专题38 圆锥曲线中的圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题38 圆锥曲线中的圆问题
【方法技巧与总结】
1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【题型归纳目录】
题型一：蒙日圆问题
题型二：内圆与外圆问题
题型三：直径为圆问题
题型四：四点共圆问题
【典例例题】
题型一：蒙日圆问题
例1．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
（1）已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；
（3）在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
【解析】解：（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形，
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且，
进而动点的轨迹方程为（3分）
（2）设两切线为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，（5分）
因为直线与椭圆相切，所以△，得，
化简，，
进而，
所以（7分）
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，（9分）
②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，
可知：点坐标为：，
点坐标也满足，
综上所述，点的轨迹方程为：．（10分）
（3）动点的轨迹方程是（12分）
例2．已知椭圆的一个焦点为，，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若动点，为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【解析】解：（Ⅰ）由题设，椭圆参数且，则，
所以，故椭圆的标准方程：．
（Ⅱ）当切线不与坐标轴垂直时，切线为，则，
代入椭圆整理得：，
所以，整理得，
所以，若两条切线斜率分别为，，
又到椭圆的两条切线相互垂直，即，故；
当切线与坐标轴垂直时，也满足；
综上，的轨迹方程为．
例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点，为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；
（3）若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于，两点，求证：．
【解析】解：（1）由题意可得，，则，，可得椭圆的方程为；
（2）可知切线的斜率存在，设为，切线的方程设为，联立椭圆方程，
可得，
由直线和椭圆相切，可得△，
化简可得，
由两条切线相互垂直可得，即，
化为，即为的轨迹方程；
（3）证明：设，由椭圆的焦半径半径可得，
设过的直线的参数方程为为参数），代入的方程，
可得，
可得，
由，对应的参数为，，且，可得，
故．
变式1．已知椭圆的右焦点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点，为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【解析】解：（1）依题意知，求得，，
椭圆的方程为．
（2）①当两条切线斜率均存在时，设过点，的切线为，
，


整理得，
△，
整理得，
，．
②当两条切线中有一条斜率不存在时，即、两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，
的坐标为，把点代入亦成立，
点的轨迹方程为：．
变式2．在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．
（1）已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、．、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、．、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程．
【解析】解：（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且，
动点 的轨迹方程为．
（2）动点的轨迹是一个圆，
设两切线，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
直线与椭圆相切，△，
化简，
进而，
，
是方程的一个根．
同理是方程的另一个根．
，得，其中．
②当轴或轴时，对应轴或轴，可知，满足上式，
综上知：点的轨迹方程为．
变式3．设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、
①证明：；
②求面积的最大值．
【解析】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由题意知当直线过椭圆的另一焦点时周长最大，
所以把代入椭圆的方程可得，
，
△的周长为，
，
解得，，
椭圆的方程为．
（2）①设，，则．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：，
代入椭圆的方程可得：
，
△，
化为．
当时，
，
．
当时，也有．
综上可得：．
②由①可得：，
为的直径，因此过圆心即原点．
当时，面积取得最大值．
变式4．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，．求证：．

【解析】解：（Ⅰ）由知，
椭圆方程可设为．又直线与椭圆相切，代入后方程满足△．由此得．
故椭圆的方程为．（6分）
（Ⅱ）设，．当时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好，可见，另一条切线平行于轴，；（7分）
设，则两条切线斜率存在．设直线的斜率为，则其方程为
即．代入并整理得：．（9分）
由△可得：（11分）
注意到直线的斜率也适合这个关系，所以，的斜率，就是上述方程的两根，由韦达定理，．（13分）
由于点在圆上，，所以．这就证明了．
综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，，总有．（15分）

变式5．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；
②求证：线段的长为定值．

【解析】（1）解：，
椭圆方程为，
准圆方程为．
（2）证明：（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得．
因为直线与椭圆相切，
所以△，解得，
所以，方程为，．
，．
（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则，
当时，与准圆交于点，
此时为（或，显然直线，垂直；
同理可证当时，直线，垂直，
②当，斜率存在时，设点，，其中．
设经过点，与椭圆相切的直线为，
所以由，
得，
由△化简整理得
因为，所以有．
设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，
所以，满足上述方程，
所以，即，垂直．
综合①②知：因为，经过点，，又分别交其准圆于点，，且，垂直．
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值6．
题型二：内圆与外圆问题
例4．已知椭圆及圆，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，求椭圆的离心率．
【解析】解：由，可得为等边三角形，即，
设直线的方程为，
圆心到直线的距离为，弦长，
解得，
可得直线，代入椭圆方程，
可得，
由直线和椭圆相切，可得：△，
化简可得，
由，可得，
即有．
例5．已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若，，依次成等差数列，求直线的方程．

【解析】解：（1），直线的倾斜角为，
直线的方程为，则到直线的距离．
，，
即，
，从而，
椭圆的方程为：，圆的方程为；
（2）设，，
，，
又，，依次成等差数列，，则．
设，，由，解得，即，，
，则．
例6．如图，已知椭圆和圆（其中圆心为原点），过椭圆上异于上、下顶点的一点，引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）求直线的方程；
（2）求三角形面积的最大值．

【解析】解：（1）因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组，
消去，，即得直线的方程为．
（2）直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．
（因为点，在椭圆上，
所以，即．
设，
所以．
当且仅当时，三角形的面积取得最大值．（12分）．
变式6．如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．

【解析】解：（1）直线与圆相切，则，
由椭圆的离心率，解得：，
椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）由题意知直线，的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，
则．
由，得，或，
，．
用代替，，，
则，
，
，
，
，
设，则．
当且仅当即时取等号，
即，
．
直线的斜率，
所在的直线方程：
变式7．已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程．

【解析】解：（1）取的中点，连接，，
由，，可得，
弦的长为，
，
，，
圆的方程为，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，，
又，得，
，
设，，则，，
代入，得，解得，
代入，得．
，
则直线的方程为：，即．

变式8．已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为，．
（Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；
（Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

【解析】解：（Ⅰ）圆过椭圆的焦点，圆，，
，，．
（Ⅱ）设，，，，，．
则，整理得．
．方程为：．
同理可得：方程为：．
从而直线的方程为：．
令，得，令，得．
又，即．
，
为定值．

变式9．已知椭圆，其右焦点为，，点在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围．
【解析】解：（1）由题意可知，
当点在轴上时，，不妨设，
得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，
则，
同理，
，
同理，
所以的周长为，
①当直线的斜率不存在时，的方程为或．
的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，
此时的周长为4．
的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，
此时的周长为．
②当直线的斜率存在时，设的方程为，
由直线与圆相切，得，即，
联立得，化简得，
则，易知△恒成立，
而，即，同号，
当时，即，此时点在轴右侧，所以，，
此时的周长为定值．
当时，即，此时点在轴左侧，所以，，
此时的周长
，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
即或时取等号．
从而，所以周长的取值范围为，，
综上所述，周长的取值范围为，．
题型三：直径为圆问题
例7．已知椭圆的右焦点为，上下顶点分别为，，以点为圆心为半径作圆，与轴交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，点，为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线，与轴分别交于点，，记以为直径的圆为，试判断是否存在直线截的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）以点为圆心为半径的圆的方程为．
因为该圆经过点，即可得，
所以．
从而可得椭圆的方程为；
（2）解：设点、的坐标分别为，、，，
则直线的方程为，可得点的坐标为．
同理可得点的坐标为．
取圆上任意一点，
则，，
由圆的几何性质可知，
则，
则以为直径的圆的方程为．
化简可得：，
结合椭圆的方程可得，
代入上式可得：．
令，可得恒成立．
据此可知存在直线，该直线截的弦长为定值．
例8．已知动圆过定点，且与轴截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程．
（2）设，过作不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，以线段为直径的圆为．判断点与圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）设，因为动圆过定点且与轴截得的弦的长为4，
所以，所以，整理可得，
所以动圆圆心的轨迹的方程是；
（2）设直线的方程为，代入，可得，
设点，则有，，
已知点，则，
直线的方程为，
令，可得，
所以点，同理可得，点，
则，
则有，
故，即，
所以点在圆上．
例9．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，，为准线上一点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若点为线段的中点，设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系．
【解析】解（Ⅰ） 设的方程为．，，，，
可得
由 得，可知，．
可知，，，

，直线的方程为，
令可得，
点是的中点，；

（Ⅱ）点为线段的中点，以线段为直径的圆为圆，．
由抛物线定义可得．
点在圆上．
变式10．已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求抛物线和双曲线标准方程；
（2）已知动直线过点，交抛物线于，两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．
【解析】解：（1）设抛物线的方程为，把点代入求得，
抛物线的方程为，焦点坐标为．
对于双曲线，一个焦点坐标为，则另一个焦点坐标为，
故，，，．
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意可得，的中点为，设，，则，．
设、是圆上的两个点，且垂直于轴，的中点为，点，，则，，
，，

由的任意性可得，当时，，故弦长为为定值．
故存在垂直于轴的直线（即直线，倍圆截得的弦长为定值，直线的方程为．
变式11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，动直线过且与椭圆相交于，两点，且的最大值为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）如图，已知，为抛物线 上一点，为抛物线在点处的切线，与椭圆有两个不同的交点，，当以为直径的圆过原点时，求．

【解析】解：（1）由椭圆的定义的周长为定值，
而，故，所以，
所以，
所以椭圆的离心率；
（2）方法一：由（1）可知，，故椭圆，则，
抛物线，
由，则，故，所以直线的方程：，
所以，将代入椭圆方程中，消去，并整理得，
由，所以，
注意到，
则有，记，，
则有，则，
设的两个根即为，，于是①，②，
因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，因此，
将①②代入，并整理，得：，即，
由，于是有，记，，
则有，解得，
因为，所以（说明：因为．
综上可知，，
方法二：若是保留，则可先求，椭圆，抛物线，
切线，联立后，，所以，
因为，所以，，即，
所以，
所以．
所以，的值为．
变式12．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．
（1）当直线垂直于轴时，求弦长；
（2）当时，求直线的方程；
（3）记椭圆的右顶点为，直线、分别交直线于、两点，求证：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
【解析】解：（1）由题知，将代入椭圆方程得，所以；
（2）由（1）知当直线的斜率不存在时，，
此时，不符合题意，舍去，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为：，
联立，消去，整理，得，
设，，，，则，，
由
，
解得，
所以，直线的方程为；
（3）证明：①当直线的斜率不存在时，，
直线的方程为，点坐标为，直线的方程为，点坐标为，
以为直径的圆方程为，
由椭圆的对称性知若以为直径的圆恒过定点则定点在轴上，
令，得，．即圆过点，，
②当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线的方程为，
点坐标为，同理点坐标为，
以为直径的圆的方程为，
令，得，
由，
得，解得，，即圆过点，，
综上可得，以为直径的圆恒过定点，．
变式13．已知动圆与圆及圆中的一个外切，另一个内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与轨迹相交于、两点，以线段为直径的圆经过轨迹与轴正半轴的交点，证明直线经过一个不在轨迹上的定点，并求出该定点的坐标．
【解析】解：依题意，，，
当动圆与圆外切且与圆内切时，有，即，
当动圆与圆内切且与圆外切时，有，即，
即，
动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的双曲线，其中，，
轨迹的方程为；
证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
由得，
由，得，
且，
依题意，以为直径的圆经过点，
，且，
，
，
即，
，
化简，得，即，
或，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点即是点，不符题意，舍，
当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意，
当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由解得，
依题意，以为直径的圆经过点，，即，
，即，
解得（舍或，
的方程为，直线过点，
故直线经过一个不在轨迹上的定点，定点的坐标为．
变式14．如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1），
，，
，，，
椭圆方程为：．
（2）动直线的方程为：，
由
得，
设，，，，
则．
由对称性可设存在定点满足题设，
则，

，
由题意知上式对成立，且，解得．
存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为．
题型四：四点共圆问题
例10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：，，，四点共圆．
【解析】解：（1）由题意知，解得，，，
所以的方程为：；
（2）证明：设点，（不妨设，则点，，
由，整理可得：，
所以，，
所以直线的方程为，
因为直线与轴交于点，令得，
即，同理可得点，
所以，，
所以，，，
所以，同理，
则以为直径的圆恒过焦点，，即，，，四点共圆．
综上所述，可证得，，，四点共圆．
例11．已知椭圆的右顶点为点，直线交于，两点，为坐标原点．当四边形为菱形时，其面积为．
（1）求的方程；
（2）若，是否存在直线，使得，，，四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为四边形为菱形，所以垂直平分，
不妨设为轴上方的点，则点的横坐标为，
代入椭圆方程可得的纵坐标为，
根据菱形的面积为，解得，
所以的方程为；

（2）设直线，，，，，
联立方程，
得，则，，
且△，
因为，，，四点共圆，所以，
则有，即，
所以，即，

由得，即，
由得，
即，
联立，
解得，（此时直线过点，舍去），
将代入，解得，即，
所以直线的方程为．
例12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）过原点且与轴不重合的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：，，，四点共圆．
【解析】（1）解：由题意知
解得，，
所以的方程为．
（2）证明：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，
则，或，，，，
所以，，则以为直径的圆恒过焦点，，
即、，，四点共圆．
当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
设点，（不妨设，则点，．
由消去得，所以，，
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，令得，
即点，
同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以为直径的圆恒过焦点，，即，，，四点共圆．
综上所述，，，，四点共圆．
变式15．已知双曲线与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
【解析】解：（1）双曲线的标准方程为，
，，
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，，
，，
两式相减得，
即得：，，
这时直线的方程为，
由消去并整理得：，△，
从而得直线与双曲线相交，
所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为；
证明：（2）设直线方程为，则点在直线上，
则，直线的方程为，
设，，，，的中点为，，
，，
两式相减得，则，则，
又因为，在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则，
则，
由距离公式得，
所以、、、四点共圆．
变式16．已知抛物线，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为．直线与交于另一点，线段的垂直平分线交于，两点．
（1）求的值；
（2）若中，证明，，，四点共圆，并求该圆的方程．
【解析】解：（1）设，，则，
令，，则，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，在，上单调递增，其最小值为9，
即的最小值为3，不满足题意，
当时，，所以当时取得最小值，
即所以，解得或（舍，
所以；
（2）由（1）可得，当时，，点，
所以，直线的方程为，
由可得，解得或，所以，
所以的中点为，所以直线的方程为，即，
设，，，，由可得，所以，，
所以线段的中点为，
因为，所以，，，四点共圆，圆心为，半径为8，
所以该圆的方程为．
变式17．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，直线交轴于点，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若、、、四点共圆，求的值．
【解析】解：（1）依题意：，解得：，，
故椭圆的方程为．
（2）设，，，，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，
则直线不与轴重合，则可设为，
与椭圆方程联立得，
则△，可得，
由韦达定理可得．

直线的方程为，令得点纵坐标，
同理可得，点纵坐标．
当、、、四点共圆时，由割线定理可得，即，

．
由，故，解得．
变式18．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4．
（1）求的方程；
（2）如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标．

【解析】解：（1）因为实轴长为4，即，，
又，所以，
故的方程为；
（2）由，，，四点共圆可知，，
又，即，
故，
即，所以，
设，，，，，，
由题意可知，则直线，直线，
因为在直线，所以，代入直线方程，可知，
故坐标为，所以，
又，
由，则，
整理可得，
当直线斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线，代入双曲线方程：中，
可得，所以，
又
，
所以，
故，即，所以点坐标为．
变式19．椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交轴于点，其中，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若，，，四点共圆，求的值．
【解析】解：（1）由题意可得，解得，，，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可得，，，
设点，，，，，，
，，，四点共圆，
，
即，
设直线的方程为，
代入椭圆方程可得，
，，
直线的方程为，当时，，
直线的方程为，当时，，

，
，
解得．

变式20．已知椭圆的两焦点，分别为，椭圆上的动点满足，，分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线与交于点，与轴交于点，与的交点为，求证：，，，四点共圆．
【解析】（Ⅰ）解：由椭圆的定义可知，，
所以，，，
故椭圆的方程为；
椭圆的离心率为；
（Ⅱ）证明：设点，，则，
又，
所以，
设直线的方程为，
联立方程组，解得，
所以，故，
又，
所以，故，
所以，故，，，四点共圆．

变式21．设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，不过原点且斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，线段的中点为，直线与曲线交于，，证明：，，，四点共圆．
【解析】（1）解：设，由题意可得，
两边平方整理可得，
化简可得动点的轨迹方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，
联立方程组，得，
判别式△，由△，可得，
，，
所以点的坐标为，直线的方程，
由方程组，得，，，，
所以，
又，
所以，
所以，，，四点共圆．
变式22．已知斜率为的直线交椭圆于，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点．
（1）若，求直线的方程以及的取值范围；
（2）不管怎么变化，都有，，，四点共圆，求的取值范围．
【解析】解：设，，，．
（1）当时，直线的方程为，
将方程代入得：．①
由，解得，此时的方程为．
将代入①，得．
由△，解得．
（2）设直线的方程为，
将方程代入得：．②
由题意，即．
，
，
所以中点的横坐标，
点到的距离为，
由，，，四点共圆，
即，③
不管怎么变化，都有，，，四点共圆，即上式恒成立，所以，解得，
此时③式成立．代入②，由△得此时．
所以的取值范围为，．
变式23．已知抛物线上的点，到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）若直线交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、、、四点共圆．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的准线为，
点，到其焦点的距离为1，，即，
抛物线方程为，
又点，在抛物线上，，即；
证明：（Ⅱ）设，，，，
联立，得，
则，，且，即，
则，
且线段中点的纵坐标为，则，
线段的中点，，
直线为线段的垂直平分线，直线的方程为，
联立，得．
设，，，，
则，，
故．
线段的中点为，，
，
，
，
点在以为直径的圆上，同理点在以为直径的圆上，
故、、、四点共圆．