备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十一） 基本不等式

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十一） 基本不等式，共4页。试卷主要包含了点全面广强基训练，重点难点培优训练等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价（四十一） 基本不等式一、点全面广强基训练1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　 )A．a＋b≥2  B.＋≥2C.≥2  D．a2＋b2>2ab解析：选C　因为和同号，所以＝＋≥2＝2.2．已知函数f(x)＝＋x，则(　 )A．f(x)有最小值  B．f(x)有最小值－ C．f(x)有最大值－  D．f(x)有最大值－解析：选D　∵x<，∴－x>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.3．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　 )A．6  B．8  C．4  D．16解析：选B　∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8.4．(2023·济宁模拟)若a>0，b>0,3a＋2b＝6，则＋的最小值为(　 )A．6       B．5  C．4  D．3解析：选C　因为a>0，b>0,3a＋2b＝6，所以＋＝(3a＋2b)＝12＋＋≥12＋2＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，取等号，即＋的最小值为4.5．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　 )A．(0,4]  B．(0,2]C．(－∞，4]  D．(－∞，2]解析：选C　∵x>0，y>0，∴x＋4y≥m等价于m≤，即m≤min，又∵＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝4y时等号成立，∴m≤4，故m∈(－∞，4]．6．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时等号成立．答案：27．(2023·惠州模拟)已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋的最小值为________．解析：2a＋＝2a＋2－3b≥2×＝2×＝4.当且仅当即时等号成立．答案：48．(2021·天津高考)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．解析：∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，∴＋＋b的最小值为2.答案：29．(1)已知x∈，求函数y＝x(1－2x)的最大值；(2)已知x>，求函数y＝2x＋的最小值．解：(1)y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，故函数的最大值为.(2)∵x>，∴2x－1>0，∴y＝2x＋＝＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当2x－1＝，即x＝时等号成立，故函数的最小值为5.10.某市为迎接国庆节提出的文化强国建设的号召，市政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅，如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝30 米，OE＝x米，x∈[14,20]．(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f(S)，并求当OE为何值时总造价W最低．解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝x，DE＝(30－x)，∴S＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225，∵x∈[14,20]，∴S∈[200,225]．故S＝－(x－15)2＋225，S∈[200,225]．(2)由题意得，矩形展厅的造价为·S，绿化区(图中阴影部分)的造价为·(450－S)，∴W＝·S＋·(450－S)＝25k≥300k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时等号成立，∴W＝f(S)＝25k，当OE为18米时，总造价W最低．二、重点难点培优训练1．已知点P(x，y)是曲线f(x)＝x4－2x3在点(1，f(1))处的切线上一点，则(x>0，y>0)的最小值为(　 )A．4  B．9  C．5  D．16解析：选B　由f(x)＝x4－2x3得f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝4×13－6×12＝－2，而f(1)＝－1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)⇒2x＋y＝1，x>0，y>0时，＝·1＝·(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝时取“＝”，所以的最小值是9.2．某公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是(　 )A．9万元  B．10万元  C．12万元  D．14万元解析：选C　由题意，第n年盈利为69－12－6(n－1)＝－6n＋63.所以该台机器购买n年后的盈利为S＝69n－192－＝－3n2＋60n－192.令S>0，则n2－20n＋64<0，解得4<n<16.设该台机器购买n年后的年平均利润为y万元，则y＝＝－3＋60≤－3×2＋60＝12，当且仅当n＝8时取“＝”，因此，该台机器购买8年后的年平均利润最大，最大值是12万元．故选C.3.如图所示，设计一种测量建筑物AB高度的方法．B，C，D三点在同一条水平基线上，在C，D两点处用测角仪器测得的仰角分别为α，β，CD＝BC＝50米，若测角仪器高度忽略不计，当建筑物高度AB＝________米时，角α－β的值最大．解析：设AB＝h，tan∠ACB＝tan α＝，tan∠ADB＝tan β＝，tan(α－β)＝＝，其中＋≥2＝2，当且仅当＝，即h＝50时取得最小值，即tan(α－β)取得最大值，即α－β的值最大．答案：504．已知x，y∈R，且2x＋2y＝4，给出下列四个结论：①x＋y≤2；②xy≥1；③2x＋y≤3；④4x＋4y≥8.其中一定成立的结论是________(写出所有成立结论的编号)．解析：对于①，∵2x>0,2y>0，∴由2x＋2y＝4得，4＝2x＋2y≥2＝2，即4≥2，解得x＋y≤2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故①一定成立；对于②，当x＝0，y＝log23时，2x＋2y＝4成立，但xy≥1不成立，故②不一定成立；对于③，当y＝时，由2x＋2y＝4得2x＝4－，则2x＋y－3＝4－＋－3＝－>0，即2x＋y>3，故③不一定成立；对于④，将2x＋2y＝4两边平方得4x＋4y＋2x＋y＋1＝16，∴4x＋4y＝16－2x＋y＋1，由①可知，x＋y≤2⇒x＋y＋1≤3⇒2x＋y＋1≤23＝8⇒－2x＋y＋1≥－8⇒16－2x＋y＋1≥16－8＝8，∴4x＋4y≥8，当且仅当x＝y＝1时取等号，故④一定成立．答案：①④