高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.11 切线处理情况多曲线不同法定度 (含解析)

【题型综述】

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

【典例指引】

类型一 导数法求抛物线切线

例1 【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．

类型二 椭圆的切线问题

例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

类型三 直线与椭圆的一个交点

例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】（1）因为椭圆过点

          且 

       椭圆C的方程是

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则的直线方程：

化简得

又，

所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.

类型四  待定系数求抛物线的切线问题

例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

（3）由抛物线的定义可知，

所以

联立，消去得，

当时，取得最小值为

【扩展链接】

1. 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.
2. 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.
3. 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.

4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.

5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.

6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.

【同步训练】

1．已知椭圆与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．

【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；

（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．

（ 2）显然k≠0，m≠0，

由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，

由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，

其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，

化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

切线在x轴上的截距为，又，

∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）

2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

设在A（x1，y1）处切线方程为y﹣y1=k1（x﹣x1），

与椭圆C：=1联立，

消去y，得（）x2+8k1（﹣k1x1+y1）x+4（﹣k1x1+y1）2﹣75=0，

由△=0，得[8k1（﹣k1x1+y1）]2﹣4（4+3）[4（﹣k1x1+y1）2﹣75]=0，

化简，得（），

由，得4x12﹣100=﹣，4y12﹣75=﹣3x12，

∴上式化为﹣=0，

3.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；

（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．

①证明：PA⊥PB；

②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；

（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPA•kPB=﹣1，即可证明PA⊥PB；

②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．

当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，

∴PA⊥PB，

②当直线PQ的斜率存在时，

由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，

，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，

则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，

∴k1k2===，

=，

将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣，

当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣，

∴综上可知：k1k2=﹣．

4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．

（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…（7分）

∵点M在两条切线上，

∴，，

故直线AB的方程为．…（9分）

又∵点M为直线x﹣y=4上，

∴y1=x1﹣4

即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，

由解得，

因此，直线AB过定点．…（12分）

5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．

（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．

故切线PA，PB的斜率分别为，kPB=，

再由PA⊥PB，得kPA•kPB=﹣1，

∴，

解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，

由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，

∴|CD|=•=≤3．

当且仅当k=时取等号，

∴弦|CD|的最大值为3．

6.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M'，N'是直线l上的两点，且F1M'⊥l，F2N'⊥l，求四边形F1M'N'F2面积S的最大值．

【思路点拨】（1）由△MNF2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．

（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1M'N'F2面积的最大值．

所以==．

因为四边形F1M'N'F2的面积，

所以=．

令k2+1=t（t≥1），

则==，

所以当时，S2取得最大值为16，故Smax=4，

即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4．

7.已知A，B分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF1，F2的周长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P是圆x2+y2=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．

【思路点拨】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；

（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则PM⊥PN．

∴．∵y0=k1x0+m，∴m=y0﹣k1x0，

∴．即；

同理：切线PN：y=k2x+t中，，

∴k1，k2是方程的两个根，

又∵P在圆上，∴，∴，

∴， 

∴PM⊥PN．

综上所述：PM⊥PN．

8.已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．

（Ⅰ） 求C的方程；

（Ⅱ） 点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．

【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，

且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可

（2） 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），

可得，，即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化简=．可证得∠AQO=∠BQO．

又因过点P（m，﹣t），故可得，，（7分）

即，同理可得，（8分）

所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，（9分）

因为Q（0，﹣t），所以，（10分）

化简=．（11分）

所以∠AQO=∠BQO．（12分）

9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．

【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；

（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAF•kBF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．

10.已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点．

（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．

（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程．

（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．

（2）设

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

则

又，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4

将，…①

由

将，

由①②得k=0或k2=1，k=±1，

经检验k=0，k=±1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求

故直线l存在，且方程为y=±x+1或y=1…（13分）

11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）以曲线C上的点P（x0，y0）（y0＞0）为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．

【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；

（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．

A（﹣x0，0），…（7分）

点M（a，0）到切线l的距离d==+≥2，

（当且仅当y0=2时，取等号）．

∴当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小． …（9分）

∴A（2﹣a，0），B（0，），

∴S△ABF=丨1﹣（2﹣a）丨•丨丨=（a﹣1），

S△PAM=丨a﹣（2﹣a）丨•丨2丨=2（a﹣1），…（11分）

∴=，

△ABF与△PAM面积的比．…（12分）

12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.

【思路点拨】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=0，得到两个变量的等量关系．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程．