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统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练31等比数列及其前n项和理
展开这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练31等比数列及其前n项和理,共5页。
[基础强化]
一、选择题
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1=( )
A. eq \r(2) B.2
C. eq \r(5) D.3
2.已知等比数列{an}满足a1= eq \f(1,8),4a2a4=4a3-1,则a2=( )
A.± eq \f(1,4)B. eq \f(1,4)
C.± eq \f(1,16) D. eq \f(1,16)
3.[2023·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a6=( )
A.6 B.9
C.27 D.81
4.[2023·江西省南昌市模拟]数列{an}中,a1=2,am+n=aman,则a4=( )
A.8 B.16
C.12 D.24
5.[2023·珠海模拟]在等比数列{an}中,a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) =a9且a8>a9,则使得an- eq \f(1,a1)>0的自然数n的最大值为( )
A.10 B.9
C.8 D.7
6.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=- eq \f(8,9),则当Tn取得最大值时,n的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
7.[2023·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8+a10= eq \f(1,2),a11+a13=1,则a20+a22=( )
A.8 B.4
C.-4 D.-8
8.[2022·全国乙卷(理),8] 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )
A.14 B.12
C.6 D. 3
9.[2023·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中,a7,a11是方程x2+5x+2=0的两根,则 eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)的值为( )
A.- eq \f(2+\r(2),2) B.- eq \r(2)
C. eq \r(2) D.- eq \r(2)或 eq \r(2)
二、填空题
10.[2023·江西省南昌市月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn,且满足S2=3,S3-S1=6,则a6=________.
11.[2023·全国乙卷(理)]已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.
12.[2023·吉林省质量监测(三)]已知数列{an}是首项为3,公比为q的等比数列,Sn是其前n项的和,若a3a4+a5=0,则q=________;S3=________.
[能力提升]
13.[2023·北京模拟]《九章算术》中有述:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍.意思是:“今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时,需要经过的天数是(结果精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)( )
A.2.9天 B.3.9天
C.4.9天 D.5.9天
14.[2023·浙江模拟]设{an}为等比数列,Sn和Tn分别为{an}的前n项和与前n项积,则下列选项错误的是( )
A.若S2 023≥S2 022,则{Sn}不一定是递增数列
B.若T2 024≥T2 023,则{Tn}不一定是递增数列
C.若{Sn}为递增数列,则可能存在a2 022
15.[2023·上海模拟]若数列{an}满足 eq \f(1,an+1)- eq \f(3,an)=0,则称{an}为“追梦数列”.已知数列{ eq \f(1,bn+1)}为“追梦数列”,且b1=2,则数列{bn}的通项公式bn=________.
16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
专练31 等比数列及其前n项和
1.B 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1(1-q6),1-q)=9×\f(a1(1-q3),1-q),,\f(a1(1-q5),1-q)=62,))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3=8,,\f(a1(1-q5),1-q)=62,))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q=2,,a1=2,))选B.
2.A 因为4a2a4=4a3-1,所以4a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q4=4a1q2-1,又a1= eq \f(1,8),解得q=±2,所以a2=a1·q= eq \f(1,8)×(±2)=± eq \f(1,4).故选A.
3.A ∵等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,
∴lg3a1+lg3a2+…+lg3a6=lg3(a1·a2·…·a6)=lg3(a1·a6)3=lg393=6.
4.B 因为数列{an}中,a1=2,am+n=aman,
所以令m=n=1,则a1+1=a1a1=2×2=4,即a2=4,
令m=n=2,则a2+2=a2a2=4×4=16,即a4=16.
5.C 因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) =a9,即(a1q6)2=a1q8,所以a5=1,又因为a8>a9,所以数列{an}为正项单调递减数列,所以0
0,所以qn-9>1=q0,所以n<9.又因为n为整数,故nmax=8.
6.C 设等比数列{an}的公比为q,则a4=-24q3=- eq \f(8,9),q3= eq \f(1,27),q= eq \f(1,3),此等比数列各项均为负数,当n为奇数时,Tn为负数,当n为偶数时,Tn为正数,所以Tn取得最大值时,n为偶数,排除B,而T2=(-24)2×( eq \f(1,3))=24×8=192,
T4=(-24)4( eq \f(1,3))6=84× eq \f(1,9)= eq \f(84,9)>192,
T6=(-24)6( eq \f(1,3))15=86×( eq \f(1,3))9= eq \f(86,39)= eq \f(1,9)× eq \f(86,37)< eq \f(84,9),T4最大,选择C.
7.A 对等比数列{an},不妨设其公比为q,
由a8+a10= eq \f(1,2),a11+a13=1可得a8(1+q2)= eq \f(1,2),a11(1+q2)=1,
故可得q3=2,则a20+a22=a11(1+q2)×q9=1×(q3)3=23=8.
即a20+a22=8.
8.D 设等比数列{an}的公比为q.由题意知, eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,q)+a2+a2q=168,,a2-a2q3=42.))两式相除,得 eq \f(1+q+q2,q(1-q3))=4,解得q= eq \f(1,2).代入a2-a2q3=42,得a2=48,所以a6=a2q4=3.故选D.
9.B 在等比数列{an}中,a7,a11是方程x2+5x+2=0的两根,
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a7+a11=-5,a7a11=2)),∴a9=- eq \r(2),
则 eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)= eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ,a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) )=a9=- eq \r(2).
10.32
解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
根据S2=3,S3-S1=6,
可得: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1+a1q=3,a1q+a1q2=6)),
解得: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1=1,q=2)),
所以a6=a1q5=32.
11.-2
解析:方法一 设数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,得a1q·a1q3·a1q4=a1q2·a1q5.又a1≠0,且q≠0,所以可得a1q=1 ①.又a9a10=a1q8·a1q9=a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q17=-8 ②,所以由①②可得q15=-8,q5=-2,所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.
方法二 设数列{an}的公比为q.因为a4a5=a3a6≠0,所以a2=1.又a9a10=a2q7·a2q8=q15=-8,于是q5=-2,所以a7=a2q5=-2.
12.- eq \f(1,3) eq \f(7,3)
解析:设等比数列{an}的公比为q,因为a3a4+a5=0,
则a1q2·a1q3+a1q4=0,将a1=3代入得3q+1=0,得q=- eq \f(1,3),
所以an=3·(- eq \f(1,3))n-1,
所以S3=a1+a2+a3=3-1+ eq \f(1,3)= eq \f(7,3).
13.C 设蒲的长度构成等比数列{an},其首项a1=3,公比为 eq \f(1,2),其前n项和为An.莞的长度构成等比数列{bn},其首项b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则An= eq \f(3(1-\f(1,2n)),1-\f(1,2)),Bn= eq \f(2n-1,2-1),由题意可得5× eq \f(3(1-\f(1,2n)),1-\f(1,2))= eq \f(2n-1,2-1),解得2n=30或2n=1(舍去).∴n=lg230= eq \f(lg 30,lg 2)= eq \f(lg 3+1,lg 2)= eq \f(1.48,0.3)≈4.9.
14.D 对于选项A,当{an}为:1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…,时,S2 023=1,S2 022=0,S2 021=1,满足S2 023≥S2 022,但S2 021>S2 022,所以{Sn}不是递增数列,故选项A正确;
对于选项B,当{an}为:1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…时,T2 023=-1,T2 024=1,T2 025=-1,
满足T2 024≥T2 023,但{Tn}不是递增数列,故选项B正确;
对于选项C,当{an}为:1, eq \f(1,2), eq \f(1,4), eq \f(1,8),…,时,Sn= eq \f(1-\f(1,2n),1-\f(1,2))=2(1- eq \f(1,2n)),满足{Sn}为递增数列,此时a2 022= eq \f(1,22 021)对于选项D,当{an}为:2,2,2,…,时,Tn=2n,满足{Tn}是递增数列,但是a2 022=a2 021=2,故选项D不正确.
15.3n-1
解析:根据题意,“追梦数列”{an}满足 eq \f(1,an+1)- eq \f(3,an)=0(n∈N+),即an=3an+1,则数列{an}是公比为 eq \f(1,3)的等比数列.
若数列{ eq \f(1,bn+1)}为“追梦数列”,则 eq \f(1,bn+1)= eq \f(1,b1+1)×( eq \f(1,3))n-1= eq \f(1,3n)⇒bn+1=3n⇒bn=3n-1.
16.64
解析:设等比数列{an}的公比为q,
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1+a3=10,,a2+a4=5,))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1+a1q2=10,,a1q+a1q3=5,))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1=8,,q=\f(1,2),))
∴a1a2…an=( eq \f(1,2))(-3)+(-2)+…+(n-4)
= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)n(n-7))
=( eq \f(1,2)) eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((n-\f(7,2))2-\f(49,4))),
当n=3或4时, eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((n-\f(7,2))2-\f(49,4)))取到最小值-6,此时( eq \f(1,2)) eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((n-\f(7,2))2-\f(49,4)))取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.
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