广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（基础题）3

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广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（基础题）3
一．命题的真假判断与应用（共1小题）
（多选）1．（2023•广东一模）已知定义在R上的函数f（x），对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1﹣x2∈A时都有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称f（x）是“A封闭”函数．则下列命题正确的是（　　）
A．f（x）＝x2是“[﹣1，1]封闭”函数
B．定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数
C．若f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x）一定是“{k}封闭”函数（k∈N*）
D．若f（x）是“[a，b]封闭”函数（a，b∈N*），则f（x）不一定是“{ab}封闭”函数
二．基本不等式及其应用（共1小题）
（多选）2．（2023•高州市一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则的值可以为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．3
三．函数恒成立问题（共1小题）
（多选）3．（2023•梅州一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当时，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，下列命题中正确的有（　　）
A．f（1）＝1
B．，f（x0）＜1
C．
D．，f（f（x））≤﹣f（x）+2
四．指数式与对数式的互化（共1小题）
（多选）4．（2023•惠州一模）若6a＝2，6b＝3，则（　　）
A． B． C． D．
五．正弦函数的单调性（共2小题）
（多选）5．（2023•江门一模）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的值域为[0，1]
B．f（x）的图像关于点中心对称
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）的增区间为（k∈Z）
（多选）6．（2023•深圳一模）已知函数f（x）的图象是由函数y＝2sinxcosx的图象向右平移个单位得到，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象关于点对称
六．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）
（多选）7．（2023•广州一模）已知函数的图像关于直线对称，则（　　）
A．函数y＝f（x）的图像关于点对称
B．函数y＝f（x）在[0，π]有且仅有2个极值点
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．若，则cos2（α﹣β）＝1+cos2（α+β）
七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
（多选）8．（2023•梅州一模）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．ω＝2
B．函数y＝f（x）的图像关于直线对称
C．函数y＝f（x）在单调递减
D．函数是偶函数
八．三角函数应用（共1小题）
（多选）9．（2023•广东一模）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在t（s）时刻相对于平衡位置的高度h（cm）可以田确定，则下列说法正确的是（　　）

A．小球运动的最高点与最低点的距离为2cm
B．小球经过4s往复运动一次
C．t∈（3，5）时小球是自下往上运动
D．当t＝6.5时，小球到达最低点
九．等差数列的前n项和（共1小题）
（多选）10．（2023•梅州一模）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（　　）
A．若d＜0，则S1是数列{Sn}的最大项
B．若数列{Sn}有最小项，则d＞0
C．若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＜0
D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
一十．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
（多选）11．（2023•汕头一模）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（　　）

A．
B．AC1⊥BD
C．四边形BDD1B1的面积为
D．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
一十一．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
（多选）12．（2023•茂名一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面α、β、γ，则下列说法中正确的是（　　）
A．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，则a∥c
C．若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a∥α
D．若c⊥β，c⊥γ，则β∥γ
一十二．直线与平面所成的角（共1小题）
（多选）13．（2023•广东一模）在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若SD＝AD，则（　　）
A．AC⊥SD
B．AC与SB所成角为60°
C．BD与平面SCD所成角为45°
D．BD与平面SAB所成角的正切值为
一十三．点、线、面间的距离计算（共1小题）
（多选）14．（2023•梅州一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝6，CC1＝4，AC⊥BC，M为棱A1C1的中点；E为棱BB1上的动点（含端点），过点A、E、M作三棱柱的截面α，且α交B1C1于Q，则（　　）

A．线段ME的最小值为
B．棱BB1上不存在点E，使得B1C⊥平面AEM
C．棱BB1上存在点E，使得AE⊥ME
D．当E为棱BB1的中点时，ME＝7
一十四．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）
（多选）15．（2023•佛山一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：xcosθ﹣ysinθ+1＝0（其中0＜θ＜π）分别与直线x+1＝0、x﹣1＝0交于C、D两点，则（　　）
A．时，l的倾斜角为
B．∀θ∈（0，π），点A、B到l的距离之和为定值
C．∃θ∈（0，π），使l与圆O无公共点
D．∀θ∈（0，π），恒有OC⊥OD
一十五．抛物线的性质（共2小题）
（多选）16．（2023•惠州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线C于A、B两点，其中A在第一象限，若|AF|＝3，则（　　）
A．p＝1
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．
（多选）17．（2023•广东一模）已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（　　）
A．若BF为△ACF的中线，则|AF|＝2|BF|
B．若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|＝6
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有|AF|+|BF|＞2|CF|
一十六．双曲线的性质（共1小题）
（多选）18．（2023•江门一模）已知曲线C：x2sinα+y2cosα＝1（0≤α＜π），则下列说法正确的是（　　）
A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0
B．若曲线C表示双曲线，则
C．若，则曲线C表示椭圆
D．若，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆
一十七．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）
（多选）19．（2023•高州市一模）国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组3人．第一关每小组的3个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问题，若第二关该小组回答问题过关，可获得500元奖励．已知甲，乙、丙3人为一组，甲、乙、丙各自过第一关的概率分别为，，，若该小组第一关仅1人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有2人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有3人过关，该小组过第二关的概率为，则（　　）
A．甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关的概率为
B．若甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为
C．设甲、乙、丙这一组进入第二关的人数为X，则E（X）＝
D．甲、乙、丙这一组获得500元奖励的概率为
一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
（多选）20．（2023•惠州一模）下列四个命题中为真命题的是（　　）
A．若随机变量ξ服从二项分布，则E（ξ）＝1
B．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.64，则P（2≤X≤3）＝0.07
C．已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差是3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也是3
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4
一十九．频率分布直方图（共1小题）
（多选）21．（2023•广州一模）某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（　　）

A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
二十．统计图表获取信息（共1小题）
（多选）22．（2023•佛山一模）中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%．恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数＝”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（　　）


A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平
B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%
C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%
D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数
二十一．线性回归方程（共1小题）
（多选）23．（2023•湛江一模）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
165
168
170
172
173
174
175
177
179
182
体重/kg
55
89
61
65
67
70
75
75
78
80
由表中数据制作成如图所示的散点图．
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为，相关系数为r1，决定系数为；经过残差分析确定（168，89）为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为，相关系数为r2，决定系数为．则以下结论中正确的有（　　）

A． B．
C．r1＜r2 D．

广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（基础题）3
参考答案与试题解析
一．命题的真假判断与应用（共1小题）
（多选）1．（2023•广东一模）已知定义在R上的函数f（x），对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1﹣x2∈A时都有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称f（x）是“A封闭”函数．则下列命题正确的是（　　）
A．f（x）＝x2是“[﹣1，1]封闭”函数
B．定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数
C．若f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x）一定是“{k}封闭”函数（k∈N*）
D．若f（x）是“[a，b]封闭”函数（a，b∈N*），则f（x）不一定是“{ab}封闭”函数
【答案】BC
【解答】解：A：当x1＝4，x2＝3时，x1﹣x2＝1∈[﹣1，1]，而f（x1）﹣f（x2）＝16﹣9＝7∉[﹣1，1]，错误；
B：对于区间{0}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2＝0，即x1＝x2，必有f（x1）﹣f（x2）＝0，
所以定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数，正确；
C：对于区间{1}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2∈{1}，则x1＝x2+1，
而f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x2+1）﹣f（x2）＝1，即∀x∈R，都有f（x+1）＝f（x）+1，
对于区间{k}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2∈{k}，则x1＝x2+k，k∈N*，
而f（x2+k）＝f（x2+k﹣1）+1，f（x2+k﹣1）＝f（x2+k﹣2）+1，…，f（x2+1）＝f（x2）+1，
所以f（x2+k）+f（x2+k﹣1）+...+f（x2+1）＝f（x2+k﹣1）+f（x2+k﹣2）+...+f（x2）+k﹣1，
即f（x2+k）＝f（x2）+k，故f（x2+k）﹣f（x2）＝k，f（x）一定是“{k}封闭”函数（k∈N*），正确；
D：对于区间[a，b]，存在一个f（x）满足在∀x1，x2∈R使x1﹣x2＝a，都有f（x2+a）﹣f（x2）＝b，且a，b∈N*，
此时，上述f（x）为一个“[a，b]封闭”函数，且该函数在∀x∈R，有f（x+a）＝f（x）+b恒成立，
对于区间{ab}，结合上述函数，∀x1，x2∈R使x1﹣x2＝ab，则f（x+ab）＝f（x+a（b﹣1））+b，f（x+a（b﹣1））＝f（x+a（b﹣2））+b，…，f（x+a）＝f（x）+b，
将上述各式，两边分别累加并消项得f（x+ab）＝f（x）+ab，故f（x2+ab）﹣f（x2）＝ab成立，
所以f（x）一定是“{ab}封闭”函数，故错误．
故选：BC．
二．基本不等式及其应用（共1小题）
（多选）2．（2023•高州市一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则的值可以为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．3
【答案】AB
【解答】解：因为a＞0，b＞0，ab＝2，
令t＝a+b，则t，当且仅当a＝b＝时取等号，
则＝＝a+b+＝t+＝6，当且仅当t＝，即t＝3时取等号．
故选：AB．
三．函数恒成立问题（共1小题）
（多选）3．（2023•梅州一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当时，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，下列命题中正确的有（　　）
A．f（1）＝1
B．，f（x0）＜1
C．
D．，f（f（x））≤﹣f（x）+2
【答案】ACD
【解答】解；A．因为f（x）+f（2﹣x）＝2，所以令x＝1得f（1）+f（2﹣1）＝2，所以f（1）＝1，故A正确；
B：由当，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，令，则，由f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，则，
所以，则，，故B错误；
C：由题意得，而，
所以，f（x）＝1，
由，，，则，则，故C正确；
当时，，f（x）∈[0，1]，
令t＝f（x）∈[0，1]，则f（t）∈[0，1]，﹣t+2∈[1，2]，
则f（t）≤﹣t+2，即f（f（x））≤﹣f（x）+2，故D正确．
故选：ACD．
四．指数式与对数式的互化（共1小题）
（多选）4．（2023•惠州一模）若6a＝2，6b＝3，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：因为6b＝3，6a＝2，所以b＝log63，a＝log62，则a+b＝1，
选项A，，故A正确；
选项B，因为a+b＝log63+log62＝log66＝1，且a＞0，b＞0，a≠b，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
五．正弦函数的单调性（共2小题）
（多选）5．（2023•江门一模）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的值域为[0，1]
B．f（x）的图像关于点中心对称
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）的增区间为（k∈Z）
【答案】AD
【解答】解：对于A，因为，所以0≤f（x）≤1，故A正确；
对于B，，但f（x）≥0，因此f（x）的图象不可能关于点成中心对称，故B错误；
对于C，因为的最小正周期是，所以的最小正周期是，故C错误；
对于D，由得，，k∈Z，
时，，可得当时，f（x）单调递增，时，f（x）单调递减，
又f（x）的最小正周期是，
所以f（x）的增区间是（k∈Z），故D正确．
故选：AD．
（多选）6．（2023•深圳一模）已知函数f（x）的图象是由函数y＝2sinxcosx的图象向右平移个单位得到，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象关于点对称
【答案】AD
【解答】解：y＝2sinxcosx＝sin2x，y＝sin2x向右平移个单位得到：，
∴，
∴f（x）的最小正周期为π，A正确；
时，，∴f（x）在上没有单调性，B错误；
解x＝时，，∴不是f（x）的对称轴，C错误；
解得，，∴是f（x）的对称中心，D正确．
故选：AD．
六．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）
（多选）7．（2023•广州一模）已知函数的图像关于直线对称，则（　　）
A．函数y＝f（x）的图像关于点对称
B．函数y＝f（x）在[0，π]有且仅有2个极值点
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．若，则cos2（α﹣β）＝1+cos2（α+β）
【答案】ABD
【解答】解：∵函数的图像关于直线对称，
∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）．
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得函数y＝f（x）的图像关于点对称，故A正确；
当x∈[0，π]，2x+∈[，]，f（x）有且仅有2个极值点：
2x+＝ 或，即x＝ 或，故B正确；
若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即＝，故C错误；
若＝sin2α•sin2β，
则cos2（α﹣β）＝cos2αcos2β+sin2αsin2β＝cos2αcos2β+，
而1+cos2（α+β）＝1+cos2αcos2β﹣sin2αsin2β＝cos2αcos2β+，
∴cos2（α﹣β）＝1+cos2（α+β），故D正确，
故选：ABD．
七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
（多选）8．（2023•梅州一模）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．ω＝2
B．函数y＝f（x）的图像关于直线对称
C．函数y＝f（x）在单调递减
D．函数是偶函数
【答案】AB
【解答】解：根据函数图象可得，即函数的最小正周期为，可得ω＝2，即A正确；
又因为函数图象过，所以，
可得，
又|φ|＜π可得，
所以，
将代入可得，
所以为函数y＝f（x）的一条对称轴，故B正确；
当时，，根据正弦函数单调性可得函数f（x）在上先减后增，故C错误；
易得是奇函数，故D错误．
故选：AB．
八．三角函数应用（共1小题）
（多选）9．（2023•广东一模）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在t（s）时刻相对于平衡位置的高度h（cm）可以田确定，则下列说法正确的是（　　）

A．小球运动的最高点与最低点的距离为2cm
B．小球经过4s往复运动一次
C．t∈（3，5）时小球是自下往上运动
D．当t＝6.5时，小球到达最低点
【答案】BD
【解答】解：小球运动的最高点与最低点的距离为2﹣（﹣2）＝4cm，所以选项A错误；
因为，所以小球经过4s往复运动一次，因此选项B正确；
当t∈（3，5）时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当t＝6.5时，，所以选项D正确．
故选：BD．
九．等差数列的前n项和（共1小题）
（多选）10．（2023•梅州一模）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（　　）
A．若d＜0，则S1是数列{Sn}的最大项
B．若数列{Sn}有最小项，则d＞0
C．若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＜0
D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
【答案】BD
【解答】解：对于A，取数列{an}为首项为4，公差为﹣2的等差数列，S1＝4＜S2＝6，故A错误；
对于B，等差数列{an}中，公差d≠0，，Sn是关于n的二次函数．当数列{Sn}有最小项，即Sn有最小值，Sn对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，d＞0，B正确；
对于C，取数列{an}为首项为1，公差为﹣2的等差数列，，，即Sn+1＜Sn恒成立，此时数列{Sn}是递减数列，而S1＝1＞0，故C错误；
对于D，若数列{Sn}是递减数列，则an＝Sn﹣Sn﹣1＜0（n≥2），一定存在实数k，当n＞k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意n∈N*，均有Sn＞0，
故若对任意n∈N*，均有Sn＞0，有数列{Sn}是递增数列，故D正确．
故选：BD．
一十．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
（多选）11．（2023•汕头一模）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（　　）

A．
B．AC1⊥BD
C．四边形BDD1B1的面积为
D．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【答案】ABD
【解答】解：，
则＝12+12+12+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°＝6，
故，A正确；
，，＝1×1×cos60°﹣12+12﹣1×1×cos60°+1×1×cos60°﹣1×1×cos60°＝0，
故，B正确；

连接BD1，B1D，则，＝12+12+12+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos120°＝2，
即，同理，故四边形BDD1B1为矩形，
面积为1×1＝1，C错误；

过A1作A1E⊥面ABCD，易知E在直线AC上，过E作EF⊥AB于F，连接A1F，
由A1E⊥AB，EF⊥AB得AB⊥面A1EF，易得AB⊥A1F，
故，，，
故平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，
D正确．
故选：ABD．


一十一．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
（多选）12．（2023•茂名一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面α、β、γ，则下列说法中正确的是（　　）
A．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，则a∥c
C．若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a∥α
D．若c⊥β，c⊥γ，则β∥γ
【答案】ACD
【解答】解：对于A，∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α一定成立，∴A正确；
对于B，如图，正方体两两相交的三个平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1，
平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
平面ABB1A1∩平面ADD1A1＝AA1，但AB，AD，AA1不平行，∴B错误；
对于C，∵α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，又a⊄α，∴a∥α，∴C正确；
对于D，∵c⊥β，c⊥γ，∴β∥γ，∴D正确．
故选：ACD．

一十二．直线与平面所成的角（共1小题）
（多选）13．（2023•广东一模）在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若SD＝AD，则（　　）
A．AC⊥SD
B．AC与SB所成角为60°
C．BD与平面SCD所成角为45°
D．BD与平面SAB所成角的正切值为
【答案】ACD
【解答】解：选项A，因为SD⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，
所以AC⊥SD，因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩SD＝D，BD，SD⊂平面SBD，
所以AC⊥平面SBD，又SB⊂面SBD，
所以AC⊥SB，选项A正确；
选项B，因为AC⊥平面SBD，又SB⊂面SBD，
所以AC⊥SB，故选项B错误；
选项C，因为SD⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，
所以BC⊥SD，又四边形ABCD是正方形，
所以BC⊥CD，又CD∩SD＝D，CD，SD⊂平面SCD，
所以BC⊥平面SCD，所以BD与平面SCD所成角为∠BDC，
易知∠BDC＝45°，故选项C正确；
选项D，如图，取SA中点K，连DK，BK，
因为SD⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，所以AB⊥SD，
双四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，又AD∩SD＝D，
所以AB⊥平面SAD，DK⊂面SAD，所以AB⊥DK，
又SD＝AD，所以DK⊥SA，SA∩AB＝A，所以DK⊥面SAB，
所以BD与平面SAB所成角为∠DBK，
不妨设SD＝AD＝a，易知，
在Rt△DKB，，故选项D正确．
故选：ACD．

一十三．点、线、面间的距离计算（共1小题）
（多选）14．（2023•梅州一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝6，CC1＝4，AC⊥BC，M为棱A1C1的中点；E为棱BB1上的动点（含端点），过点A、E、M作三棱柱的截面α，且α交B1C1于Q，则（　　）

A．线段ME的最小值为
B．棱BB1上不存在点E，使得B1C⊥平面AEM
C．棱BB1上存在点E，使得AE⊥ME
D．当E为棱BB1的中点时，ME＝7
【答案】ABD
【解答】解：以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建系如图，
则A（6，0，0），B（0，6，0），C1（0，0，4），A1（6，0，4），B1（0，6，4），M（3，0，4），
∵BB1与底面A1B1C1垂直，
∴当E与B1重合时，ME在平面A1B1C1内，BB1⊥ME，此时ME最小为，∴A正确；
∵，，
∴，∴B1C与AM不垂直，
因此B1C不可能与平面AME垂直，∴B正确；
设E（0，6，t）（0≤t≤4），则，，
若AE⊥ME，则，
即t2﹣4t+54＝（t﹣2）2+50＝0，此方程无实数解，
因此棱BB1上不存在点E，使得AE⊥ME，∴C错误；
当E是BB1中点时，E（0，6，2），
∴，∴D正确．
故选：ABD．

一十四．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）
（多选）15．（2023•佛山一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：xcosθ﹣ysinθ+1＝0（其中0＜θ＜π）分别与直线x+1＝0、x﹣1＝0交于C、D两点，则（　　）
A．时，l的倾斜角为
B．∀θ∈（0，π），点A、B到l的距离之和为定值
C．∃θ∈（0，π），使l与圆O无公共点
D．∀θ∈（0，π），恒有OC⊥OD
【答案】BD
【解答】解：依题意A（﹣1，0），B（1，0），
对于A：当时直线l：，即，
所以直线l的斜率，所以直线l的倾斜角为，故A错误；
对于B：点A到直线l的距离，
点B到直线l的距离，
所以点A、B到直线l的距离之和为d＝|﹣cosθ+1|+|cosθ+1|，
因为θ∈（0，π），所以cosθ∈（﹣1，1），所以d＝﹣cosθ+1+cosθ+1＝2，
即对∀θ∈（0，π），点A、B到直线l的距离之和为定值2，故B正确；
对于C：坐标原点O到直线l的距离，
所以直线l与单位圆相切，即直线l与单位圆必有一个交点，故C错误；
对于D：对于直线l：xcosθ﹣ysinθ+1＝0，令x＝﹣1，解得，
令x＝1，解得，
即，，
所以，，
所以，所以，
即∀θ∈（0，π），恒有OC⊥OD，故D正确；
故选：BD．
一十五．抛物线的性质（共2小题）
（多选）16．（2023•惠州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线C于A、B两点，其中A在第一象限，若|AF|＝3，则（　　）
A．p＝1
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．
【答案】BCD
【解答】解：设F（，0），则过F的直线斜率为2的方程为：y＝2），
代入抛物线方程消去y可得：4x2﹣5px+p2＝0，
解得x，因为点A在第一象限，所以xA＝p，x，
则|AF|＝x，所以p＝2，A错误，
|BF|＝x，B正确，
由p＝2可得抛物线的方程为：y2＝4x，且A（2，2），B（），
所以＝1﹣4＝﹣3，D正确，
AF的中点横坐标为，以AF为直径的圆的半径为，
所以圆心到y轴的距离等于半径，则以AF为直径的圆与y轴相切，C正确，
故选：BCD．
（多选）17．（2023•广东一模）已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（　　）
A．若BF为△ACF的中线，则|AF|＝2|BF|
B．若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|＝6
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有|AF|+|BF|＞2|CF|
【答案】AD
【解答】解：由题意，不妨令A（x1，y1），B（x2，y2）都在第一象限，
又C（﹣2，0），F（2，0），设l：x＝ky﹣2，
联立E：y2＝8x，可得y2﹣8ky+16＝0，
则Δ＝64（k2﹣1）＞0，即k2＞1，
∴y1+y2＝8k，y1y2＝16，
∴，如图所示，
A：若BF为△ACF的中线，则，
∴，所以x1＝4，故，
∴，则|AF|＝2|BF|＝6，故A正确；
B：若BF为∠AFC的角平分线，则，
作AD，BE垂直准线x＝﹣2于D，E，则|AF|＝|AD|且，
∴，∴，
∴，将代入整理得：
，∴x1＝6，
∴|AF|＝x1+2＝8，故B错误；
C：若，即，即△ACD为等腰直角三角形，
此时|CD|＝|AD|，即A（y1﹣2，y1），∴，
∴，∴y1＝4，∴y2＝4，则此时A，B为同一点，不合题设，故C错误；
D：，又2|CF|＝8，
结合k2＞1，可得8k2＞8，即|AF|+|BF|＞2|CF|恒成立，故D正确．
故选：AD．

一十六．双曲线的性质（共1小题）
（多选）18．（2023•江门一模）已知曲线C：x2sinα+y2cosα＝1（0≤α＜π），则下列说法正确的是（　　）
A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0
B．若曲线C表示双曲线，则
C．若，则曲线C表示椭圆
D．若，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆
【答案】BD
【解答】解：对于A选项，若曲线C表示两条平行线，则有sinα＝0或cosα＝0，且0≤α＜π．
若sinα＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝﹣1或y＝1，符合题意，
若cosα＝0，则，此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝﹣1或x＝1，符合题意，
故选项A错误；
对于B选项，若曲线C表示双曲线，则sinαcosα＜0，
由于0≤α＜π且sinα≠0，则sinα＞0，可得cosα＜0，则，故选项B正确；
对于C选项，若曲线C表示椭圆，则，解得且，故选项C错误；
对于D选项，若，则0＜sinα＜cosα，则，
曲线C的方程可化为，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故选项D正确．
故选：BD．
一十七．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）
（多选）19．（2023•高州市一模）国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组3人．第一关每小组的3个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问题，若第二关该小组回答问题过关，可获得500元奖励．已知甲，乙、丙3人为一组，甲、乙、丙各自过第一关的概率分别为，，，若该小组第一关仅1人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有2人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有3人过关，该小组过第二关的概率为，则（　　）
A．甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关的概率为
B．若甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为
C．设甲、乙、丙这一组进入第二关的人数为X，则E（X）＝
D．甲、乙、丙这一组获得500元奖励的概率为
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关为事件A，则其对立事件为“甲、乙、丙3人都没有在第一关过关”，则P（A）＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，A错误；
对于B，设“甲在第一关过关”为事件N，则P（N）＝，P（AN）＝P（N）＝，则若甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率P＝P（N|A）＝＝，B正确；
对于C，P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，
P（X＝2）＝××（1﹣）+×（1﹣）×+（1﹣）××＝，P（X＝3）＝××＝，
故E（X）＝0×+1×+2×+3×＝，C正确；
对于D，甲、乙、丙这一组获得500元奖励的概率P＝×+×+×＝，D正确；
故选：BCD．
一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
（多选）20．（2023•惠州一模）下列四个命题中为真命题的是（　　）
A．若随机变量ξ服从二项分布，则E（ξ）＝1
B．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.64，则P（2≤X≤3）＝0.07
C．已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差是3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也是3
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4
【答案】AC
【解答】解：对于A，由于，则，故A正确；
对于B，∵X～N（3，σ2），∴P（3＜X≤4）＝0.64﹣0.5＝0.14，
故P（2≤X≤3）＝P（3＜X≤4）＝0.14，故B错误；
对于C，∵x1，x2，x3，…，x10的方差是3，
则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差不变，故C正确；
对于D，∵回归方程必过样本中心点，则2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故D错误．
故选：AC．
一十九．频率分布直方图（共1小题）
（多选）21．（2023•广州一模）某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（　　）

A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
【答案】AC
【解答】解：对A选项，根据频率分布直方图可得（0.01+a+0.06+0.04+0.02）×5＝1，
解得a＝0.07，∴A选项正确；
对B选项，根据A选项分析可得：这100名学生中体重低于60kg的频率为（0.01+0.07+0.06）×5＝0.7，
∴这100名学生中体重低于60kg的人数为100×0.7＝70，∴B选项错误；
对C选项，设该校学生体重的第78百分位数为t，
则0.05+0.35+0.3+（t﹣60）×0.04＝0.78，
解得t＝62，
∴可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62，∴C选项正确；
对D选项，∵平均数为：47.5×0.05+52.5×0.35+57.5×0.3+62.5×0.2+67.5×0.1＝57.25，
∴可以估计该校学生体重的平均数约为57.25，∴D选项错误．
故选：AC．
二十．统计图表获取信息（共1小题）
（多选）22．（2023•佛山一模）中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%．恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数＝”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（　　）


A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平
B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%
C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%
D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数
【答案】AC
【解答】解：对于选项A：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A选项正确；
对于选项B：农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%～32%之间，
其余年份均大于32%，且2012、2013这两年大于（等于）34%，
故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B选项错误；
对于选项C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前5位分别为2019、2018、2017、2021、2020，
因为10×45%＝4.5，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C选项正确；
对于选项D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%，
故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D选项错误；
故选：AC．
二十一．线性回归方程（共1小题）
（多选）23．（2023•湛江一模）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
165
168
170
172
173
174
175
177
179
182
体重/kg
55
89
61
65
67
70
75
75
78
80
由表中数据制作成如图所示的散点图．
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为，相关系数为r1，决定系数为；经过残差分析确定（168，89）为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为，相关系数为r2，决定系数为．则以下结论中正确的有（　　）

A． B．
C．r1＜r2 D．
【答案】AC
【解答】解：身高的平均数为，
因为离群点（168，89）的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，
所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，
所以，，所以A正确，B错误；
去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，
所以，所以C正确，D错误．
故选：AC．