方程为：                                     

解方程：

答：                                                          

【解惑】

例1．某车间有44名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或2000个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按配套．根据题意可列方程（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据“有x个工人生产螺丝”可得有个工人生产螺母，再根据“每天生产的螺母和螺丝按配套”，即可列出方程．

【详解】解：有x个工人生产螺丝，则有个工人生产螺母，

可列方程为：，

故选∶B．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．

例2.程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．

【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，

由题意，得：；

故选：B．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出方程，是解题的关键．

例3.一条船沿江从地顺流行驶到地需5小时，从地逆流行驶至地需8小时，水流速度是3千米/小时，设该船在静水中的速度是千米/小时，则依题意可列方程（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】顺流：速度船在静水中的速度水流的速度；逆流：速度船在静水中的速度水流的速度．

【详解】在顺流和逆流航行过程中不变的是路程：路程=速度×时间，

顺流路程，逆流路程

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握船在顺流和逆流时的速度计算公式，注意航行过程中不变的是路程建立等量关系即可．

例4.某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“”，根据效率时间工作量，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程．

【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天，

设总的工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，

由题意得，，

故选：C．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意，列出方程．

【摩拳擦掌】

1．2022年9月，花溪区抗击新冠病毒期间，为保障一线医护人员及抗疫自愿者的安全，需要大批防护服及防护面罩，为此某工厂加班生产防护服和防护面罩，已知工厂共40人，每人每天可加工防护服60件或防护面罩100个，已知一件防护服配一个防护面罩，为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排生产防护服的人数是（   ）

A．25人 B．30人 C．35人 D．40人

【答案】A

【分析】设需要安排x人生产防护服，则安排人生产防护面罩，根据生产的防护服的总数量=生产的防护面罩的总数量，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求解．

【详解】解：设需要安排x人生产防护服，则安排人生产防护面罩，

依题意得：，

解得：．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，根据题意列方程，即可求解．

【详解】解：设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，

根据题意列方程得：．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．

3．一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过长600米的桥洞，从列车进入桥洞口算起，这列火车完全通过桥洞所需时间是（　　）

A．40秒 B．60秒 C．50秒 D．34秒

【答案】C

【分析】火车完全通过桥洞行驶的路程等于桥洞长度与火车长度之和，设这列火车完全通过桥洞所需时间为x秒，根据时间、路程、速度的关系列方程，解方程即可．

【详解】解：设这列火车完全通过桥洞所需时间为x秒，

依题意得：，

解得：，

∴这列火车完全通过桥洞所需时间为50秒．

故选C．

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是计算出火车完全通过桥洞时行驶的路程．

4．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）“设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（    ）

A．依题意 B．依题意

C．走路快的人要走200步才能追上 D．从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步后，两人相隔400步

【答案】B

【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走，

依题意，得：．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

5．20个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人每天生产3个螺栓或2个螺母，且1个螺栓配2个螺母，如何分配工人使生产的螺栓与螺母恰好配成套．如果设生产螺栓的工人数为x个，根据题意可列方程为 _____．

【答案】

【分析】设生产螺栓的工人数为个，则生产螺母得工人数为个，根据“一个螺栓配个螺母”，即可列出关于的一元一次方程．

【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则需安排名工人生产螺母，

根据题意，得：，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．

6．服装厂生产一批学生校服，已知生产1件上衣需要布料1．5米，生产1条裤子需要布料1米．因为裤子旧得快，要求1件上衣和2条裤子配一套．生产这批校服共用了2016米布料，共生产了______套校服．

【答案】576

【分析】设生产了套校服，根据题意，列出方程进行求解即可．

【详解】解：设生产了套校服，则：上衣有件，裤子有件，由题意，得：

，

解得：；

故答案为：576．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，列出方程，是解题的关键．

7．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为______升．

【答案】12

【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论．

【详解】解：根据题意得：2斗升，

设可以换得的粝米为x升，

则，

解得：，

故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升．

故选：12．

【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键．

8．某品牌电脑由一个主机和一个显示器配套构成，每个工人每天可以加工个主机或者加工个显示器，现有名工人，应怎么安排人力，才能使每天生产的主机和显示器配套？

【答案】应安排9人生产主机，安排15人生产显示器，才能使每天生产的主机和显示器配套

【分析】应安排x人生产主机，则安排人生产显示器，才能使每天生产的主机和显示器配套，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结果.

【详解】解：设应安排x人生产主机，则安排人生产显示器，才能使每天生产的主机和显示器配套，

根据题意，得，

解得：，，

答：应安排9人生产主机，安排15人生产显示器，才能使每天生产的主机和显示器配套.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，属于常见题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.

9．甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？

【答案】甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书

【分析】设甲爱心人士捐了册图书，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可．

【详解】解：设甲爱心人士捐了册图书，

∵甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，

∴乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数为：，

由题意，得：，

解得：，

∴，

即：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书；

答：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．

10．甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求：

(1)若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？

(2)若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？

【答案】(1)经过小时可以相遇

(2)经过1小时两车相距54千米

【分析】（1）设经过x小时可以相遇，根据相遇时，两车路程和等于总路程，即可列出方程求解；

（2）设经过y小时两车相距54千米，根据相距54千米时，两车路程和为千米，列出方程求解即可．

【详解】（1）解：设经过x小时可以相遇，

，

解得：，

答：经过小时可以相遇．

（2）解：设经过y小时两车相距54千米，

，

解得：，

答：经过1小时两车相距54千米．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解即可．

【知不足】

1．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据结果比原计划提前2个月完成交货，列分式方程即可．

【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．

2．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．

【答案】20000

【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．

【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：

2x×500+5x×250=22500000，

解得x=10000，

所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，

故答案是：20000．

【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．

3．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．

【答案】20000

【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量

【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g

设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，

根据题意列方程，得

500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，

解得x=10000

2x=20000

∴大瓶有20000瓶．

故答案为：20000

【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．

4．甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，已知甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，两地相距20千米，若甲先出发1小时，求乙出发后多少小时与甲相遇？

【答案】小时

【分析】设乙出发后小时与甲相遇，相遇时，甲运动了小时，根据两地相距20千米，可得方程，解方程即可得到答案．

【详解】解：设乙出发后小时与甲相遇，相遇时，甲运动了小时，甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，由题意得，

，

解得： ，

答：乙出发后小时与甲相遇．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键．

5．面对突然暴发的新型冠状病毒肺炎，全国人民情系灾区，捐资捐物．淳朴善良的山东寿光菜农们把自己种植的新鲜蔬菜捐献出来运往武汉灾区．已知寿光距武汉千米，甲车装满蔬菜从寿光出发开往武汉，行驶千米后，乙车从武汉出发返回寿光，乙车出发6小时后与甲车相遇，若甲车每小时行驶的路程比乙车每小时行驶的路程少千米，那么甲车平均每小时行驶多少千米

【答案】

【分析】设甲车平均每小时行驶x千米，则乙车均每小时行驶千米，根据等量关系列方程即可．

【详解】解：设甲车平均每小时行驶x千米，依题意：

，

解得，

所以甲车平均每小时行驶千米．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是表示出甲乙辆车的行驶时间，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=两车行驶的总路程可列出方程．

【一览众山小】

1．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米．

(1)求甲工程队每天掘进多少米

(2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天．

【答案】(1)5米

(2)10天

【分析】（1）设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量；

（2）根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间即可．

【详解】（1）解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，

由题意得，，

解得，

所以甲工程队每天掘进7米．

（2）解：（天）；

∴甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键．

2．加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务

(1)如果有这甲乙同时加工，至少要多少天完成任务？

(2)现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

【答案】(1)7天

(2)8天

【分析】（1）利用总工作量除以两人每天完成的工作量之和，根据结果可得；

（2）利用总工作量为1，表示出甲、乙两人各自完成的工作量，进而得出等式求出即可．

【详解】（1）解：由题意可得：

，

∴至少要7天完成任务；

（2）设乙需工作天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，

则甲做了天，

根据题意可得：，

解得：．

答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．

3．整理一批货物，由一个人做需80小时完成．现由一部分人先做2小时后，再增加5人做8小时．恰好完成这项工作的，怎样安排参与整理货物的具体人数？

【答案】参与整理货物有2人．

【分析】设计划先由人整理，根据题意可得一个人的工作效率是，根据题目中的等量关系：个人2小时的工作量人8小时的工作量，再列出方程，解方程即可．

【详解】解：设参与整理货物有人，依题可得：

，

解得：．

答：计划参与整理货物有2人．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，此题用到的公式是：工作效率工作时间工作量．

4．某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?

【答案】甲车间原来生产300个零件需要天，乙车间需要天

【分析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，根据题意列方程求解即可得到答案．

【详解】解：设甲原来需要天，则乙原来需要天，

依题意可得：，

解得：，

即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意正确找出数量关系列方程是解题关键．

5．为控制“新冠”疫情，绵阳东辰学校准备配制某种消毒液，现有浓度为，，的甲、乙、丙三种消毒液分别为，，，现要配置浓度为的消毒液，设甲种消毒液用千克，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】用浓度为5%的消毒液和浓度为8%、9%的消毒液配置浓度为7%的消毒液，要进行分类讨论：①余下全用浓度为9% 的消毒液；②余下全用浓度为 8% 的消毒液．并结合三种浓度消毒液的重量，对条件限制，进而求解符合题意的即可．

【详解】解：由题意可知甲种消毒液中物质为：

①若余下全用浓度为9% 的消毒液，

则：，

∴（kg）．

此时所用9%的消毒液：（kg）（kg），

当使用47kg 浓度9%的消毒液时：，

∴kg，

使用浓度 8% 的消毒液 ，

∴kg.

②若余下全用浓度为 8% 的消毒液，

则：，

∴．

此时所用8% 的消毒液： (kg)，

得 ，

综上所述：．

故答案为：

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，其一般解题步骤为：审题、找等量关系、设未知数、列出方程、求解，写出答案．