2023年内蒙古通辽市霍林郭勒重点中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年内蒙古通辽市霍林郭勒重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日：时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球万千米，其中万千米用科学记数法表示为(    )

A. 千米 B.  千米 C. 千米 D. 千米

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某养殖专业户为了估计其鲩鱼养殖池中鲩鱼的数量，第一次随机捕捞了条鲩鱼，将这些鱼一一做好标记后放回池塘中一周后，他再次随机捕捞了条鲩鱼，其中有标记的鲩鱼共条，估计该池塘中鲩鱼的数目为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一元二次方程的两个根为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点距离，当火箭到达点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  已知关于的分式方程的解是负数，那么的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D.

11.  如图，在中，，，点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是(    )

 

A.  B.
C.  D.

12.  如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

14.  如图，正五边形内接于，则的度数是______．

15.  一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥的高为______ ．

16.  如图，设四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形、再以对角线为边作第三个正方形，如此下去若正方形的边长记为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，，，则______．

17.  如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为，则的值等于______．

 

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

18.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某公益组织对“手机使用的利弊”进行了随机问卷问卷内容包括以下五个选项：提高生活工作便捷度；创造经济价值；不利于人际交往；影响身体健康；其他每人只能任选一项，将调查结果绘制成下面两个不完整的统计图请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
本次接受调查的总人数为______ 人；
接受调查的所有人里，选择选项的人数为______ 人；
表示选项的扇形的圆心角度数为______ ；
某区人口总数约为万请根据图中信息，估计该区市民选择选项的人数．

 

21.  本小题分
如图，在山坡的坡脚处竖有一根电线杆即，为固定电线杆，在地面处和坡面处各装一根引拉线和，它们的长度相等，测得米，，，求点到的距离．

22.  本小题分
桌面上有张正面分别标有数字、、、的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
小红随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是______ ．
小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的张卡片中随机翻开一张卡片井记录上面的数字请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率．

23.  本小题分
近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，城乡居民的健康水平持续提升，体育运动日益成为满足人民美好生活需要的重要组成部分，对各类运动健身器材的需求也十分旺盛新年刚过，某文具店计划购进一批羽毛球拍，已知进价、售价等信息如表所示．

第一次用元购进了、两款羽毛球拍共套，求、两款各购进多少套？
如果第二次购进羽毛球拍共套，且购进款的数量不超过款数量的三分之一，那么文具店如何进货才能获利最大化？最大利润是多少？

24.  本小题分
已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．
如图，在上取一点，使，连接，求证：；
如图，点在延长线上，求证：；
如图，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．

 

25.  本小题分
如图，在，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．
求证：直线是的切线；
若，，求和的长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
求抛物线和直线的函数表达式；
点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
连接和中求出点，点为抛物线上的一点，直线下方是否存在点使得？若存在，求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，，
，
，
．
故选：．
先由垂线定义可得，再由平行线的性质可求得的度数，最后根据三角形外角的性质可以求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
条．
答：估计该池塘中鲩鱼的数目为条．
故选：．
捕捞了条鲩鱼，其中有标记的鲩鱼共条，即在样本中，有标记的占到，再根据有标记的共有条，列式计算即可．
此题考查了用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，用到的知识点是样本的百分比整体的百分比．
 

6.【答案】 

【解析】解：为方程的根，
，
，
，
一元二次方程的两个根为，，
，，
．
故选：．
先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为为，再利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，注意先降次，再利用根与系数的关系解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正切的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：在中，，，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得出方程组，
解得：，
那么此一次函数的解析式为：．
故选：．
根据一次函数的图象与直线平行，且过点，用待定系数法可求出函数关系式．
本题考查了两条直线相交或平行问题，由一次函数的一般表达式，根据已知条件，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：垂直平分，
则，
故，，
则，
，
，
．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：，
即，
，
解得：，
，
，
的解为负数，
，
解得：，
．
故选：．
先解分式方程得出，根据方程的解为负数，分式有意义的条件得出且，即可求解．
本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
当点在上时，；
当点在上时，如图所示，
，，
，
又，
，
，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：．
分点在上和上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故错误；
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
分析：
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得点，当时，即可判断；根据对称轴，以及，得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
函数的自变量的取值范围为．
故答案为：．
自变量的取值范围即使得式子有意义的的取值范围．
本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正五边形内接于，
，，
，
故答案为：．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，
，
，
，
，
圆锥的高为，
故答案为：．
先根据侧面积计算公式求出母线长，再根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径，进而利用勾股定理求出高即可．
本题主要考查了，圆锥的侧面积计算，圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，勾股定理等等，正确求出母线长和底面圆的半径是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，且在直角中，，
，
同理，
，

由此可知：，
故答案为：．
求的长即的长，根据直角中可以计算，同理计算、由求出的，，，可以找出规律，得到第个正方形边长的表达式．
本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到的规律是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．
易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】
解：作，，设，

四边形为菱形，
，，
，
，
同理，，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
代入点得：，
故答案为．  

18.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次接受调查的总人数为：人；
故答案为：；

接受调查的所有人里，选择选项的人数为：人；
故答案为：；

表示选项的扇形的圆心角度数为：；
故答案为：；

根据题意得：万人，
答：估计该区市民选择选项的人数有万人．
根据的人数和所占的百分比即可求出答案；
用总人数减去其它选项的人数，即可求出选项的人数；
用乘以选项所占的百分比即可；
用某区人口总数乘以选择选项的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：过点作于点，
在中，，，
则，
解得：米，
由勾股定理得：米，
由题意得：米，
，，
，
，
设为米，
在中，，，，
米，
在中，，即，
整理得：，
解得：，，舍去，
米，
答：点到的距离为米． 

【解析】过点作于点，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：一共有张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有张，每张卡片被翻开的概率相同，
随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是，
故答案为：；

画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为偶数的结果数有种，
翻到的两个数字之和为偶数的概率为．
根据概率计算公式求解即可；
先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

23.【答案】解：设款购进套，则款购进套，
根据题意得：，
解得：，
，
款购进套，款购进套．
设款购进套，文具店获利元，则款购进套，
购进款的数量不超过款数量的三分之一，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
．
答：款购进套，款购进套，文具店获利最大，最大利润是元． 

【解析】设款购进套，根据第一次用元购进了、两款羽毛球拍共套，得，即可解得答案；
设款购进套，文具店获利元，由购进款的数量不超过款数量的三分之一，可得，而，根据一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和列出函数关系式．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；

证明：如图，
过点作交的延长线于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
；

解：；
证明：如图，
过点作交于，
，
四边形是矩形，
，
，
同的方法得，，
∽，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
． 

【解析】先判断出，利用等角的余角相等判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
利用四边形的内角和定理和邻补角的定义判断出，进而判断出≌，再判断出，即可得出结论；
先判断出，同的方法得，，得出∽，得出比例式，进而得出，，再用勾股定理得出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，同角的余角相等，作出辅助线构造出全等三角形和相似三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
．
，
．
，


即
是的直径，
直线是的切线．

解：过点作于．
，，
，
在中，，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，，
在中，可求得，，
，
，
∽，

 

【解析】连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明．
利用已知条件证得∽，利用比例式求得线段的长即可．
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
 

26.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，把代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
过作轴交于，如图：

设，则，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为；
直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图：

由知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
由，得直线函数表达式为，
联立，解得或，
的坐标为 

【解析】用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明≌，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．