专题17 向量中的隐圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题17 向量中的隐圆问题
【考点预测】
一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：

．
四．与向量模相关构成隐圆




【典例例题】
例1．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】
根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选：D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以


，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
             
例3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.
【详解】

设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积的夹角公式可得，设，，，，，，根据数量积的坐标表示可得点的轨迹为圆，由几何意义可知：的最小值为减去半径即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以
不妨设，，，，，
，
则，，
因为，所以，
化简为：，
所以对应的点是以为圆心，半径为的圆，
所以的最小值为，
故选：B.

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（       ）
A． B．1
C． D．     
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，将原等式化为，得出，
设，进而得出，表示以，半径为1的圆；而表示圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，利用数形结合的思想即可解得答案.
【详解】
由题意知，，则，
由可得，即，
设，
则，
所以，
所以表示以，半径为1的圆，
表示圆C上的点到定点B(-2，0)的距离，
而的最小值即为圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，如图所示，
又，所以.
故选：D

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：

则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
例7．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知平面向量满足，，则的最小值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，，
，因为，所以，
设，，，
，，
所以，
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，
故选：D.
例8．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，满足，，，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，由已知可得，表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求
【详解】
解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，
因为，
所以，化简得，
表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，
故选：B

【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.
【详解】
设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以.
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.

故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图像如下图所示，取的中点为D，由，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式，可得选项.
【详解】
作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则.又为圆O上的点P到D的距离，则，
∴的最小值为.
故选：A.

【点睛】
本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.
例11．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】
解：可设，，
则，
即，则，，
，
当时，取得最大值为6，
即的最大值为6.
故选：C
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件求出向量，的夹角，建立平面直角坐标系，设，，设，，，根据线性运算可得，，，结合正弦定理可求出点的轨迹，当三点共线时取得最大值，即可求解.
【详解】
因为，所以，可得，
因为，所以，
如图所示：在平面直角坐标系中，，，
不妨设，，延长到使得，则，
点为平面直角坐标系中的点，，则，，
则满足题意时，，结合点，为定点，且，
由正弦定理可得：，可得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，
当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，
其最大值为，
故选：A.

例13．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】
因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
例14．（2022·江苏泰州·模拟预测）平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.
【详解】
由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，
由于,
∴，∴，
即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,
故，
故答案为：
例15．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.
【详解】
解析：几何意义+等和线
由题记，
则由，
得，且．
作图，如右图所示：

为正三角形，，
由，得C在直线上，
又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴．
故答案为：．
例16．（2022·浙江金华·三模）已知平面向量，，满足，当取到最小值吋，对任意实数，的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
构造单位圆，设出向量，，，由题设得到CA、CB是圆O的两条切线，，从而由当取到最小值时，求得，结合表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，可求得答案.
【详解】
如图，设为单位圆O的两条半径，记，，，

设，由题意，
可知CA、CB是圆O的两条切线，则 ，
故，
当且仅当，即时取“＝”，此时 ，
因为表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，
故当该向量垂直于向量 时，其模最小，
记，则 ，则，
故答案为：
例17．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设为AB中点，令，结合图形，利用向量的线性运算求出，转化为函数求最小值即可.
【详解】
如图，

设为AB中点，令，
则   ①，
因为，
故有，
   ②，
由①②得，从而，
因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：在平面上分别作出向量对应的有向线段，利用极化恒等式得出，联立方程后可得，是解题的关键，再将向量模用表示出来，即可利用函数单调性求最值.
例18．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量满足，若，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，设，，，，，，则，再根据题意得点是直线与的角平分线的交点，得到，进而得到，求解计算即可.
【详解】
如下图所示，设，，，，，，
因为，所以，
因此点在直线上，又由于，因此是的角平分线，
因此点是直线与的角平分线的交点.根据角平分线的性质可.
过点作的平行线交于点，则.
因此点在以为圆心，半径为2的圆上运动由于，由此当直线相切于时，
有最大值，有最小值.设此时切点为，则，，
故.综合上述，的最小值为.
故答案为：.

【点睛】
与平面向量有关的最值问题，常见处理方法有两种：
第一种：利用坐标进行转化；
第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.
例19．（2022·辽宁·一模）已知向量、、，且，，，，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意，建立直角坐标系，写出、、坐标，求出终点轨迹，数形结合即可求解.
【详解】
不妨设，，，
，则起点在原点，终点轨迹为单位圆，
∴当与同向时，最小，为.
故答案为：.

例20．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，由条件得出点的轨迹方程，又设,即由条件可得三点共线，根据几何关系可得答案.
【详解】
设，
则，
由，则
即
即点在圆上.
由，即
设,即由，则三点共线.
当时，取得最小值
故当与圆相切时, 取得最大值.
如图设圆心为，由与相似
则，即
故答案为：

例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知平面向量满足：，，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设，，求出B的轨迹方程，再根据的几何意义求其最小值.
【详解】

如图，在平面直角坐标系中，设，，则A(1，0)，B(x，y)，
则，，
即的轨迹为抛物线：.
设，则，＝，
设，∵，故C的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
∴，可看作抛物线上任意点到以为圆心，半径为1的圆上任一点的距离，
则，当时取等号.
故的最小值为.
故答案为：.
例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作，，，，分析可知则点在以线段为直径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，可得，设，利用圆的几何性质结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】
因为，则，即，
因为，即，
作，，，，则，
，则，
固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：

，
设，则，
因为，，
故
，
当时，等号成立，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.
例23．（2022·浙江·舟山市田家炳中学高三开学考试）已知向量与的夹角为，，，向量的夹角为，，则的最大值是___________.
【答案】25
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，根据正弦定理可求出.记线段的中点为M，的中点，在中，可求出，从而可求出，然后在中，根据余弦定理求出，从而可求出.
【详解】
如图，作圆P，使得，
且点O在优弧上，点C满足，
则，符合题意.
记线段的中点为M，
在中，由正弦定理，得，
取的中点，连接，在中，，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
且，
因为，，所以，
所以
，当且仅当点P在线段上时，等号成立

所以的最大值是.
故答案为：.
例24．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知条件可设，．由已知可确定点C在以为圆心，1为半径的圆上，D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），则所求即为圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，从而可得答案.
【详解】
∵，∴，又，则可设，
设．由知C在以为圆心，1为半径的圆上，取的中点为，
由
,又，
所以
所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．

作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，
则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，
所以，
即的最大值为．
故答案为：．
例25．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（理））已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可设的坐标，设，利用求得的终点的轨迹方程，即可求得答案.
【详解】
因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为，
故答案为：
例26．（2022·全国·模拟预测）已知，满足，，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
，，得到，，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以为半径的圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果.
【详解】
因为，，如图，

圆O的半径为，点A，B在圆上，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
设，，则，．
设，
则，
当时，有最大值，最大值为4，
此时，的最大值为4．
故答案为：4.
例27．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线过定点，过点作的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，应用坐标表示出、，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问题转化为定点到圆上点距离最大.
【详解】
设，若，则，，
所以，故M的轨迹为.
轨迹是圆心为，半径为的圆，则最大.
故答案为：
例28．（2022·浙江温州·二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题
【详解】
由题，令，则,
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为.

故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足＝＝1，·＝－，若＝1，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
以P为原点，PA为x轴建立坐标系，求出C的轨迹即可求解.
【详解】

如图，以P为原点，PA为x轴建立坐标系.
∵＝＝1，·＝－，∴∠APB＝120°，
∵＝1，故C在以B为圆心，1为半径的圆B上，
，，，
∴的最大值为：.
故答案为：.