安徽省定远中学2022-2023学年高一下学期7月教学质量检测数学试卷（含答案）

这是一份安徽省定远中学2022-2023学年高一下学期7月教学质量检测数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省定远中学2022-2023学年高一下学期7月教学质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若集合，，则( )
A. B. C. D.
2、若复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.2
3、随机抽取骑行共享单车的市民进行问卷调查，得到样本的频率分布直方图如图所示再从这些市民中用分层抽样的方法抽取一个样本进行调查，若第二次抽取的样本中年龄段的人数为14，则第二次抽取的样本中年龄段的人数为( )

A.2 B.3 C.5 D.6
4、某学校在校学生有人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取( )
A.15人 B.30人 C.45人 D.60人
5、O为两条对角线的交点，，，则( )
A. B. C. D.
6、已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
7、已知向量，，若，则实数( )
A. B.5 C. D.
8、中国古建筑闻名于世，源远流长如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为( )

图一 图二
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，下列说法中正确的是( )
A.对应的点位于第二象限 B.为纯虚数
C.的模长等于 D.的共轭复数为
10、景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地ABCD上举办陶瓷展览会，已知，，E为边AB的中点G，F分别为边AD，BC上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是( )

A. B. C. D.
11、已知向量，，则( )
A. B.向量，的夹角为
C. D.在方向上的投影向量是
12、已知图一中，正方形EFGH的边长为，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着AB、BC、CD、DA把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图二所示的多面体，则( )

图一 图二
A.平面平面CGH
B.直线AF与直线CH所成的角为
C.直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D.多面体的体积为
三、填空题
13、一组数据，，，，的平均值为3，方差为1，记，，，，，的平均值为a，方差为b，则_________．
14、向量在向量方向上的投影向量的模为______．
15、已知非零向量，的夹角为，，，则______．
16、奋进新时代，扬帆新航程在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东方向，仰角为，则歼-15飞机飞行高度为______千米结果保留根号．
四、解答题
17、已知复数，且为实数．
（1）求的值；
（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
18、2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开慕，会议报告描出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长.某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.

(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率.
19、在三棱柱中，，平面ABC，E、F分别是棱，中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
20、（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的x的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
（2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数．
21、如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E是PD的中点，作，交PC于点F．

（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线的位置关系，并给出证明；
（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；
（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．
22、在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．
（1）求角B；
（2）若M是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中AC上的一点，且满足，求AD：DC的取值范围．
参考答案
1、答案：C
解析：，，．故选：C．
2、答案：B
解析：设，则，，，即，解得，，，．故选：B．
3、答案：A
解析：由题意，样本中年龄段的频率为，则第二次抽取的样本中年龄段的人数为，故选：A．
4、答案：D
解析：可知全校参加跑步的人数为，因为：：：：，，所以，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为．故选：D．
5、答案：D
解析：由已知可得．故选：D．
6、答案：D
解析：如图，长方体中，平面视为平面，
对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足，，而，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足，，而m与
n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足，，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确．故选D．
7、答案：D
解析：由可得，则有，即，解得．故选：D．
8、答案：D
解析：如图，，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积．故选：D．
9、答案：AD
解析：对于A，由题意知，则其对应的点为，且，，所以对应的点位于第二象限，选项A正确；
对于B，由题意知为实数，选项B错误；
对于C，，所以的模长为，选项C错误；
对于D，由题意知，所以的共轭复数为，选项D正确．故选：AD．
10、答案：BC
解析：设，则，由，，得，易得，，则，由，得，得，则．因为，，
所以白瓷展览区的面积可能是，．故选：BC．
11、答案：BD
解析：对于A，，，，，，，，故A错误；
对于B，，则向量，的夹角为，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量为，故D正确．故选：BD．
12、答案：BCD
解析：取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，如图，A、B、C、D是正方形EFGH各边的中点，则，O为CD的中点，．平面平面ABCD，平面平面，平面CDH，平面ABCD，四边形ABCD是边长为的正方形，O、M分别为CD、AB的中点，则且，且，所以四边形OCBM为矩形，所以，以点O为坐标原点，OM、OC、OH所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，．选项A，设平面AEF的一个法向量为，，，由，取，则，，则．设平面CGH的一个法向量为，，，由，取，可得，则，，所以平面AEF与平面CGH不垂直，故A错误；
选项B，，，，所以直线AF与CG所成的角为，故B正确；
选项D，以ABCD为底面，以为高将几何体补成长方体，则E、F、G、H分别为，，，的中点，因为，，长方体的体积为，，因此，多面体的体积为，故D正确；
选项C，，设直线CG与平面AEF所成角为，则，，所以，故C正确．故选：BCD．
13、答案：20
解析：因为一组数据，，，的平均值为，方差为，则，，，，的平均值为.
14、答案：2
解析：所求向量的模为．故答案为：2．
15、答案：
解析：，，，，，非零向量，的夹角为，．故答案为：．
16、答案：
解析：如图，C是阅兵舰，A，B是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，E，F是飞机在地面上的射影，由已知千米，，CD是正北方向，因此，，，，，由正弦定理，可得，解得，可得在直角三角形BFC中，．故答案为：．
17、答案：（1）2
（2）
解析：（1）为实数，
，即．
；
（2），
复数在复平面内对应的点位于第四象限，
，解得．
m的取值范围是．
18、答案：(1)，平均值为7.22
(2)0.216
解析：(1)由频率分布直方图，可得，则①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以，则②
将①与②联立，解得.
所以平均值为.
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在内，则.
①“抽取3人中有2人在内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得

.
②“抽取3人中有3人在内”，由事件独立性定义，得
.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率：.
19、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为E、F分别是棱，中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
（2）因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
在三棱柱中，，
所以平面．
20、答案：（1）时，函数取得最大值2，图象见解析
（2）在R上的单调增区间为，单调减区间为，证明见解析
解析：（1）由题意，，
当，即时，函数取得最大值2．
取，列表如下：


















该函数在一个最小正周期内的大致图象如图所示．

（2）正弦函数在R上的单调增区间为，
单调减区间为，
证明：任取、，令，，则，，
由于是正弦函数的单调增区间，
所以，，即，
故余弦函数在区间是严格增函数．
21、答案：（1）平行，证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连结BD交AC交于G，
ABCD是正方形，G为BD的中点，
又E是PD的中点，，
又平面ACE，平面ACE，平面ACE，
又平面PAB，平面平面，．
（2）平面ABCD，平面ABCD，
，
设正方形ABCD的边长为4，
，
的中线，，，
同理，，，
，，
为正三角形，中线，且，
，，
，同理，
是二面角的一个平面角，
又在正三角形中，
，
则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为．
（3）同（2）中，得，
又在正方形ABCD中，，，平面PAD，平面PAD，
平面PAD，
同理平面PCD
同理面AEF
是直线PD与平面AEF所成的角，
在和中得，
直线PD与平面AEF所成角的正切值为．
22、答案：（1）
（2）有最大值，当且仅当时等号成立，
（3）
解析：（1），，
由正弦定理得，
即，
，
，又，，，
又，；
（2）点M是内的一动点，，，，由余弦定理可知，，，由基本不等式可得，即，，，当且仅当时等号成立，
；
（3），，，
又余弦函数在上单调递减，，即BD平分，
又，，，①
又，，，②
由①②可得，所以，
，
又，且为锐角三角形，，
，，．