2023年广东省佛山市南海区英广实验学校中考二模数学试题（含解析）

2023年广东省佛山市南海区英广实验学校中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A． B． C． D．6

2．中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（    ）

A． B． C． D．

3．如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．在， ， ，π、2023这五个数中，无理数的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．已知方程的两个根分别为、，则的值为（    ）

A．7 B．5 C．3 D．2

7．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

8．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ）

A．8 B．10 C．7 D．9

9．如图，的中线、交于点，连接，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：_______．

12．关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是______．

13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 __________．

14．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为__________．

15．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．

其中正确的是________．

三、解答题

16．先化简，再求值，其中．

17．如图，△ABC中，∠C＝90°．

(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．

18．为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：A（合唱社团）、B（陶艺社团）、C（数独社团）、D（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了C课程．为了解选择C课程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图．

(1)分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83，则这组数据的中位数是______分、众数是______分；

(2)根据题中信息，可以估算七年级选择C课程的学生成绩在分的人数是______人；

(3)七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程C．他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程A或课程B的概率．

19．如图，已知平行四边形中，点O为坐标原点，点，，函数的图象经过点C．

(1)求k的值及直线的函数表达式：

(2)求四边形的周长．

20．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．

问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）

21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.

求证：（1）△ODE≌△FCE;

（2）四边形OCFD是矩形．

22．如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．

(1)求证：直线是的切线；

(2)若，求的值；

(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．

23．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式：

(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；

(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．

参考答案：

1．C

【分析】根据倒数的定义即可求解．相乘等于1的两个数互为倒数．

【详解】解：的倒数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2．A

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【详解】解：400000=4×105．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

3．C

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解

【详解】A. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选C

【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，熟悉概念即可解答.

4．A

【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．

【详解】解：A、，此选项正确；

B、，此选项错误；

C、，此选项错误；

D、，此选项错误；

故选：A．

【点睛】本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键．

5．A

【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．

【详解】解：在， ， ，π、2023中，

，，2023是有理数，，π，是无理数，共2个，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了无理数的定义以及立方根，熟记无理数的概念是解题的关键．

6．D

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而即可求解．

【详解】解：∵方程的两个根分别为、，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

7．B

【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出不等式的解集，然后进行判断即可．

【详解】解：由题意知，，

解得，

∴解集在数轴上表示如图，

故选B．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．

8．B

【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．

【详解】设有x支队伍，根据题意，得，

解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），

故选B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

9．B

【分析】先根据三角形的中位线的性质得到EF∥BC，EF=，可判断△OEF∽△OBC，利用相似比得到，进而即可求解．

【详解】解：∵中线、交于点

∴EF为△ABC的中位线

∴EF∥BC，EF=

∴△OEF∽△OBC

∴

∴

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质和相似三角形的判定与性质，利用三角形的中位线得到相似比是解题的关键．

10．C

【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5

【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，

∵

∴

∴

∵//

∴

故选：C

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．

11．b（a+2）（a-2）

【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.

【详解】.

故答案为：b（a+2）（a-2）.

【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.

12．

【分析】由一元二次方程没有实数根可得再解不等式即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，

∴

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程没有实数根，则”是解本题的关键．

13．

【分析】由图形可得是圆的半径，由及垂径定理求解．

【详解】解：由题意可得：是圆的半径，

∵，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，解题的关键是利用垂径定理得到．

14．cm.

【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．

【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，

根据题意，得

解得x=4．

故选：4cm．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

15．①③/③①

【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．

【详解】解：由题意得：

①，，故①正确；

②，，故②不正确；

③，，故③正确；

所以，正确的是①③，

故答案为：①③．

【点睛】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．

16．

【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．

【详解】原式，

 当 时，原式

【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；

（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．

【详解】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；

，

（2）证明：∵∠ACB=90°，点E是边AB的中点，

∴AE=BE=CE=AB，

∵AC=BE，

∴AC=AE=CE，

∴△ACE是等边三角形．

【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．

18．(1)84，84

(2)64

(3)

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解；

（2）用选择C的总人数乘以样本中成绩在分的人数占比即可得到答案；

（3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他俩同时选到课程A或课程B的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．

【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大排列为：81、83、84、84、84、85、86、88、89，处在最中间的是84，

∴这组数据的中位数为84分，

∵84出现了3次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为84分，

故答案为：84，84；

（2）解：人，

∴可以估算七年级选择C课程的学生成绩在分的人数是64人，

故答案为：64；

（3）解：列表如下：

由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他俩同时选到课程A或课程B的结果数有2种，

∴他俩同时选到课程A或课程B的概率为．

【点睛】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．

19．(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；

（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．

【详解】（1）解：依题意有：点在反比例函数的图象上，

∴，

∵，

∴，

又∵轴，

∴，

设直线的函数表达式为，

∴，

∴，

∴直线的函数表达式为；

（2）解：如图，作CD⊥OA于点D，

∵，

∴，

在平行四边形中，

，，

∴四边形的周长为：，

即四边形的周长为6+2．

【点睛】本题考查求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质等，解题的关键是通过平行四边形的性质求出点B的坐标．

20．(1)

(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②大于

【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；

（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．

【详解】（1）解：由表格可得，

新能源车的每千米行驶费用为：（元），

即新能源车的每千米行驶费用为元；

故答案为：；

（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，

∴，

解得，

经检验，是原分式方程的解且符合题意，

∴，，

答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；

②设每年行驶里程为，

由题意得：，

解得，

答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．

【点睛】此题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出不等式和分式方程是解题的关键．

21．（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；

（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.

【详解】证明：（1），

，.

E是CD中点，，

又

(AAS)

（2），

，.

，

四边形OCFD是平行四边形，

平行四边形ABCD是菱形，

.

平行四边形OCFD是矩形.

【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.

22．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；

（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；

（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．

【详解】（1）解：如图所示，连接OA，

∵是直径，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

又∵为半径，

∴直线是的切线；

（2）解：∵，，

∴，

∴，

由知，令半径，则，，

在中，，

在中，，

即；

（3）解：在（2）的条件下，，

∴，

∴，

在中，，，

解得，，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)当是以为腰的等腰直角三角形，在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，连接交对称轴于，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点D；

（3）分两种情况当和当两种情况讨论求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为；

（2）∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，

∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为，

如图所示，连接交对称轴于，连接，

由轴对称的性质可知，

∴的周长为，

此时的周长最短，

设直线的解析式为，

∴，

∴，

∴直线的解析式为，

当时，，

∴点D的坐标为；

（3）如图所示，当点P在x轴上方，时，过点M作于Q，记抛物线的对称轴与x轴的交点为N，

∵是以为腰的等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，  

∴，，

设点P的坐标为，

∴，，，

∴点M的坐标为，

∵点M在抛物线上，

∴，  

∴，

解得或（舍去），

∴点M的坐标为；

同理当点P在x轴下方，时，，

∴，

解得：或（舍去）

∴点M的坐标为；

当点M在x轴上方，时，过作轴于，

同理可得：，

∴，，

∴，

解得：或（舍去），

∴．

当点M在x轴下方，时，过作轴于，

同理可得：，

∴即，

解得：或（舍去），

∴．

综上所述，当是以为腰的等腰直角三角形，在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．