2023年河南省南阳市南召县中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省南阳市南召县中考三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市南召县中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列实数中，最小的数是（　　）A． B． C． D．2．人体白细胞的主要作用是防御功能，可以通过趋化作用、吞噬病原菌，以及分泌炎性因子等方式来保护机体，又被称为与疾病斗争的“卫士”．某白细胞的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（　　）A． B． C． D．3．2023年“5·18国际博物馆日”中国主会场活动围绕“博物馆、可持续性与美好生活”主题，集中展示了中国博物馆事业发展的最新成果，博物馆主动融入经济社会发展大局所作出的独特贡献．将“国际博物馆日”六个汉字写在正方体的表面上，如图所示是其中的一种展开图，则在原正方体中，与“际”字所在面相对的面上的汉字是（　　）  A．馆 B．物 C．日 D．博4．下列计算正确的是（　　）A． B．C． D．5．如图，，，，则的度数是（　　）  A． B． C． D．6．为了参加学校的运动会开幕式表演，某个班级准备购买50套运动服，各种尺码的统计数据如下表所示，则这50套运动服尺码的众数和中位数分别为（　　）尺码/厘米155160165170175180185购买量/套5101311821A．165，160 B．165，165 C．165，170 D．170.1757．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）A． B．1 C． D．8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点，点D是的中点，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（　　）A． B． C． D．9．反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是（　　）A． B． C． D．10．如图，在等边三角形中，，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、．当时，的长为（　　）  A． B．或 C．或 D． 二、填空题11．如果分式有意义，那么x的取值范围是___________．12．在英文单词“”中同时任意选择2个字母，则恰好是“a”和“h”的概率为___________．13．不等式组的最大整数解是___________．14．如图，在中，，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点D，分别交于点E，F．若，则阴影部分的面积是___________．  15．如图，在正方形中，，在等腰直角三角形中，，．边与在同一直线上．．若正方形以的速度沿直线向右运动，经过___________，此三角形和正方形重叠部分的面积是．   三、解答题16．（1）计算：；（2）化简：．17．为进一步深化素质教育，落实“双减”政策，挖掘学生潜能某学校开展了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五种兴趣课程，全校学生每人都参加且只参加了其中一个兴趣课程．校团委从全校学生中随机选取m名学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如下不完整的统计图表．课程学生人数（名）百分比书法3615%音乐ap%美术7230%舞蹈b20%演讲2410%  根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)___________，___________，___________；(2)请根据以上信息补全条形统计图；(3)如果这所学校共有学生2000名，请你估算该校学生中选择舞蹈兴趣课程的学生人数．18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．  (1)求出和的值；(2)一次函数的图象分别与轴交于点，将沿轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上．判断此时点与点是否重合？请说明理由．19．如图，内接于，是的直径，直线与相切于点C．  (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；(2)若（1）中所作的垂直平分线与线段相交于点E，，，求线段的长．20．如图，某校的教学楼和图书馆之间有一假山，课外数学小组计划测量假山边缘点C到教学楼底部点B的距离．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容：课题测量BC的长度图示  发言记录小明：点B，C，E在同一水平直线上，在点D处测得假山的边缘点C的俯角为；小刚：在点D处测得教学楼顶端A的仰角为：小红：测得，．请你根据表格中记录的信息，计算的长．（，结果保留整数）21．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某中学准备举办运动会并购进两种体育用品作为运动会奖品．已知购进种体育用品15件和种体育用品20件共需1025元；购进种体育用品10件和种体育用品40件共需1350元．(1)求两种体育用品的单价；(2)若购进两种体育用品共80件，且种体育用品的数量不少于种体育用品数量的4倍，请求出最省钱的购买方案．22．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．  (1)求抛物线的表达式；(2)点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围；(3)将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值23．小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：  (1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在和中，，，，当点D在线段上时（点D不与点A，B重合），①由题意可得，其依据是：___________；A．    B．    C．   D．②直接写出与的数量关系___________．(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在和中，，，，点A与线段不在同一直线上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系；(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在和中，，，．将绕点C在平面内旋转，当点D落在边上时，满足，请直接写出的长．
参考答案：1．B【分析】根据实数大小的比较方法即可求出答案.【详解】解：正数始终大于负数，A和C选项不可能为最小的数.，，，.最小的数是.故选：B.【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于熟练掌握比较大小方法，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.2．C【分析】根据科学记数法表示法则写出即可．【详解】，故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟悉科学记数法规则．3．A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得答案．【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴“际”字所在的面相对的面上的字是“馆”，故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．D【分析】根据合并同类项法则，单项式的除法，幂的乘方，以及二次根式的乘法法则逐个进行计算即可．【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C不正确，不符合题意；D、，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项法则，单项式的除法，幂的乘方，以及二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．5．D【分析】作，则，根据平行线的性质分别求出和，则．【详解】解：如图，作，则，  ，，，，，故选D．【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．6．B【分析】根据众数和中位数可进行求解．【详解】解：由表格知这50套运动服尺码的中位数为第25、26的平均数，即为，众数为165；故选B．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握求一组数据的中位数和众数是解题的关键．7．D【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，∵，∴且，故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．8．D【分析】过点D作关于的对称点，连接，交于点P，确定点P的位置，连接，，证明是等边三角形，再求出，根据三角函数即可求出．【详解】过点D作关于的对称点，连接，交于点P，此时最短，连接，，如图，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，又∵点D是的中点，∴，∴，∴点P的坐标，故选：D．【点睛】此题考查将军饮马问题，解题的关键是构造辅助线确定点P的位置．9．B【分析】根据反比例函数的增减性即可判断．【详解】解：由题意得：反比例函数系数，∴函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，∴当时，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数，解题关键是理解反比例函数的性质．10．C【分析】过点B作直线于点D，根据“三线合一”可得，根据勾股定理求得，又是的垂直平分线，得到当点Q在直线上时，，分两种情况讨论：①当点Q在内部，线段上时，，运用勾股定理在中，可求得的长；②当点Q在外部，线段的延长线上时，运用勾股定理在中，求得的长．【详解】过点B作直线于点D  ∵是等边三角形，∴∴是的垂直平分线∴当点Q在直线上时，①当点Q在内部，线段上时，如图  由旋转可得∴∵∴在中，②当点Q在外部，线段的延长线上时，如图  由旋转可得∴∵∴在中，综上所述，的长为或故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．11．【分析】根据分式有意义的条件进行列式计算即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得，故答案为：【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分母不等于0是分式有意义的条件是解题的关键．12．【分析】根据列举法求解概率即可．【详解】解：由题意得：在英文单词“”中，同时选择2个字母的情况有共6种可能，其中恰好是“a”和“h”的情况只有一种，∴恰好是“a”和“h”的概率为；故答案为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法进行求解概率是解题的关键．13．0【分析】先求出不等式组的解集，再找到解集中最大整数即可．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是，∴不等式组的最大整数解是0，故答案为：0【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．14．【分析】连接，先证明是等边三角形，则，再证明,由得到的半径为4，再求得，又由，得到，代入数值计算即可得到阴影部分的面积．【详解】解：连接，如图，  在中，，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵以点O为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点D，∴，∴，∴,∵，∴的半径为4，∴，∵，∴，故答案为：【点睛】此题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，求出解题的关键．15．或【分析】分两种情况讨论，当交于点H和交于点H时，利用等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵在等腰直角三角形中，∴，当交于点H时，  ∴，∴设，由题意得，解得，即，∴点C移动的距离为，所用时间为；当交于点H时，  ∴，同理，得，∴，∵在等腰直角三角形中，，，∴，∴点C移动的距离为，所用时间为；故答案为：或．【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．16．（1）；（2）【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法，特殊角的三角函数值，绝对值的意义进行计算即可；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，准确计算．17．(1)240，60，25(2)见解析(3)400名 【分析】（1）根据统计表可知书法的学生人数为36人，占比为15％，由此可得m的值，进而问题可求解；（2）根据（1）可进行求解；（3）根据题意可进行求解．【详解】（1）解：由题意得：，，；故答案为240，60，25；（2）解：补全条形统计图如图所示：  （3）解：由题意得：（名）．答：该校学生中选择舞蹈兴趣课程的学生大约有400名．【点睛】本题主要考查条形统计图及数据分析，解题的关键是理清表中的一些数据．18．(1)，(2)不重合，见解析 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数中，得，，进行计算即可得到答案；（2）先求出点的坐标，即可得到平移的距离，再求出点的坐标，从而可得点的坐标，与原点进行对比即可得到答案．【详解】（1）解：将点分别代入一次函数和反比例函数中，得：，，解得：，；（2）解：不重合，理由如下：把代入，得，∴，把代入，得：，∴，∴整体向上平移了3个单位，将代入，得：，∴点的坐标为，∴点的坐标为，∵点的坐标为，∴当点在反比例函数的图象上时，点与不重合．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，图象的平移，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质，以及平移的性质，是解题的关键．19．(1)见解析(2) 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法解答即可；（2）先通过角的代换证明，然后解直角三角形求出，勾股定理求出，进而可得答案．【详解】（1）如图所示：即为线段的垂直平分线；  （2）如图，连接．  ∵直线与相切于点C，∴，∴．∵是的直径，∴，∴．∴．∵，∴．∴．∵，，∴，∴．在中，．由（1）得，点E为线段的中点，∴．【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、切线的性质、圆周角定理的推论、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．20．【分析】过点D作，垂足为点F，则四边形为矩形，根据矩形的性质和题中条件利用锐角三角函数即可求出，从而求出答案．【详解】解：如图，过点D作，垂足为点F，则四边形为矩形．  ∴，，，由题意得，，∴，在中，，，∵，∴．在中，，，∴，∵，∴．∴．答：B，C两点间的距离约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，构造直角三角形是关键．21．(1)种体育用品的单价为35元，种体育用品的单价为25元(2)购进种体育用品64件，种体育用品16件为最省钱的购买方案 【分析】（1）设种体育用品的单价为元，种体育用品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进种体育用品件，总费用为元，根据种体育用品的数量不少于种体育用品数量的4倍，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】（1）解：设种体育用品的单价为元，种体育用品的单价为元，，解得：，答：种体育用品的单价为35元，种体育用品的单价为25元；（2）解：设购进种体育用品件，总费用为元，则，解得：，，∵，∴随的增大而增大，当时，有最小值，（件），答：购进种体育用品64件，种体育用品16件为最省钱的购买方案．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．22．(1)(2)(3)0或 【分析】（1）根据对称轴和点A利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据题意得，求出相对应的纵坐标，但注意抛物线在顶点时取得最小值；（3）如图，当直线与新图象有2个公共点时，即时交于A、B两点，或时交于C、D两点．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴对称轴，∴．将点代入抛物线，得，∴，∴抛物线的表达式是．（2）由题意得，∴当时，，当时，．∵且抛物线的对称轴为直线，∴当时，抛物线取得最小值，最小值为．∴点M的纵坐标的取值范围是．（3）n的值为0或，  如图所示，将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，当直线时，与新图象有2个公共点，即A、B两点；当直线时，与新图象有2个公共点，即C、D两点；综上所述，n的值为0或．【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，直线与抛物线交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．(1)①B；②(2)不成立，见解析(3)或 【分析】（1）①根据可推出，即可根据证明；②根据全等三角形对应边相等，即可得出结论；（2）根据题意可得，，，再推出，即可证明，即可得出结论；（3）连接，过点E作于点F，分两种情况进行讨论即可：①当在左边时，②当在右边时．【详解】（1）解：①∵，∴，即，在和中，，∴，故选：B；②由①可得，∴；（2）解：不成立．∵和都是等腰直角三角形，∴，，．∴．∴，．∴．∴．即．故（1）中和的数量关系不存在；（3）解：连接，过点E作于点F，①当在左边时，∵，，，∴，∴点C，D，E，B四点共圆，∴，，∵，∴，∴，设，在中，根据勾股定理可得，则，解得：，（舍），∴，∵，，∴，则，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，∴；  ②当在右边时，同理可得：，，∴，  综上：的长为或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质，正确画出辅助线，根据题意进行分类讨论．