(新高考)高考物理一轮复习讲义 第1章 专题强化一 运动学图象　追及相遇问题（含解析）

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专题强化一　运动学图象　追及相遇问题专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．2．学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力．3．用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法．1．x－t图象与v－t图象的比较 x－t图象v－t图象图象举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移0～t1时间内甲、乙位移相等0～t2时间内丁的位移大于丙的位移平均速度0～t1时间内甲、乙平均速度相等0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度 2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．例1　(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是(　　)图1A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等答案　CD解析　x－t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．变式1　(2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P点，则下列说法不正确的是(　　)图2A．质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动B．质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动C．在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 mD．在3 s前某时刻质点A、B速度相等答案　C解析　质点A的运动方程为x＝at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝＝ m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s的速度做匀速直线运动，故D正确．例2　(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　)图3A．两车在t1时刻也并排行驶B．在t1时刻甲车在后，乙车在前C．甲车的加速度大小先增大后减小D．乙车的加速度大小先减小后增大答案　BD解析　t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C项错误，D项正确．变式2　(多选)如图4所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是(　　)图4A．前5 s做的是匀速运动B．5～15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2C．15～20 s内做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2D．质点15 s末离出发点最远，20 s末回到出发点答案　AC解析　由题图可知，前5 s做的是匀速运动，A正确；5～15 s内做匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15～20 s做匀减速运动，其加速度为－3.2 m/s2，C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点一直做方向不变的直线运动，D错误．
拓展点1　非常规图象 1．四类图象(1)a－t图象由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示．(2)－t图象由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．图5(3)v2－x图象由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.(4)x－v图象x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝v2－v02.
2．解题技巧(1)用函数思想分析图象：图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．例3　(2020·福建三明市质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是(　　)图6A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于B．乙图中，物体的加速度为2 m/s2C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量D．丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s答案　D解析　题图甲中，因v－t图象与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由图象可知a＝ m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2; 则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确．拓展点2　图象信息提取问题 有些图象问题的分析和解决，要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题． 例4　(2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶，在t＝0时刻两车正好相遇，在之后一段时间0～t2内两车速度—时间图象(v－t图象)如图7所示，则在0～t2这段时间内有关两车的运动，下列说法正确的是(　　)图7A．甲、乙两辆车运动方向相反B．在t1时刻甲、乙两车再次相遇C．乙车在0～t2时间内的平均速度小于D．在t1～t2时间内乙车在甲车前方答案　C解析　由题图可知，二者速度均为正值，即二者均向正方向运动，故甲、乙两辆车运动方向相同，故选项A错误；由题图可知，在0～t1时间内，二者位移不相等，即在t1时刻甲、乙两车没有相遇，在该时刻二者速度相等，二者之间的距离是最大的，故选项B错误；若乙车在0～t2时间内做匀变速运动，则平均速度为，如图所示，由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知，匀变速运动的位移较大，故乙车在这段时间内的平均速度小于，故选项C正确；由于甲的初速度大于乙的初速度，所以开始时甲车在乙车前面，由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知，在0～t2时间内甲的位移大于乙的位移，故整个过程中甲车一直在乙车前面，故选项D错误.1．分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．2．临界法寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．3．函数法设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．4．图象法(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．5．特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．例5　甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？答案　6 m/s2解析　方法一　临界法设两车减速后速度相同时为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后到停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.方法二　函数法甲运动的位移x甲＝v1t－a1t2，乙运动的位移x乙＝v2t－a2t2避免相撞的条件为x乙－x甲≤x0即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0≥0代入数据有(a2－2)t2－16t＋16≥0由数学知识得，不等式成立的条件是162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2>0解得a2≥6 m/s2.变式3　(2019·山东烟台市期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶，某时刻两车正好并排行驶，从该时刻起两车的速度－时间图象如图8所示，则下列说法正确的是(　　)图8A．t0时刻两车相遇B．0～t1时间内，甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同C．0～t0时间内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度D．t1时刻甲、乙两车一定再次相遇，之后甲车将一直在乙车前方答案　C解析　根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”表示位移，知0～t0时间内乙车的位移比甲车的大，则t0时刻两车没有相遇，故A错误；0～t1时间内，甲、乙两车图象斜率的绝对值均逐渐减小，则它们的加速度大小均逐渐减小，甲图象切线斜率为正，乙图象切线斜率为负，则加速度方向相反，故B错误；0～t0时间内甲车的位移比乙车的小，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故C正确；0～t1时间内，甲车的位移比乙车的大，则甲、乙两车没有在t1时刻相遇，之后甲车的速度比乙车的大，则甲车将一直在乙车前方，故D错误.1．(2019·山东潍坊市第二次模拟)甲、乙两辆货车在平直公路上从同一位置同向行驶，两车的v－t图象如图1所示，则在0～4 s时间内(　　)图1A．甲车做曲线运动B．乙车一直在甲车的后方C．甲车的平均速度小于6 m/sD．乙车位移的大小为8 m答案　C解析　由题图可知，甲车做加速度减小的减速直线运动，乙车做匀加速直线运动，故选项A错误；开始时乙的速度小于甲的速度，由图线与时间轴所围“面积”代表位移可知，开始一段时间内乙车在甲车后方，但是在0～4 s内，通过“面积”分析可知乙车位移大于甲车位移，即乙车没有一直在甲车的后方，故选项B错误；若甲车一直做匀减速直线运动，则图象如图所示：则平均速度为：v＝＝ m/s＝6 m/s，但是通过图形面积可知，甲车的实际位移小于匀减速的位移，故甲车实际的平均速度小于6 m/s，故选项C正确；由图形的“面积”代表位移可知，乙车的位移为：x＝×(2＋10)×4 m＝24 m，故选项D错误．2．(多选)(2019·河北唐山市第一次模拟)如图2所示的x－t图象反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则0～10 s过程中(　　)图2A．甲车的速度大小为4.0 m/sB．乙车的平均速度大小为4.0 m/sC．甲车的位移大小为40 mD．乙车的位移大小为80 m答案　ACD解析　甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s，在0～10 s内位移为：x甲＝v甲t＝4×10 m＝40 m，故A、C正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的减速过程，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，则根据位移与时间关系x＝at2，结合图象有：x0＝at2＝a·(10 s)2,20 m＝at＝a·(5 s)2，解得：a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，则平均速度大小为：乙＝＝ m/s＝8 m/s，故B错误，D正确．3.(2019·山东日照市上学期期末)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图线如图3所示．下列说法正确的是(　　)图3A．物体运动的最大速度是4 m/sB．t＝4 s时物体回到出发点C．t＝4 s时物体开始反向运动D．t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同答案　D解析　图象与时间轴所围“面积”表示速度变化量，由题图可知，物体运动的最大速度为vmax＝×2×2 m/s＝2 m/s，A错误；0～1 s物体做加速度增大的加速运动，1～2 s物体做加速度减小的加速运动，2～3 s物体做加速度反向增大的减速运动，3～4 s，物体做加速度反向减小的减速运动，根据对称性可知，物体在4 s末时速度减为零，4 s后物体又重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同，故D正确．4．(2020·辽宁沈阳市第一次质检)如图4为一个质点做直线运动的v－t图象，该质点在前2 s内向西运动，则该质点(　　)图4A．在前2 s内加速度方向也向西B．在前4 s内加速度方向始终向东C．在4～6 s内加速度方向始终向东D．在0～6 s内加速度方向始终不变答案　B解析　由题意结合图象可知向西为负方向，向东为正方向，该质点在前2 s内向西减速运动，则该段时间加速度向东，而2～4 s向东做加速运动，则加速度方向仍然向东，故选项A错误，B正确；由题图图象可知质点在4～5 s内向东做减速运动，而5～6 s内向西做加速运动，所以在4～6 s这段时间内加速度方向一直向西，故选项C错误；由上面分析可知，在0～4 s内加速度方向向东，在4～6 s内加速度方向向西，即在6 s内加速度方向发生变化，故选项D错误．5．(2019·安徽合肥市第一次质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动，它们的v－t图象如图5所示，则在0～4 s内(　　)图5A．两物体始终同向运动B．2 s末两物体相距最远C．两物体平均速度相等D．4 s末两物体相遇答案　A解析　0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图象均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同向运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体距离最远，B、D错误；0～4 s内，由图象可知，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据＝，两物体的平均速度甲>乙，故C错误．6．(2019·贵州省部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动，它们的位移—时间图象如图6所示，则(　　)图6A．前3 s内甲、乙的平均速度相等B．3 s末时甲、乙两物体的速度相同C．前3 s内甲、乙的运动方向始终相同D．前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m答案　A解析　因为乙物体的位移—时间图象是过坐标原点的直线，所以乙物体做匀速直线运动，甲物体的位移—时间图象是曲线，所以甲物体做的是变速直线运动．因为两物体同时同地出发，开始时甲的速度大于乙的速度，在第3 s末两图线相交，则位移相等，所以前3 s内甲、乙的平均速度相等，故A正确；由题图可知，3 s末时甲、乙两物体的速度方向相反，故B错误；由题图可知，甲在位移达到3 m时速度减小为零，然后反方向运动，故C错误；由题图可知，前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m，故D错误．7．(2019·河北邢台市期中)有四个物体A、B、C、D，物体A、B从同一地点沿同一方向运动的x－t图象如图7甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图象如图乙所示．根据图象做出的以下判断中正确的是(　　)图7A．物体A和B均做匀变速直线运动B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小C．t＝3 s时，物体C、D的速度相同D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐减小答案　C解析　x－t图象的斜率表示速度，由题图甲看出，物体A和B位移—时间图线都是倾斜的直线，斜率都不变，则速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的速度大于B的速度，所以物体A、B的间距逐渐增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的图线在t＝3 s时交于一点，所以在t＝3 s时，C、D的速度一定相同，故C正确；由题图乙看出，前3 s内，D的速度较大，C、D间距离增大，3 s后C的速度较大，两者距离减小，t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距，故D错误．