精品解析：安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期6月第二次阶段性检测数学试卷（解析版）

这是一份精品解析：安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期6月第二次阶段性检测数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第二学期高二6月
第二次阶段性检测试卷数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法不正确的个数是（ ）
①残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
②散点图越接近某一条直线，线性相关性越强，相关系数越大；
③在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量就增加2个单位；
④残差平方和越小的模型，拟合效果越好.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据残差图与回归方程的关系可判断①的正误；利用散点图与线性相关、相关系数的关系可判断②的正误；利用回归直线方程中系数的含义即可判断③的正误；利用残差平方和与回归模型拟合效果的关系即可判断④的正误.
【详解】对于①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，所以①正确；对于②，散点图越接近某一条直线，说明线性相关性越强，相关系数的绝对值越大，所以②错误；对于③，在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加2个单位，所以③正确；对于④，利用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以④正确.
故选：B.
2. 对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是（ ）
A. 该数列既不是等差数列也不是等比数列 B. 该数列是等差数列但不是等比数列
C. 该数列是等比数列但不是等差数列 D. 该数列既是等差数列又是等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列和等差数列的概念即可得到结果.
【详解】由题意可知，对于无穷常数列7，7，…，7…是以7为首项，0为公差的等差数列；同时也是以7为首项，1为公比的等比数列；
故选：D.
3. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得，由题意转化为有两个零点，令，求得，分和，两种情况讨论求得函数的单调性，得到若有两个零点，满足，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，且
因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，
令，可得，
当时，在上，单调递增，不能有两个零点；
当时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且当时，，当时，，
若有两个零点，则，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：B.
4. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果.
【详解】因为，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以，
故选：A
5. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（ ）
A. 尺 B. 5尺 C. 尺 D. 尺
【答案】D
【解析】
【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.
故选：D
6. 体育强国的建设是2035年我国发展的总体目标之一.某学校安排每天一小时课外活动时间，现统计得小明同学10周的课外体育运动时间（单位：小时）：6.5，6.3，7.8，9.2，5.7，7.9，8.1，7.2，5.8，8.3，则下列说法不正确的是（ ）
A. 小明同学10周的课外体育运动时间平均每天不少于1小时
B. 小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8
C. 以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3
D. 若这组数据同时增加，则增加后的个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数及方差的定义判断A、B、D，利用频率判断C .
【详解】这周数据的平均值为，
平均每天4小时，故A正确；
将10个数据从小到大排列为5.7，5.8，6.3，6.5，7.2，7.8，7.9，8.1，8.3，9.2，中位数为，故B错误；
这个数据中大于8的有3个，估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为，故C正确；
若这组数据同时增加，则增加后的个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化，故D正确.
故选：B.
7. 已知为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 16 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知确定公差符号，法1：得到，，，利用等差数列前n项和公式判断相应符号，即可得结果；法2：利用等差数列前n项和公式、等差数列性质判断相应的符号，即可得结果；
【详解】法1：因为，，知：，
所以，，，
所以，，
当时，取得最大值．
法2：因为，，知：，
所以，，，
当时，取得最大值．
故选：D
8. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求.选全对的得5分，对不全对的得2分）
9. 以下说法正确的有（　 　）
A. 经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点
B. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第三四分位数为9
C. 已知，，，则
D. 若随机变量，则取最大值的充分不必要条件是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由回归直线的性质判断，对于B，由分位数的估计方法判断，对于C，由条件概率公式和独立事件的概率公式分析判断，对于D，由二项分布的概率公式，结合组合数性质确定参数，再由充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】对于A，回归直线不一定过样本点，但必过样本中心点，所以A错误，
对于B，将这8个数从小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，则，所以第三四分位数为，所以B正确，
对于C，因为，
所以
所以，
因为，，，
所以，解得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
要使取得最大，只需取得最大，
所以当或时最大，
所以取最大值的充分不必要条件是，所以D正确，
故选：BD
10. 已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 是等差数列 B.
C. D. 是等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D．
【详解】因为，，
所以，所以，
所以是公差为3的等差数列，A正确；
因为，
所以，，B正确；
时，由，
得，但不满足此式，因此C错误；
由得，
所以是等比数列，D正确．
故选：ABD．
11. 设函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 当时，有最小值2
C. 在区间上单调递减
D. 有两个极值点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：根据奇偶性定义判断；对B：使用基本不等式求解；对C：根据的单调性及平移判断；对D：用导数结合偶函数判断.
【详解】，
对A：定义域为，且，故是偶函数，故A错误；
对B：当时，，当时，取得最小值，故B正确；
对C：当时，，，
当时，，故在上为减函数，
而可以由向右平移1个单位得到，故在区间上单调递减，故C正确；
对D：当时，，
当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，
故为极小值点，且当时只有一个极小值点，
因为是偶函数，所以有两个极值点，故D正确.
故选：BCD
12. 设函数，，则下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集为；
B. 函数在单调递增，在单调递减；
C. 当时，总有恒成立；
D. 若函数有两个极值点，则实数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，解不等式即可；B选项，求导，利用导函数研究其单调性；C选项，构造函数，二次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D选项，转化为在有两个根，求导后结合单调性，极值等求出的取值范围.
【详解】由题意得，则
对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；
对于B：，令，解得x=1，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，故B错误；
对于C：当时，若，则，
所以，即，
令，
则，
，
当时，，函数为增函数，
又，所以在是恒成立，
所以为减函数，
又，所以在是恒成立，
所以当时，总有恒成立，故C正确；
对于D：若函数有两个极值点，
则有两个根，即在有两个根，
令，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
又当时，，当时，，，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；
同理，即；
令，则，
即为上的单调递增函数，
又，
所以在有唯一零点，即；
易知，即，
解得；
因此可得.
故答案为：.
14. 函数的单调减区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域为，再求出，令，解不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，
且，
令，即，解不等式可得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.
15. 已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由裂项相消法求出，进而得到，由数列是严格增数列求解实数的取值范围即可.
【详解】由，得：.
所以，
因为数列是严格增数列，
所以，在时恒成立，
可得在时恒成立，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
16. 设数列满足，且，，设，若，则整数______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出，再裂项相消得到，即得的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以
所以.
又，所以，
由题得，
因为，
所以.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了､两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：

路线
路线
合计
好
一般
好
一般
男

20
55

120
女
90


40
180
合计

50

75
300

（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由.
附：，其中.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】（1）表格见解析，有关
（2）选择路线，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先补全补全统计表，即可作出列联表，再计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出选择、路线好评的概率，路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，求出所对应的概率，求出数学期望，即可判断.
【小问1详解】
补全统计表如下：

路线
路线
合计
好
一般
好
一般
男
10
20
55
35
120
女
90
30
20
40
180
合计
100
50
75
75
300
零假设：对于、两条路线的选择与性别无关，
将所给数据整理，得到如下列联表：
性别
路线
合计


男
30
90
120
女
120
60
180
合计
150
150
300
所以，
根据小概率值独立性检验，我们推断不成立，
即认为对、两条路线的选择与性别有关.
【小问2详解】
设为选择路线好评率，则，
设为选择路线好评率，则，
设路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，
则，，
，，
所以，
，，
，，
所以，
所以，所以选择路线.
18. 已知函数，．
（1）若为上的增函数，求的取值范围；
（2）若在内恒成立，，求的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
（2）依题意可得恒成立，则，令，利用导数说明函数的单调性，得到，再令，，求出的最大值，即可得解.
【小问1详解】
因为，，
则，
为上的增函数，
在上恒成立，
，
令，，
，
令，解得，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
，
的取值范围是．
【小问2详解】
在内恒成立，在内恒成立，
化为，
，
令，，，
，，
当时，，函数在上单调递增，时，时，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
令，则，
令，则，
令，解得，
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时，函数取得极大值即最大值，，
的最大值为．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19. 数列，满足，，．
（1）求证：是常数列；
（2）设，，求的最大项．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将所给等式化简可得且，再代入化简即可；
（2）由（1）可得，再代入判断可得，进而利用作差法可得为递减数列，进而可得最大项为.
【小问1详解】
，，，，
，，因此，数列是常数列；
【小问2详解】
由（1），即，且，整理得
，，
，
当时，，，
，
，，数列单调递减，的最大项为．
20. 设数列的前项和为，______．
从①数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）选①：由题意可得，再利用等比数列的公比为可求，进而可求数列的通项公式；选②：，令可求，当时，可得，与已知条件两式相减可求得，进而可求数列的通项公式；选③：，当时，，当时，，与已知条件两式相减可求得，检验也满足，进而可求数列的通项公式；
（2）由（1）知，则，利用乘公比错位相减即可求和.
【详解】（1）选①：因为，，成等差数列，
所以，
又因为数列的公比为2，所以，
即，解得，
所以．
选②：因为，
当时，，解得．
当时，，
所以．
即．
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
故．
选③：因为，所以当时，，
当时，，
所以，
当时，依然成立．
所以．
（2）由（1）知，则，
所以， ①
， ②
①－②得

．
所以．
所以数列的前项和．
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，得到，进而求得切线方程；
（2）当时，令，求得，再令，求得，结合，得出函数的单调性和最小值，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
可得，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程，
即.
【小问2详解】
证明：当时，令，
可得，
再令，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又由，所以当，，单调递减；
当，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也为最小值，所以，
即时，.
22. 已知函数．
（1）若函数在时取得极值，求的值；
（2）在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
（3）当时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）有条，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，根据为极值点得到方程，求出的值；
（2）在（1）的基础上，确定函数的极小值，结合函数特征，确定其也是最小值；
（3）设出切点，根据斜率列出方程，得到，将公切线条数转化为一元三次方程的根的个数，结合零点存在性定理求出答案.
【小问1详解】
已知，函数定义域为R，
可得，
若函数在时取得极值，
此时，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以极大值点，满足条件，
综上所述，；
【小问2详解】
由知，，，
函数在处取得极小值，且，
而，
当时，恒成立，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为；
小问3详解】
当时，，
此时点不在函数的图象上，
不妨设过的切线的切点为，
可得，
因为，
所以，
又，
整理得，
要求过点与曲线相切的直线有几条，
即求关于的一元三次方程的实数根的个数问题，
不妨设，
因为，
所以在，，内各有一个实数根，
又因为在实数范围内最多有三个根，
则有三个不相同的实数根，
所以过点与曲线相切的直线有条．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.