四川省绵阳南山中学2023届高三数学（文）下学期高考热身考试试卷（Word版附解析）

2023年5月

绵阳南山中学2023年高考热身考试

数学试题(文科)

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卷共 6页，满分150分。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、   选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，则（   ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内对应的点为，则（     ）

A． B． C． D．

3．已知命题，使得，则为（     ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

4．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）

A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个

C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元

D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

5．如图所示，点是边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（     ）

　A． 　　　　B． 

　C． 　　　　D．

6．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（　    ）

A．        B．         C．         D．

7．函数的部分图象大致为（  　  ）

A． B．

C． D．

8．将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ）

A．           B．              C．             D．

9．已知，，，则（    ）

A．        B．          C．          D．

10．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（  　  ）

A． B． C． D．

11．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ 　  ）

A． B． C． D．

12．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式_________．①；

②数列的前n项和存在最小值．

14．已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则_____________．

15．一封闭圆台上、下底面半径分别为1,4，母线长为6.该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为_____________．

16．已知抛物线C：，为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），且，直线交抛物线的准线于点C，与的面积之比为4：9，则的值为____________．

三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）

17．（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且______．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求的面积； 

（2）（2）若，求．

18．（本小题满分12分） 2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．

附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

19．（本小题满分12分）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

（1）已知点满足，求证四点共面；

（2）求点到平面的距离．

20．（本小题满分12分）已知函数，．

（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．

（1）求的方程；

（2）若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线M，N的极坐标方程；

（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知定义在R上的函数的最大值为．

（1）求的值；

（2）设，，求证：．

绵阳南山中学2023年高考热身考试文科数学答案

一、选择题：1--4 ．DCBC   5--8．CBCA    9--12．CDAA

1．【详解】解集合

解集合,．故选：D．

2．【详解】复数在复平面内对应的点为，则

故选：C．

3．【详解】根据命题的否定的定义，因为命题，使得，所以为，使得，故选：B．

4．【解析】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；

若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，

故B正确；

平均数为（元），故C错误；

中位数为（元），故D正确．故选：C．

5．【详解】解：

．故选：C．

6．【详解】原几何体的实物图如下图所示，几何体是长方体去掉一个小三棱锥，

由三视图的数据可知该几何体的体积为.

故选：B．

7．【详解】因为，，

所以，故函数的为奇函数，排除BD；

又 所以，A错误．故选：C．

8．【详解】由题意得：，

又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，

所以，则（），

函数 在上单调递增，则函数的周期，

解得，则，，故选：A．

9．【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，故，即，所以；

设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故．故选：C．

10．【详解】解：，，

，

又为整数，必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，故选：D．

11．【详解】设切点为，，连接，则，，

过点作⊥轴于点E，则，故，

因为，解得，由双曲线定义得，所以，

在中，由余弦定理得，

化简得，又，所以，

方程两边同时除以得，解得，

所以离心率．故选：A．

12．【详解】因，又当时，，

当，，时，，

则，

，

当，，时，，

则，

，

作出函数的大致图象，

对任意，都有，设的最大值为，则，且

所以，解得,所以m的最大值为．故选：A．

二、填空题：13．    14．     15．       16．

13．【详解】∵，∴数列是等差数列，

∵数列的前n项和存在最小值，∴等差数列的公差，，

显然满足题意．故答案为：．（答案不唯一）

14．【详解】若，则函数是一条直线，不符合题意，故．

，则，又，所以曲线在处的切线方程为，则直线恒过定点.，

得圆心坐标为，半径为，且定点在圆内.因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，则，解得.故答案为：．

15．【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，易得该轴截面为边长为6的正三角形，高，内切球半径，圆台高为，故该圆台内切球半径最大值为故．

16．【详解】设，，则，

设直线的方程为，联立抛物线方程有

，，，则，直线的方程为，

令，则，，

则得，∴，∴，，又，则，

∴点，，解得．

二、解答题：

17. 【详解】（1）若选①，由余弦定理得，

整理得，则，     （2分）

又，则，，  （5分）

所以；    （6分）

若选②，则，又，则，

又 ，得，则．

（2）由正弦定理得：，

则，（10分）

即，所以．  （12分）

18．【详解】（1）对于模型①，对应的，（1分）

故对应的， （2分） 

所以对应的相关指数，    （3分）

对于模型②，同理可得对应的相关指数， （4分）

故,模型②拟合精度更高、更可靠.                 （5分）

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).              （7分）

另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.

（2）当时，后五组的，（8分），              （9分）

由最小二乘法可得，即  （10分）

所以当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：，

故，投入17亿元比投入20亿元时收益小.         （12分）

19．【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，

因为是平行四边形，所以，  （2分）

在中，为中位线，故，所以，故四点共面．（5分）

（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，  （7分）

在中，．故的面积．  （9分）

同理，由三棱锥的体积，  （10分）

所以，得．故到平面的距离为．  （12分）

20．【详解】（1）解：当时，，定义域为，

所以，令得，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，函数在处取得最小值，.     （4分）

（2）因为函数对恒成立

所以对恒成立，

令，则，

①当时，，在上单调递增，

 所以，由可得，即满足对恒成立；（6分）

②当时，则，，在上单调递增，

 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；（7分）

③当时，令得

令，恒成立，故在上单调递增，

因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，

所以，使得，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，只需即可；（10分）

所以，，，因为，所以，

所以，解得，所以，，   （11分）

综上所解，实数a的取值范围为．   （12分）

21．【详解】（1）解：设，则，且，所以，，

则，

故①，又②，联立①②，解得，，

故椭圆的方程为．  （5分）

（2）结论：点在定直线上．         （6分）             

由（1）得，、，设，

设直线的方程为，设点、，

联立，整理得，，

，         （8分）

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，       （9分）

可得    

，解得，因此，点在直线上．（12分）

22．  【详解】（1）解：由，可得，

即，

又由，可得，

所以曲线M的极坐标方程为．　　      （3分）

由，可得，即，

即曲线N的极坐标方程为．　　　（5分）

（2）将代入，可得，

将代入，可得，

则，因为，所以，

又因为，所以．　　　      （10分）

23．【详解】（1），

当且仅当时等号成立．

∴，即．             （5分）

（2）依题意可知，则由柯西不等式得，  

，∴即

当且仅当时，等号成立     （10分）