高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——任意角和弧度制

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第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成．2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为，角度数为，则，．知识点2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．(2)扇形面积公式， 题型一：任意角的概念1．（全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（    ）A．180° B．-180° C．540° D．-540°【答案】D【详解】根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，故选：D2．（河北张家口·）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.故选：A.3．（咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为，故选：C4．（全国高一课前预习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是.故选：A5．（江苏宿迁·）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.故选：B. 题型二：终边相同的角的集合1．（全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（    ）A．510° B．150° C．-150° D．-390°【答案】D【详解】与330°角的终边相同的角为，当时， ，故选：D2．（银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（    ）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【详解】令，则 ，令，得，故选：C3．（北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（    ）A．17° B．107° C．197° D．287°【答案】D【详解】与角终边相同的角可表示为，令得.故选：D.4．（全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】与终边相同的角为，当时，，故选：C5．（全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　).A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【详解】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－，∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°  题型三：象限角1．（全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（    ）A．510° B．150° C．-150° D．-390°【答案】D【详解】与330°角的终边相同的角为，当时， ，故选：D2．（银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（    ）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【详解】令，则 ，令，得，故选：C3．（北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（    ）A．17° B．107° C．197° D．287°【答案】D【详解】与角终边相同的角可表示为，令得.故选：D.4．（全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】与终边相同的角为，当时，，故选：C5．（全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　).A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【详解】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－，∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°  题型四：弧长公式，扇形面积公式1．（全国高三模拟预测（文））已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，则由扇形面积公式得：，而，解得，所以该扇形所在圆的半径为2.故选：B2．（镇远县文德民族中学校）已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（    ）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【详解】因为扇形的半径为2，面积是2，所以，解得，故选：A3．（银川三沙源上游学校高一月考（文））扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为扇形的中心角为120°，即因为扇形的中心角为，又半径为，所以扇形的面积为.故选：A.4．（白沙黎族自治县白沙中学高一期中）扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（    ）A．3 B．4 C．5 D．以上都不对【答案】B【详解】由扇形周长公式：，而，∴这个扇形的周长是.故选：B5．（全国高一专题练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】B【详解】解：扇环的面积为．故选：B6．（上海高一课时练习）若的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】若的圆心角所对的弦长为2，则可得半径为2，所以这个圆心角所夹的扇形的面积.故选：A.7．（全国高一课时练习）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为弧度数为的圆心角所对的弦长为，所以扇形半径，因此圆心角所对的弧长是故选:B8．（江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，圆心角是.则，解得，所以阴影部的面积为，故选：A9．（上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，则，，则，所以扇面的面积.故选：.10．（全国高三专题练习（理））如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（    ）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.故选：D．  题型五：任意角的三角函数定义1．（北京市第一四二中学高三月考）若角的终边经过点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵角的终边经过点，∴，，，∴．故选：D．2．（全国高二课时练习）已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵点P（﹣1，），∴x＝﹣1，y＝，|OP|，∴．故故选：B3．（重庆市第七中学校高三月考）已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角的终边经过点，所以，故选：B4．（九龙坡·重庆市育才中学）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据三角韩的定义，角的终边经过点，，所以.故选：C5．（全国高一课时练习）已知，则角所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为，所以角所在的象限是第二象限，故选：B6．（北京景山学校远洋分校高一期中）角的终边落在射线上，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意在终边上取点，则，所以．故选：A．7．（河南（文））已知角的终边在直线上，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知得，即，解得，所以.故选：A.8．（绥德中学高一月考）是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，，解得，因此，.故选：A.9．（全国）已知角终边经过点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为角终边经过点，且，所以，所以，所以点的坐标为，所以.故选: A10．（河南高一期末（文））已知，角的终边上一点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为角的终边上一点，所以，又，解得，由可知在第二象限，故．故选：C．