2023年山东省济宁市梁山县寿张集中学中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2023年山东省济宁市梁山县寿张集中学中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，某国家疾控中心分离该国首株变异新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为纳米纳米毫米，数据“纳米”用科学记数法表示为(    )

A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米

3.  从如图所示的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取两张，其中一张是中心对称图形，另一张是轴对称图形的概率是(    )


 

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题中，真命题是(    )

A. 方程有两个实数根
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形
D. 已知抛物线，当时，

5.  用配方法解方程的过程中，配方正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列式子中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  不等式组的解在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知实数满足，则 ______ ．

12.  用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一腰长是底边长的倍，则此等腰三角形的一腰长
为______．

13.  如图，在中，，，，为斜边上一动点，过点分别作于点，作于点，则线段的最小值为______．

14.  如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是______ ．

15.  如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合如果、分别从、同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为、、、四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

成绩为“等级”的学生人数有______名；
在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角度数为______，图中的值为______；
学校决定从本次比赛获得“等级”的学生中选出名去参加市中学生知识竞赛．已知“等级”中有名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．

18.  本小题分
已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，．
求反比例函数的解析式；
当时，求点的坐标．

19.  本小题分
某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．
求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？
该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

20.  本小题分
如图，在和中，，．
求证：∽；
若：：，，求的长．

21.  本小题分
如图，在正方形中，对角线、相交于点，为上动点不与、重合，作，垂足为，分别交、于、，连接、．
求证：≌；
求的度数；
若，，求的面积．

22.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴是直线，连接．
求该抛物线的表达式；
若过点的直线与抛物线相交于另一点，当时，求直线的表达式；
在的条件下，当点在轴下方时，连接，此时在轴左侧的抛物线上存在点，使请直接出所有符合条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：纳米毫米，
纳米毫米毫米．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：把四张印有汽车品牌标志图案的卡片分别记为、、、，其中、是轴对称图形，是中心对称图形，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中一张是中心对称图形，另一张是轴对称图形的结果有种，即、、、，
一张是中心对称图形，另一张是轴对称图形的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中一张是中心对称图形，另一张是轴对称图形的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形和中心对称图形．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程根的判别式，
方程没有实数根，故A是假命题，不符合题意；
对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，故B不符合题意；
顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形，是假命题，故C不符合题意；
已知抛物线，当时，，是真命题，故D符合题意；
故选：．
根据一元二次方程根的判别式、菱形与正方形判定、二次函数性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、菱形与正方形判定、二次函数性质等知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则，合并同类项的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集。
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可。
【解答】
解：，
解得，
不等式组的解集是：，
在数轴上表示为：

故选D。  

8.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知，，，，，
，
，
，
，
，
，
过点作，垂足为点，

是等腰直角三角形，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
在中，
，即，
，
故选：．
过点作，垂足为点，利用，求得，从而得到是等腰直角三角形，设，则，在中，利用三角函数求得；在中，利用三角函数求得，据此解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，一次函数，经过一二三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当时，一次函数，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．
故选：．
分为和两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．
本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得出，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案．
本题考查绝对值的性质以及二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出的范围．
 

12.【答案】 

【解析】解：设等腰三角形的底边长为，
腰长是底边的倍，
腰长为，
三角形的周长为，
，
解得，
，
等腰三角形的一腰长为，
故答案为：．
设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得等腰三角形的一腰长．
考查等腰三角形的性质，设出未知数列出一元一次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
当时，最短，此时的面积，
的最小值，
线段的最小值为，
故答案为：．
连接，先证明四边形是矩形，得出，当垂直是最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

点即为所求的位似中心．
故答案是：．
根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
 

15.【答案】 

【解析】解：设、同时出发后经过的时间为，四边形的面积为，
则有：



．

当时，取得最小值．
故答案为：．
根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值．
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．
 

16.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

17.【答案】；
，；
“等级”男女，从中选取人，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中女生被选中的有种，
女生被选中． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是求概率的前提．
等的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出等的人数；
等级占调查人数的，因此相应的圆心角为的即可，计算等级所占的百分比，即可求出的值；
用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】
解：名，名，
故答案为：；
，，即，
故答案为：，；
见答案．  

18.【答案】解：过点、作轴，轴，垂足为点，，
在中，，．
，，
点，
，
反比例函数的关系式为；
，
，
又∽，
，
设，，则，，
，
，
由∽得，
，即，也就是，
由可求得，舍去，
，
点． 

【解析】本题考查一次函数与反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数的几何意义，相似三角形判定和性质以及三角形面积等知识点，理解反比例函数的几何意义是列方程的关键．
根据，，可求出点的坐标，进而确定反比例函数的关系式；
利用，可得，再根据相似三角形的性质，设、，表示出、，最后根据三角形的面积为，列方程求出的值即可．
 

19.【答案】解：设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，
依题意有，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元；
设购进一次性医用外科口罩只，依题意有
，
解得．
答：至少购进一次性医用外科口罩只． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
可设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
可设购进一次性医用外科口罩只，根据购进的总费用不超过万元，列出不等式即可求解．
 

20.【答案】解：证明：，
，
．
，
在和中，
，，
∽．
∽，
．
又，
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与判定．
由两角对应相等的两个三角形相似可判断∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
解：，，
∽，
，
，
，
∽，
；
解：，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】证出，即可得出≌；
证出∽，得出，证明∽，得出即可；
证出，由相似三角形的性质得出，得出，证出，得出∽，得出，由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为，
，
，
点的坐标为，
，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为；
Ⅰ、当点在轴上方时，如图，
记与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
易得直线的解析式为，
当时，，
点，
点点关于对称，
，
易得直线的解析式为，
即直线的解析式为；

Ⅱ、当点在轴下方时，如图，
，
，
由Ⅰ知，直线的解析式为，
，
易得直线的解析式为，
即直线的解析式为；
综上，直线的解析式为或；

或或． 

【解析】先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；
由知，直线的解析式为，
抛物线的解析式为，
或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，
过作轴的平行线交直线于，
，
，
，
或舍或或，
或或．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．