2022-2023学年安徽省合肥七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥七中高二（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数列的通项公式为，则的第项是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数有极值的充要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数已知在时取得极值，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若数列满足，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知数列的前项和，则的通项公式(    )

A.  B.  C.  D.

8.  中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得(    )

A. 石 B. 石 C. 石 D. 石

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图是导数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值

10.  等差数列是递增数列，且，前项和为，则(    )

A.  B.
C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为

11.  若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，则以下结论正确的是(    )

A. 在上单调递增
B.
C. 方程有实数解
D. 存在实数，使得方程有个实数解

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，若，，三个数成等差数列，则 ______ ．

14.  函数在点处的切线方程为，则      ，      ．

15.  已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是______；

16.  若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数在处取得极值．
Ⅰ讨论和是函数的极大值还是极小值；
Ⅱ过点作曲线的切线，求此切线方程．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若数列是等差数列，且，，求数列的前项和

19.  本小题分
一杯的黄山毛峰茶置于的房间里，他的温度会逐渐下降，温度单位：与时间单位：之间的关系由函数给出．
判断的正负，并说明理由．
的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图像的大致形状吗？

20.  本小题分

已知数列满足，．

证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

令，求数列的前项和

21.  本小题分
正项数列的前项和满足：
求数列的通项公式；
令，数列的前项和为证明：对于任意，都有．

22.  本小题分
已知函数．
求的单调区间和极值；
若对任意，恒成立，求实数的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：求导函数，
当时，
曲线在点处的切线方程为
即
故选：．
先求导函数，求曲线在点点处的切线的斜率，进而可得曲线在点处的切线方程
本题考查的重点是曲线在点处的切线方程，解题的关键是利用导数的几何意义，求得切线的斜率
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数列的通项公式，关键是掌握数列通项公式的定义，属于基础题．
根据题意，将代入数列的通项公式，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，数列的通项公式为，
则的第项；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：当时，函数是单调增函数无极值，故排除，
当时，函数是单调增函数无极值，故排除，
故选：．
用排除法．
当时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除，；
当时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除，进而得到答案．
本题主要考查函数极值的充要条件．做选择题时要选择最快的方法是很关键的问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：对函数求导可得，
在时取得极值 
，验证知，符合题意
故选：．
先对函数进行求导，根据函数在时取得极值，可以得到，代入求值．
本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．
设五个人所分得的面包为，，，，，；则由五个人的面包和为，得的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得的值；从而得最小的份的值．

【解答】

解：设五个人所分得的面包为，，，，，其中；
则，，；
由，得；，
；
所以，最小的份为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，，
，同理可得：，，，，
可得：．
则．
故选：．
，，可得，同理可得：，，，，可得：利用周期性即可得出．
本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，得，即，
当时，，
又，
所以，
则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
故选：．
运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求．
本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，注意运用等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的实际运用，属于基础题．
设甲、乙、丙，分别对应等差数列的前三项，再结合题意即可求解．

【解答】

解：设甲、乙、丙，分别对应等差数列的前三项，
，所以，
，
又因为，
所以，
甲应该分得石．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：由函数导函数的图象可知：
当或时，，单调递减；
当或时，，单调递增；
所以的单调减区间为，，B正确；
单调增区间为，，A正确；
在，处取得极小值，在处取得极大值，CD错误．
故选：．
利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件，判断正误即可．
本题考查了函数的单调性与极值问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A正确，B错误；
因为，
故当或时，最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为，故D正确，
故选：．
设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，即可判断，；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可判断．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的导数为 ；
所以过原点的切线的斜率为；
则过原点的切线的方程为：；
所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；
故选：．
数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数过原点的切线．
本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的导数为，
当时，，递增；当时，，递减，
可得在处取得极小值，且为最小值故A错误；
由可得有实数解，故C正确；
由，，而，，则，
，即有，由在递增，可得，故B正确；
，即，显然为原方程的一个解；
时，，设，导数为，
可得时，，递减，或时，，递增，
即有在处取得极小值，在处取得极大值，作出的图象如右：
当，与的图象有三个交点，即，有三个不等实根，
综上可得存在实数，使得方程有个实数解，故D正确．
故选：．
求得的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断，，；讨论，时，，设，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断．
本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数和方程的转化思想，以及数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为成等差数列，
所以，
故．
故答案为：．
由已知结合等差数列的性质即可直解求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：根据条件可得，
则，，即，，所以，．
故答案为：，．
根据函数导数表示出，，进而可求出，．
本题考查利用导数表示出曲线上某点的切线方程，考查一一对应思想，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：为等差数列，，，
，
，，
则，
故答案为：
由等差数列的通项公式可得关于，的不等式，结合等差数列的求和公式及不等式的性质可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，不等式性质的简单应用，属于基础试题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得：函数 ，
所以．
令可得，；
因为函数 在区间上有最小值，其最小值为，
所以函数在区间内先减再增，即先小于然后再大于，
所以结合二次函数的性质可得：，
且，且，
联立解得：．
故答案为：．
根据题意求出函数的导数，因为函数 在区间上有最小值，所以先小于然后再大于，所以结合二次函数的性质可得：，进而求出正确的答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．
 

17.【答案】Ⅰ解：，依
题意，，
即
解得，．
，．
令，得，．
若，
则，
故在上是增函数，在上是增函数．
若，
则，故在上是减函数．
所以，是极大值；是极小值．
Ⅱ解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为
注意到点在切线上，有
化简得，
解得．
所以，切点为，切线方程为． 

【解析】Ⅰ求出，因为函数在处取得极值，即得到，代入求出与得到函数解析式，然后讨论利用的取值范围讨论函数的增减性，得到和分别是函数的极小值和极大值；
Ⅱ先判断点不在曲线上，设切点为，分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为点在切线上，把坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．
 

18.【答案】解：数列的前项和为，且．
当时，解得：．
当时，，
得：，
故：常数，
所以：数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以：首项符合通项，
故：．
数列是等差数列，且，，
所以：设，，
则：公差，
所以：．
则：，
故：，
，
 

【解析】首先利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．
利用分组法求数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

19.【答案】解：，其意义为在附近函数值的瞬时变化率，
为负数，说明的值在附近递减，
原因是红茶的温度在下降．
，
的实际意义是：在附近红茶温度约以的速率下降．
，，
函数在处为递减，可以作一个简单的图象． 

【解析】根据题意可得的符号为负值．
根据导数的几何意义进行判断即可．
本题主要考查导数的概念以及几何意义，比较基础．
 

20.【答案】解：Ⅰ证明：因为，所以，
所以，又，
故是以首项为，公比为的等比数列，
所以，故；
Ⅱ由Ⅰ知，
，
，
，
． 

【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题
Ⅰ将等式两边加，由等比数列的定义和通项公式，可得证明，可得所求通项公式；
Ⅱ由Ⅰ知，运用数列的错位相减法求和，计算可得答案．
．
 

21.【答案】解：由
可得，
正项数列，

于是
时，，而时也适合

证明：由


 

【解析】由可求，然后利用，时，可求
由，利用裂项求和可求，利用放缩法即可证明
本题主要考查了递推公式，时，在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用．
 

22.【答案】解析：，
，
的单调增区间是，单调减区间是．
在处取得极小值，极小值为．
由变形，得恒成立，
令，则，
由，．
所以，在上单调递减，在上单调递增．
所以，，即，所以的最大值是． 

【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，考查了利用导数研究恒成立问题，属于中档题．
利用导数可得的单区间，从而可得的极值．
由变形，得恒成立，令，利用导数求出函数的最值即可．