统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练29等差数列及其前n项和文

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[基础强化]
一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝( )
A．6 B．7
C.8 D．10
2．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝( )
A.8 B．10
C.12 D．14
3．[2023·包头模拟]已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于( )
A.13 B．14
C.15 D．16
4．[2023·崇左模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于( )
A.225 B．250
C.270 D．300
5．[2023·吕梁模拟]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列{ eq \f(Sn,n)}的前10项和为( )
A. eq \f(55,2) B．55
C. eq \f(65,2) D．65
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A.－3 B．－ eq \f(5,2)
C.－2 D．－4
7．[2023·全国甲卷(文)]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )
A.25 B．22
C.20 D．15
8．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4≤4，S6≥12，则a4的最小值为( )
A.2 B． eq \f(7,2)
C.3 D． eq \f(5,2)
9．若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
11．[2022·全国乙(文)，13]记Sn为等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
12．[2023·新乡模拟]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．
[能力提升]
13．[2023·广西省五市高三联考] 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日．狄更斯的出生日是( )
A.星期五 B．星期六
C.星期天 D．星期一
14．[2023·济宁模拟]设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项不正确的是( )
A.a1>0，d<0
B.a7＋a8>0
C.S6与S7均为Sn的最大值
D.a8<0
15．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
16．[2023·陕西省西安中学四模]在等差数列{an}中，a7＝15，a2＋a6＝18，若数列{(－1)nan}的前n项之和为Sn，则S100＝________．
专练29 等差数列及其前n项和
1．D 设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2（4a1＋\f(4×3,2)d），,a1＋d＋a1＋3d＝8，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋2d＝0，,a1＋2d＝4，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.
2．C 设等差数列{an}的公差为d
S3＝3a1＋ eq \f(3×2,2)d＝12，又a1＝2，∴6＋3d＝12，d＝2，
∴a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.
3．C ∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝24，,S9＝99，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝24，,9a1＋36d＝99，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝2.))则a7＝a1＋6d＝15.
4．C 等差数列{an}的前n项和为Sn，
且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，
解得a5＝30，∴S9＝ eq \f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝270.
5．C 设等差数列{an}的公差为d，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝3a1，,a1＋d＝3a1－1，))
所以a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋ eq \f(n（n－1）,2)＝ eq \f(n（n＋1）,2)，
所以 eq \f(Sn,n)＝ eq \f(n＋1,2)，
所以 eq \f(Sn＋1,n＋1)－ eq \f(Sn,n)＝ eq \f(n＋1＋1,2)－ eq \f(n＋1,2)＝ eq \f(1,2)，
所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是以1为首项， eq \f(1,2)为公差的等差数列，
数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和T10＝10＋ eq \f(10×（10－1）,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(65,2).
6．D ∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，
∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.
7．C 方法一 由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝ eq \f(a8－a4,8－4)＝ eq \f(9－5,4)＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋ eq \f(5×4,2)×d＝20，故选C.
方法二 设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5 ①，
由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45 ②，
由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋ eq \f(5×4,2)×d＝20，故选C.
8．D 由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋6d≤4，,6a1＋15d≥12，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋3d≤2 ①，,2a1＋5d≥4 ②，))由②－①，得d≥1，所以数列{an}为递增数列，要使a4取得最小值，必须取d＝1，代入②，得a1≥－ eq \f(1,2)，此时必须取a1＝－ eq \f(1,2)，即(a4)min＝a1＋3d＝ eq \f(5,2).
9．B 若a，b，c，d依次成等差数列，则a＋d＝b＋c，即必要性成立；
若a＝2，b＝1，c＝3，d＝2，满足a＋d＝b＋c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立．
10．答案：25
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋ eq \f(10×9,2)×1＝－20＋45＝25.
11．答案：2
解析：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
12．答案：51
解析：设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
设塔群共有n层，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋ eq \f(（n－4）（n－5）,2)×2＝108，
解得n＝12(n＝－8舍去).
故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
13．A 因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又210＝52×4＋2，
所以这210年有52个闰年，158个平年，
所以共有52×366＋158×365＝76 702天，
因为76 702＝10 957×7＋3，
所以狄更斯的出生日是星期五．
14．C 因为S14>0，
所以S14＝ eq \f(14×（a1＋a14）,2)
＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，
即a7＋a8>0，
因为S15<0，
所以S15＝ eq \f(15×（a1＋a15）,2)＝15a8<0，
所以a8<0，所以a7>0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，
则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．
15．答案：8
解析：∵a7＋a8＋a9＞0，a7＋a9＝2a8，
∴3a8＞0，即a8＞0.
又∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列前8项的和最大．故n＝8.
16．答案：100
解析：设等差数列{an}公差为d，由2a4＝a2＋a6＝18得a4＝9，则d＝ eq \f(a7－a4,7－4)＝ eq \f(15－9,3)＝2，
an＝a4＋(n－4)d＝2n＋1，当n为偶数时，(－1)n－1an－1＋(－1)nan＝an－an－1＝d＝2，
所以S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)＝50×2＝100.