专题34 圆锥曲线存在性问题的探究-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题34 圆锥曲线存在性问题的探究
【方法技巧与总结】
解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
【题型归纳目录】
题型一：存在点使向量数量积为定值
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
题型三：存在点使两角度相等
题型四：存在点使等式恒成立
题型五：存在点使线段关系式为定值
【典例例题】
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1），可得，，，
所求椭圆的方程为：．
（2）当直线不与轴重合时，
可设直线的方程为：，联立，
把消去可得整理得：，设，、，，
，，
假设存在定点，使得为定值，



．
当且仅当，即时，（为定值）．
这时，再验证当直线的倾斜角时的情形，
此时取，，，
存在定点使得对于经过点的任意一条直线均有（恒为定值）．
例2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：由题意知：，
解得，
椭圆方程为：
设，，，，．
设直线的方程为：存在）
联立，得：，
则
又

而


为定值．
只需，
解得：，从而．
当不存在时，
此时，当时，
故：存在，使得．
例3．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意得，即，
又椭圆经过点，可得，
解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）假设存在符合条件的点，
设，，，，
则，，，，
，
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
可得△成立，且，，
，
，
对于任意的值，上式为定值，
故，解得：，
此时，为定值；
②当直线的斜率不存在时，
直线，，，，
由，得为定值，
综合①②知，符合条件的点存在，其坐标为，．
变式1．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）直线的倾斜角为，且，
点，
，解得：，
椭圆的方程为：．
（2）设，直线的方程为：，，，，，
联立方程，消去得：，
，，
，，，，






令为定值，
则，解得：，
此时为定值，也为定值，
所以存在，，使得为定值．
变式2．已知，，点满足，记点的轨迹为，
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．
①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；
②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．
轨迹方程为．
（2）直线的方程为，
由得，设，，，，
由条件得
解得即．

①，
由条件，故，，
因为，因此．
②设存在点满足条件，由
，
得对任意恒成立，
所以，解得，
因此存在定点满足条件．
变式3．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）原点到直线的距离，
，，
双曲线的方程为；
（Ⅱ）解法一：假设存在点满足条件，
①当直线方程为时，则，；
②当直线方程不是时，可设直线，代入
整理得，
由△得，
设方程的两个根为，，满足，，
当且仅当时，为定值1，
解得，
不满足对任意，△，不合题意，舍去．
而且满足△；
综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值1．
解法二：前同解法一，得，
由，
解得，下同解法一．
解法三：当直线不垂直轴时，设，代入
整理得，
由△得，
设方程的两个根为，，满足，
，
当且仅当时，为定值1，
解得，
不满足对任意，△，不合题意，舍去，
而且满足△；
当直线轴时，代入得，
；（9分）
综上得：（结论同解法一）
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且△的周长是6，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，，试问：直线与直线的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知△的周长为，所以．
又因为椭圆的离心率，所以，
联立解得，，所以，
因此椭圆方程为．
（Ⅱ）设，，，，直线方程为，
联立，消去，得，
则，，
因为
，
所以为定值，这个定值为0，
当直线与轴重合时，也有，
所以直线与直线的斜率的和为定值0．
（2）设，，，，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，
消去得，
则，，
因为
，
当直线与轴垂直时，有，
所以直线与直线的斜率的和为定值0．
例5．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆半焦距为．根据题意得，椭圆离心率，即，
所以．①
因为直线过椭圆的上顶点和右顶点，所以设直线的方程为，即，
又由点到直线的距离为，得．②
联立①②解得，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）依题意可设直线的方程为，，，，，
联立，消去，得．
所以△，所以，
所以，，
则，，
假设存在定点，，使得直线，的斜率之积为非零常数，
所以，
要使为非零常数，当且仅当，
解得（负值舍去）．
当时，常数为，
所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数．
例6．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，得．
因为过椭圆的上顶点和右顶点，所以的方程为，即．
又由点到直线的距离为2，得，所以．
设，，则，解得，从而，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意设直线的方程为，，，，．
联立方程组消去得，△，
所以，，，．
假设存在定点，，使得直线，的斜率之积为非零常数，
则．
要使为非零常数，当且仅当，即时成立，
此时，，
所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数．
变式4．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率与直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由于，两点关于轴对称，故由题设可知经过，两点，则图象不经过点，故在椭圆上，
，解得，，
故椭圆的方程为，
（2）由题设知，直线不能与轴重合，
故可设直线的方程为，设，、，，，直线的斜率为，直线的斜率为，
由，得，
则△
则，，
，
当时，即时，为定值，或，
此时点的坐标为．
变式5．设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，
因此，解得，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）设点的坐标为，
当直线与轴垂直时，直线与的倾斜角均为，满足题意，
此时，且；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，，，
联立，得，
其判别式△，
，，
直线和直线的倾斜角互补，
，
，
即，
整理得，
把，代入得，
，，即，
综上所述存在与点不同的定点满足题意．
题型三：存在点使两角度相等
例7．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意，．故．
可设点坐标为，则
，解得，即．
，解得．
，．
椭圆的标准方程为．
（2）由题意，假设存在与不重合的定点，使得恒成立，
设，，且，，，，，则
，．
，
，即．
整理，得．
设直线．
联立，
消去，整理得．
，．

．


．
存在与不重合的定点，使得恒成立，且点坐标为．
例8．在平面直角坐标系内，椭圆，离心率为，右焦点到右准线的距离为2，直线过右焦点且与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴垂直，为椭圆上的动点，求的取值范围；
（3）若动直线与轴不重合，在轴上是否存在定点，使得始终平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）由题意得：，得，，（2分）
，，椭圆的标准方程为：．（4分）
（2）当直线与轴垂直时，，，设点，，
则，
又点在椭圆上，，消去得，，
得取值范围为，．（8分）
（3）假设在轴上存在点满足题意，不妨设，设，，，，
设直线的方程为：，联列，消去得，
则，，（12分）
由平分知：，（13分）
又，
又，，得，
即，得，
所以存在点满足题意． （16分）
例9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点满足：，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与交于，，，不同的两点，且，问在轴上是否存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形．若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为，所以点在椭圆上，
将代入，得①，
设椭圆焦距为，则，所以，又②，
由①②解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线，
联立消去整理得：，
由△，得，
则，，
假设存在点，因为直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，所以，
设，则，
即，
所以，
解得．
故在轴上存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终在底边为轴上的等腰三角形．
变式6．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由知，
在△中，，，
解得，，，
所以椭圆；（6分）
（Ⅱ）假设存在点满足条件，
设直线方程为，，，，，
，消去有，，．
因为，所以，即，解得．
所以存在使得．（12分）
题型四：存在点使等式恒成立
例10．已知椭圆的右焦点为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程．
（2）过点的直线与椭圆交于，，，两点，其中，点与不重合）在轴上，直线，分别与轴交于，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）设，，则①
由，得，即②
结合①②得．
又由右焦点，得，所以，，
所以椭圆的方程为．
（2）设存在定点，使得恒成立．
显然直线的斜率不为0，故设直线，
消去得，△，即
由题意可知，存在且不为0，
则．
要使恒成立，只需，
即，
故．所以在轴上存在定点，使得恒成立．
例11．已知椭圆的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意可知，
又离心率为，，
，
椭圆的标准方程为：．
（2）设点，，，，，，
设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
△，，
则，
，

则点，
又点在椭圆上，
，
整理得：，解得，
椭圆上存在点，使得，此时直线的方程为．
例12．设、分别是椭圆的左、右焦点，，直线过且垂直于轴，交椭圆于、两点，连接、、，所组成的三角形为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，试问：椭圆上是否存在点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（本小题满分14分）
（Ⅰ）、分别是椭圆的左、右焦点，，
由可得，（1分）
等边三角形中：，，（3分）
则，得，（4分）
又，，（5分）
则椭圆；（6分）
（Ⅱ）设，、，，
则由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设，
代入椭圆的方程中，
整理得，（8分）
由题意得△．
由韦达定理有：，①（9分）
且②（10分）
假设存在点，使成立，则其充要条件为：
点，，（11分）
点在椭圆上，即．
整理得（12分）
又、在椭圆上，即，，
由①②代入：，解得，（13分）
（14分）
变式7．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，，解得，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）设存在点满足题意，点为，
当直线的斜率不存在时，则，，
，，，解得或．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，，
联立，得，
则，，
，，，，


，
化简整理得，，
且，
解得．
综上所述，轴上存在定点，使得恒成立，点的坐标为，．
变式8．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）由题意，
点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：，
，
椭圆的标准方程为；
（2）假设轴上存在点，使得恒成立
当直线的斜率为0时，，，，，则，，①
当直线的斜率不存在时，，，则，

或②
由①②可得．
下面证明时，恒成立
当直线的斜率为0时，结论成立；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，
直线方程代入椭圆方程，整理可得，，
，，
综上，轴上存在点，，使得恒成立．
变式9．已知椭圆的右焦点为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1），，，
，椭圆方程为．
（2）假设轴上存在点，使得，
①当直线的斜率为0时，，，
则，解得．
②当直线的斜率不存在时，，，
则，
解得，．
由①②可得．
下面证明时，恒成立．
直线斜率存在时，设直线方程为，，．
由消整理得：，
，，，
所以，，
，
综上，轴上存在点，使得恒成立．
变式10．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线的斜率存在，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）当直线的斜率不存在时，
，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设，，，，
直线的方程为，①
又椭圆的方程为，②
由①②可得，
，，
，
，解得，
，即直线的方程为或．
（2）由（1）可知，
设的中点为，即，
假设存在点，使得，则，
解得，
当时，，为椭圆长轴的两个端点，则点与原点重合，
当时，，
综上所述，存在点且．
变式11．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）椭圆的右焦点为，右顶点为，
，
可得，
又因为，，解得，
故椭圆的方程为；
（2）椭圆上不存在这样的点．事实上，设直线的方程为，
联立椭圆方程，得，
△，得．
设，，，，
则，，
由知为平行四边形，
而为的中点，也是的中点，
于是设，，，，
则，
即，可得，
因为，所以，
若，在椭圆上，则，矛盾．
因此，不存在满足条件的点，．
变式12．设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）由题意知：，
又因为，，解得
故椭圆的方程为，
（2）椭圆上不存在这样的点．
设直线的方程为，
联立，得，△，得．
设，，，，则，，
由知为平行四边形，而为的中点，也是的中点．
于是设，，，则，
即，可得．因为，所以．
若，在椭圆上，则，矛盾．
因此，不存在满足条件的点，．
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．已知椭圆的焦距为2，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
【解析】解：由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，得，，
所以椭圆的方程为：．
（2）根据题意，直线的斜率显然不为零，令
由椭圆右焦点，故可设直线的方程为，
与联立得，，
则△，
设，
设存在点，设点坐标为，
由，得，
又因为，
所以，，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则：，所以，
所以，，
即，即，
解得，符合题意，
即存在点满足题意．
例14．椭圆经过两点，，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；
（3）设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．
【解析】解：（1）设椭圆方程为，，，，
椭圆经过两点，，，
，解得，，
椭圆的方程为．
（2）设，，，，则，，
由题意，，
，，，，
，

，
，
若，则，结论成立．
若，则，
．
（3）当与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，
如果存在定点满足条件，则有，
，在轴上，设，，
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于，两点，
则，的坐标分别为，，，，
由，有，
解得，
若存在不同于点不同的定点满足条件，则点坐标只可能为，．
下面证明：对任意直线，均有，
记直线的斜率为，直线的斜率为，
设，，，，则，．
由题意，，，
，，，，
，
，
若，则，
若，则，
，
点关于轴对称的点，，，，，三点共线，
，
对任意直线，均有．
例15．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得，
再由，所以可得，
所以，
所以椭圆的方程为：；
因为抛物线的焦点，所以，
所以抛物线的方程：，
所以椭圆的方程为：，
抛物线的方程：；
（2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，，
联立整理可得：，
，，
所以，
，
联立整理可得：，
，所以，
得，要使其为定值，则对应比成比例，
所以可得，
即时，为定值．
变式13．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合；斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）设、的公共焦点为，由题意得，．
联立解得．
所以椭圆，抛物线．
（2）设，，，，，，，．
直线的方程为，与椭圆的方程联立，得
△．

．
直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得．
．
．
．
要使为常数，则，得．
故存在，使为常数.有