艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值

考点六  二次函数与函数的最值

知识梳理

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

(3)二次函数对称轴的几种给出形式

① 二次函数f(x)的顶点坐标为(a,b)，则对称轴为x=a；

② 二次函数f(x)满足对任意x总有f(x)=f(a)，则对称轴为x；

③ 二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(a)，则对称轴为xa；

④ 二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(b)，则对称轴为x.

2．函数的最值

说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．

典例剖析

题型一  二次函数的解析式

例1　二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．

答案  f(x)＝(x－2)2－1

解析  依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，

又其图象过点(0，1)，∴4a－1＝1，∴a＝.

∴f(x)＝(x－2)2－1.

变式训练  已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．

答案  f(x)＝x2－4x＋3

解析　∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.

又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．

又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，

即f(x)＝x2－4x＋3.

解题要点  二次函数解析式的求法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；

(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式．

题型二  二次函数的图象和性质

例2　两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是________．(填序号)

①                                                                                        ②             ③           ④

答案　④

解析  函数f(x)图象的对称轴为x＝－，函数g(x)图象的对称轴为x＝－，显然－与－同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧．只有④满足．

变式训练  如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．

答案　5

解析　由题意知得

则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.

∴ f(x)的最小值为5.

题型三  闭区间上二次函数最值

例3　函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式．

解析  当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x＝∈[－1，1]，则g(a)＝f＝3－；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x＝>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.

综上所述，g(a)＝

变式训练  设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．

解析  ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，

∴对称轴为直线x＝1，

当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；

当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.

综上，g(a)＝

解题要点  二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论

题型四  二次函数恒成立问题

例4　对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．

答案  (－4,4)

解析  由题意可得

解得－4＜a＜4.

变式训练  已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．

解析  2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．

当x＝0时，适合；

当x≠0时，a＜2－，

因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.

综上，实数a的取值范围是.

解题要点  1.二次函数在R上恒成立的两个常见结论：设f(x)＝ax2＋bx＋c，则对于x∈R，

二次函数f(x)>0恒成立，

二次函数f(x)<0恒成立.

2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a> f(x)恒成立，则a> f(x)max，a<f(x)恒成立，则a< f(x)min.

当堂练习

1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为______________．

答案　f(x)＝x2－x＋1

解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得

故解得则f(x)＝x2－x＋1.

2．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则f(－3)、c、f() 的大小关系是______________．

答案  c＜f()＜f(－3)

解析  选.由已知可得二次函数图象关于直线x＝1对称．又f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)＞f()＞f(2)＝f(0)＝c.

3. 函数y＝2x2－8x＋2在区间[－1，3]上的值域为________．

答案  [－6，12]

解析  y＝2(x－2)2－6.当x＝2时，y最小为－6；当x＝－1时，y最大为12.

4．已知f(x)＝x2－2mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案  (－∞，2]

5．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解析　(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.

∴∴

因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

课后作业

一、    填空题

1．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．

答案  －1

解析  函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝＞1，∴函数y＝2x2－6x＋3在x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－1.

2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则下列说法正确的是________．(填序号)

①a>0,4a＋b＝0     ②a<0,4a＋b＝0   ③a>0,2a＋b＝0  ④a<0,2a＋b＝0

答案  ①

解析  由f(0)＝f(4)可知x＝－＝2，∴b＋4a＝0，又f(0)>f(1)知f(x)先减后增，即a>0.

3．函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是________．

答案  －4<a≤0

解析  当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；

当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴，∴－4<a<0.

综上可知：－4<a≤0.

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(1)、f(2)、f(4)的大小关系是________．

答案　f(2)<f(1)<f(4)

解析  ∵f(2＋t)＝f(2－t)，∴f(x)关于x＝2对称，又开口向上．

∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝f(3)．∴f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4).

5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则a的值为________．

答案  －2

解析  ∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，且x∈[0,1]，

∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴a＝－2.

6．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是________．

答案  a≤2或a≥3

解析  对称轴a≤2或a≥3，函数在(2,3)内单调递增．

7．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

答案  [1，2]

解析  如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．

8．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于________．

答案  2

解析  函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在[1，b]上递增，

由已知条件，即，解得b＝2.

9．函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．

答案  [2,4]

10．函数f(x)＝－x2＋3x－1，x∈[3，5]的最小值为　     　．

答案  －11

解析  f(x)＝－x2＋3x－1,其对称轴为,

所以函数f(x)＝－x2＋3x－1在[3，5]上递减，

所以当x＝5时，函数有最小值为－11．

11．若函数f(x)＝ax2＋bx＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为__________．

答案  6

解析  由f(－1)＝f(3)知，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a，所以f(2)＝4a＋2b＋6＝6.

二、解答题

12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数.

解析  (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，

所以f(x)min＝f(2)＝－1，

f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.

(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，

所以要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，

只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.

13．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

解析  (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，

由f(0)＝1，得c＝1，

故f(x)＝ax2＋bx＋1.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，

∴得

∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1,1]恒成立，

即x2－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立，

设g(x)＝x2－3x＋1－m，其对称轴为x＝，

∴g(x)在[－1,1]上单调递减，

∴g(1)＝1－3＋1－m＞0，得m＜－1，

故m的取值范围是m＜－1.