2023届江西省南昌市稳派高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省南昌市稳派高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省南昌市稳派高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，，再根据交集的定义计算即可.【详解】由题得，，所以.故选：A.2．已知复数满足，则的虚部为（    ）A．-3 B． C．-1 D．【答案】A【分析】根据复数的除法和虚数平方即可求解.【详解】因为，所以的虚部为，故选：A.3．已知向量满足，且，则实数（    ）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.【详解】所以，因为，所以，解得或，故选：D.4．在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是（    ）A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为 B．在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3C．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为 D．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为 【答案】C【分析】根据统计图分别求出消费价格月度同比数据的中位数和平均值；求出月度环比数据为正数的个数、月度环比数据为负数的个数，再求出月度环比数据的众数，即可得答案.【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为，，中位数为，平均数为,由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的数据为，3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，且出现次数最多，故众数为 ，故选项A，B，D正确，C错误，故选：C.5．已知满足不等式，则的最小值为（    ）A．-6 B．-4 C． D．15【答案】B【分析】根据可行域和目标函数的几何意义即可求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示，联立解得即，令，所以，由图可知当直线经过点时，，故选：B.6．已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（    ）A．352 B．401 C．625 D．913【答案】D【分析】根据条件构造数列，再根据条件列出等比数列的基本量的方程组，再根据通项公式求和.【详解】令，设数列的公比为，因为，所以，即，所以.由，得，所以，联立，解得，所以，所以，所以的前10项和为.故选：D.7．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），则，，，所以，故圆台部分的侧面积为，圆柱部分的侧面积为，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.故选：B.8．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.9．已知椭圆的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与在第二､四象限的交点分别为，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对称性可知为圆的一条直径，则，取椭圆的左焦点为，连接，再结合椭圆的定义得出的关系，即可的解.【详解】由对称性可知点关于原点对称，即为圆的一条直径，又圆经过点，所以，设，则，取椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，由，可设，则，所以，由椭圆定义可得，所以，所以的离心率为.故选：C.10．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法：①的定义域为；②的最小正周期为；③的值域为；④图象的对称轴为直线.其中所有正确说法的序号为（    ）A．②③ B．①④C．③ D．②③④【答案】A【分析】首先化简函数，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】，由，，得，即的定义域为，①错误；的定义域关于原点对称，故的最小正周期与函数的最小正周期一致，均为，②正确；当，，，时，的值分别为1，1，，，考虑周期性可知，的值域为，③正确；令，得，即图象的对称轴为直线，④错误，故选：A.11．已知，则（    ）A．11或 B．11或 C．12或 D．10或【答案】A【分析】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案.【详解】由，两边取对数得，所以或.当时，8，所以；当时，，所以，综上，或，故选：A.12．已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（    ）A．无极值 B．有极大值，也有极小值C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值【答案】D【分析】根据题意赋值可求得，根据结构特征，构造函数，从而判断的函数值情况，即可判断的单调性，确定极值，即可得答案.【详解】由已知知，又，所以，令，则，又，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以的极小值为，无极大值，故选：D. 二、填空题13．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.【详解】若为真命题，等价于，∵，当且仅当时，等号成立，∴，即，可得，故实数的取值范围是.故答案为：.14．已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为____________.【答案】4【分析】由双曲线的渐近线方程得出，即可得出结果.【详解】由题意可知，双曲线的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为.15．在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为__________.【答案】【分析】当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大，由圆锥的体积公式可求得，设内切球的半径为，由，可求出，即可得出球的表面积的最大值.【详解】由题得当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大.如图为圆锥的轴截面，由题意知，解得，所以.设内切球的半径为，则，由平面几何知识可知，所以，所以，解得，此时球的表面积为.故答案为：.16．记的面积为，内角所对的边分别为，且，则的值为__________.【答案】【分析】根据三角形面积公式及余弦定理可得，利用均值不等式及正弦函数的有界性可得，即可求出.【详解】由题得，所以，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，又，其中，所以，故，所以，所以.故答案为： 三、解答题17．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下. 喜欢有机水果不喜欢有机水果南方会员8040北方会员4040(1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率；(2)（i）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？（ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积.附：.0.050.0250.0053.8415.0247.879 【答案】(1)(2)（i）有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关；（ii）农场可以种植50亩左右的有机水果 【分析】（1）利用古典概型求出南方､北方会员中喜欢有机水果的概率即可；（2）（i）根据条件结合独立性检验公式，即可判断；（ii）根据，即可判断农场可以种植50亩左右的有机水果.【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；北方会员中喜欢有机水果的概率为，所以南方､北方会员中喜欢有机水果的概率分别为.（2）（i），所以有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.（ii）由题可估计农场的会员中喜欢有机水果的人数为，所以农场可以种植50亩左右的有机水果.18．如图，在多面体中，平面为的中点，， .(1)证明：；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由为的中点，可得，结合平面可得，进而得到平面，进而求证；（2）结合平面，可得，进而得到，可得平面，再结合即可求解.【详解】（1）证明：因为为的中点，所以，又平面平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，又平面，所以.由平面几何知识可知，所以，所以，又平面，所以平面.在中，，设点到平面的距离为，由，得，所以，即点到平面的距离为.19．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）两次使用乘工笔错位相减即可求解.【详解】（1）若选①，设的公差为，由题意可得解得，所以.若选②，当时，，解得；由题得，所以当时，，作差得，即，又，所以，所以是公差为2的等差数列，所以.若选③，设的公差为，所以，所以，因为，所以，解得或（舍去），所以，当时，，当时，，也满足，所以.（2）由（1）可得，所以.所以，①所以，②①-②得，令③则，④③-④得，所以，所以，所以.20．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为12.(1)求的单调区间；(2)证明：，有恒成立.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明见解析 【分析】（1）先对求导，再利用，求出的值，进而讨论的单调性；（2）构造令，利用导数证明即可证明不等式恒成立问题.【详解】（1）解：由题得的定义域为，所以，解得.所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：由（1）知，要证恒成立，即证恒成立，令，则，令，解得或（舍去），设，则.当时，单调递减；当时，单调递增，所以，其中，令，所以，所以在区间上单调递减，所以，所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21．已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.(1)求的标准方程；(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，点，直线的方程为. 【分析】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，可得点在上，代入，解得，即得的标准方程；（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理和条件，得，由点到直线的距离为2，可得，联立可解得答案．【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，当为等边三角形时，的高为，由题意知点在上，代入，得，解得，所以的标准方程为.（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，联立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又点在上，所以，即，①所以，解得，又点在第一象限，所以，所以.又点到直线的距离，化简得，②联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.此时点，直线的方程为.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.【详解】（1）由得，消去得为的普通方程；由，得，令，，得为直线的直角坐标方程.（2）在中，令，，所以，即为的极坐标方程，联立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，所以.23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为10，求实数的值.【答案】(1)(2)或5. 【分析】（1）首先讨论去绝对值，写成分段函数的形式，再求不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式，求函数的最小值，即可求解【详解】（1）当时，，又，所以或或解得或，所以，所以不等式的解集为.（2），因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得或5.