新疆昌吉州2022届高三第二次诊断性测试数学（文）试卷（含答案）

新疆昌吉州2022届高三第二次诊断性测试数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数z满足，则复数z的虚部为(   )

A. B. C. D.

2、设全集，集合，集合，则(   )

A. B. C. D.

3、《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中国人对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：

以此类推，则六十四卦中的符号“”表示的十进制数是(   )

A.77 B.155 C.356 D.434

4、2022年2月17日，呼图壁县第一届“美丽冰雪，北奥探梦”中小学速滑运动会在昌吉州呼图壁县青少年示范性综合实践基地管理中心举行.为了保证比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理六条一样的短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王至少清理三条的概率是(   )

A. B. C. D.

5、已知向量，，满足，，，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

6、数列是等差数列，，且,,构成公比为q的等比数列，则(   )

A.1或3 B.0或2 C.3 D.2

7、已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意，，不等式恒成立，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

8、已知函数的图象过点，，，且在上仅有1个极值点，则(   )

A. B. C.1 D.

9、已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

10、已知圆，圆，点M，N分别是圆､圆上的动点，点P为上的动点，则的最小值是(   )

A. B. C. D.

11、在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为(   )

A. B. C. D.

12、若存在，则称为二元函数在点处对x偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是(   )

A.  B.

C.的最小值为 D.的最小值为

二、填空题

13、设是数列的前n项和，且，则的通项公式为___________.

14、若实数a，b，c，d满足，则的最小值为__________.

15、已知点A是焦点为F的抛物线：上的动点，且不与坐标原点O重合，线段OA的垂直平分线交x轴于点B．若，则___________.

16、已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．

三、解答题

17、中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

（1）求角A；

（2）若D为边BC的中点，且，求bc的最大值.

18、如图，在三棱柱中，平面,，，，

（1）证明：平面ABC.

（2）求点A到平面的距离.

19、“学习强国”APP是由中宣部主管以习近平新时代中国特设社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大中端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表（1）所示：

表（1）

（1）现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数分别在和上的概率；

（2）为了调查“学习强国”APP得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表（2）所示；

判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．

附：，其中

20、“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．

（1）以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．

（2）如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．

21、已知函数，

（1）求函数在上极值点；

（2）当时，若直线l既是曲线又是曲线的切线，试判断l的条数．

22、在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q.

(1)求r的取值范围；

(2)求的取值范围.

23、已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：，

，

故选:A.

2、答案：D

解析：，集合，集合，则

故选:D.

3、答案：A

解析：由题意可得六十四卦中的符号“”表示的二进制数是001001101，将所得的二进制数转化为十进制数为，故选A.

4、答案：A

解析：六条一样的短道速滑跑道分三组有1，1，4或1，2，3或2，2，2种情况，

再分给小王、小李、小方共有种分法，

其中小王至少清理三条的情况有种，

则小王至少清理三条的概率是.

故选：A.

5、答案：B

解析：，，，

仅当时取等号，

故的最小值为.

故选:B.

6、答案：A

解析：设等差数列的公差为d，，，构成公比为q的等比数列，，即，解得或2，所以或3，所以或3.

7、答案：B

解析：函数是定义在R上的偶函数，若对任意，，不等式即恒成立，

可得在上单调递减，在上单调递增，

所以即，

化为，即，解得，

故选:B.

8、答案：C

解析：函数的图象过点,，，且在上仅有1个极值点，，，再结合五点法作图，，，再把代入，可得，，则，故选:C.

9、答案：C

解析：因为点P为以为直径的圆与双曲线的右支的交点，

所以，

结合，

得，

又因为点P在以为直径的圆上，

所以，

即，

所以，

整理得，

解得（舍去），或，

所以双曲线的离心率.

故选:C.

10、答案：B

解析：如图

，，

，如图作出，关于的对称点A，则A为，又为，

，当且仅当A、P、三点共线时取得等号，

的最小值是.

故选:B.

11、答案：A

解析：如图、分别为、的外接圆圆心，作平面PAB，平面ABC，则O为三棱雉的外接球的球心.

在中，，即，可得:.由正弦定理可得:，即，

又为线段AC的中点，则可得，且，

二面角的大小的平面角即为，则，

三棱雉的外接球的半径.

则三棱雉的外接球体积为.

故选:A.

12、答案：B

解析：因为，

所以，则，故A正确;

又，所以，故B错误;

因为，故C正确；

所以当时，取得最小值，且最小值为，故C正确;

，

令，

当时，，当时，，

故，

从而当时，取得最小值，且最小值为，故D正确.故选B.

13、答案：

解析：，①，

，②，

由②-①可得，

当时，，解得，

故答案为:.

14、答案：2

解析：，，

设 是函数 上任意一点， 是直 线 上任意一点，

则 的几何意义是 的平方，

要使 的值最小，则 最小即可，

如图示:

的斜率,

，由 得 ，此时 ， 即点 到直线 的距离最小， 此时 ， 则 的最小值为 2 ，

故答案为 : 2 .

15、答案：3

解析：设，，

由条件可得，即，整理得，

，即C为线段AF的中点，

，

.

故答案为：3

16、答案：

解析：由条件作函数的图象，根据方程有三个不同的实根结合图象求参数m的范围.

由已知当时，，

当时，，

当时，

作函数图象如下，

因为关于x的方程有三个不同的实根，所以函数的图象与的图象有三个交点，观察图象可得，故答案为:.

17、答案：（1）

（2）4

解析：（1）由，得

即，

又由余弦定理，可得

又，

（2）D是边BC的中点，

，

又，，又，当且仅当时等号成立，，bc的最大值是4.

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：

（1）因为，，

所以，

所以，所以.

因为平面，且平面，

所以，因为，所以平面ABC.

（2）由（1）可知平面ABC，所以平面.

由三棱柱的性质可知，.

因为平面，所以平面，

所以，，则，

故的面积为.

过做于O，平面，

，，平面，

在中，

设点A到平面的距离为h，因为，所以

解得，即点A到平面的距离是.

19、答案：（1）

（2）答案见解析

解析：

（1）由题意得，分数在的应抽，记作a，b，

分数在的应抽人，记作1，2，3，

选取2人作为学习小组长的基本事件有，，，，，，，，，共10个，

其中两位小组长的分数分别在和上的有，，，，，，共6个基本事件，

所以所求概率．

（2）补全列联表如下：

所以．

所以没有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．

20、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：

（1）如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系.

设为椭圆上一点，由题意可知，

所以M点轨迹是以F，E为左右焦点，长轴长的椭圆，

因为，，所以，，则，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由得，

依题意，又，解得．

故直线m的方程为，且．

设直线n的方程为，则，且，则，

由，得，所以，

所以．

即，且各项均不为零，故，，成等比数列．

21、答案：（1）当时，函数无极值点；当时，极小值点为，无极大值点．

（2）2条

解析：

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)射线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为.

曲线C的极坐标方程为，

根据，转换为直角坐标方程为.

且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q.

所以圆心到直线的距离，

所以当圆的半径时，射线l与圆相切，故，

又因为当时，有一个交点为极点，不满足题意，

当时，射线l与圆只有一个交点，

所以.

(2)把为，代入，得到，

所以，，由于，所以

所以.

23、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）即，

所以或或

解得或或，即或，

所以原不等式的解集为.

（2）即.因为不等式的解集包含，所以对于恒成立.因为，所以，，

所以等价于，即恒成立，所以在上恒成立，

所以解得，即实数a的取值范围为.