人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性教学设计

教学环节

问题或任务

师生活动

设计意图

创设情境，引入新知

[问题1] 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

[问题2] 分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

[问题3] 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

[问题4] 分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

教师1： 提出问题1．

学生1：学生思考，不影响．

教师2：提出问题2．

学生2：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，

则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.

而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},

所以AB={(1,0)}.

由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.

于是P(AB)=P(A)P(B).

教师3：提出问题3．

学生3： 对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.

教师4：提出问题4．

学生4：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.

而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

   B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},

于是P(AB)=P(A)P(B).

通过具体实例，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

探索交流，解决问题

[问题5] 不可能事件与任何一个事件相互独立吗？

[问题6] 必然事件与任何一个事件相互独立吗？

教师5：小结：事件A与B相互独立

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．

注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.

（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

教师6：提出问题5．

学生5：事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.

教师7：提出问题6.

学生6：相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.

通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

典例分析，举一反三

1.相互独立事件的判断

例1. 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩．

(2)家庭中有三个小孩．

2.相互独立事件同时发生的概率

例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.

[课堂练习1]

一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

[课堂练习2]

甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.

教师8：完成例题1.

学生7：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.此时P(AB)≠P(A)P(B)，

所以事件A与事件B不独立．

(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．

由等可能性知这8个样本点的概率均为，这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．

于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．

从而事件A与事件B相互独立．

教师9：完成例题2.

学生8：设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,

由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,

A与,与B,与都相互独立

由已知可得,

（1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义得

（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

（3）事件“两人都脱靶”,

所以

（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,

所以

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为

教师10：布置课堂练习1、2．

学生9：完成课堂练习，并核对答案．

通过例题，让学生掌握相互独立事件的判定及概率计算，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

[课堂练习1]

会判断两个事件是否独立．

[课堂练习2] 能利用事件的相互独立性解决问题

课堂小结

升华认知

[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？

在解决问题时，用到了哪些数学思想？

[课后练习] 1.下列事件A,B是相互独立事件的是　(　　)

A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”

B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”

D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”

2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（　　）

A．0.42B．0.28

C．0.18D．0.12

3.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　)

A．0.2　　B．0.8

C．0.4　  D．0.3

4.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是　　．

教师11：提出问题7．

学生10：

学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．

【答案】1.A    2.D     3.D     4.

师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．

课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．