高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.7 三点共线证法多斜率向量均可做 (含解析)

【题型综述】

三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.

【典例指引】

类型一   向量法证三点共线

例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线:（）

(Ⅰ)若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

(Ⅱ)设=4，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点，求证：，，三点共线.

方程为：，则，

，，

欲证三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：

将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

类型二  斜率法证三点共线

例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．

（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；

（2）求证：点B、O、C三点共线．

∵kOB==，y1y2=﹣4，

∴kOB=kOC，∴点B、O、C三点共线．

类型三   直线方程法证三点共线

例3（2017•贵阳二模）已知椭圆C：=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

==，

即直线QN过点（1，0），

又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），

∴三点N，F，Q在同一条直线上．

类型四 多种方法证三点共线

例4.（2017•保定一模）设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G．

（1）求椭圆的离心率；

（2）求证：A，G，N三点共线．

【扩展链接】

1.给出,等于已知与的中点三点共线;

2. 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；

3.

【同步训练】

1．已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；

（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；

（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；

（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．

（3）设直线PQ的方程为x=my+3．

由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，

2.已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．

（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；

（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．

【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．

（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得kOE，kOD．只要证明kOE=kOD．即可得出E，O，D三点共线．

【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．

∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．

∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．

3.已知焦距为2的椭圆W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为．

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．

【思路点拨】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；

（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由kAD•kAB=﹣1，代入求得=，由kBD﹣kBC=0，即可求证kBD=kBC，即可求证B，C，D三点共线．

（2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），

∵A，D在椭圆上，，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴=﹣，

由AD⊥AB，

∴kAD•kAB=﹣1，•=﹣1，•（﹣，）=﹣1，

∴=，

∴kBD﹣kBC=﹣=﹣=0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三点共线．

4.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆的“伴随圆”．已知A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m（m＞0）上的点．

（Ⅰ）若过点P（0，）的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求直线l被椭圆G的“伴随圆”G1所截得的弦长；

（Ⅱ）若椭圆G上的M，N两点满足4k1k2=﹣1（k1，k2是直线AM，AN的斜率），求证：M，N，O三点共线．

【思路点拨】（Ⅰ）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；

（Ⅱ）设直线AM，AN的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程求得交点M，M的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OM，ON的斜⇐率相等，即可得证．

5.已知椭圆,四点

中恰有三点在椭圆C上

（1）求椭圆的方程.

（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点，

轴于点，点在椭圆C上，且

求证：  ， 三点共线.

【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出， ，则， ，再向量坐标化，得到，得到，最终得到；

6.已知抛物线：（）的焦点为，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：点在直线上.

【思路点拨】（1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程为（），代入抛物线方程消去x整理得，再设，，进而得，可得直线的方程为，又，，故BD方程化为，令，得，即结论成立。

【详细解析】（1）依题意知，解得，

所以抛物线的方程.

（2）设直线的方程为（），

7.已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线．

【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点，建立关于a，b，c的方程组从而得到椭圆的标准方程；

（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为，线段所在直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以，所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．

【详细解析】（1）因为双曲线： 的离心率，

而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，

设椭圆的半焦距为，则.①

又椭圆经过点，所以.②

，③

联立①②③，解得.

所以椭圆的标准方程为.

8.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，离心率为，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若y2=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线，M，N，F1三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．

【思路点拨】（1）由题意可知：a=b2，a=c及a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；

（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．

由弦长公式|PQ|=•=，

∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，

令1+k2=t，（t＞1），

则S===4×（1+）＞4，

∴S＞4，

综上可知：四边形PMQN的面积的最小值4．

9.已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（I）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

【思路点拨】（I）由题意，直线l1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三点共线．

10.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为2，且椭圆C与圆M：（x﹣1）2+y2=的公共弦长为．

（1）求椭圆C的方程．

（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且，求证：B，D，E三点共线..

【思路点拨】（1）由题意得，由椭圆C与圆M：的公共弦长为，其长度等于圆M的直径，得椭圆C经过点，由此能求出椭圆C的方程．

（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）．利用点差法求出，从而求出kAB•kAE=﹣1，进而求出kBE=kBD，由此能证明B，D，E三点共线．

【详细解析】（1）由题意得，则．

由椭圆C与圆M：的公共弦长为，

其长度等于圆M的直径，

即．

又=，

所以kAB•kAE=﹣1，

即，

所以

所以

又=，

所以kBE=kBD，

所以B，D，E三点共线．

11.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．

【思路点拨】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且过点（﹣1，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+，联立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围．

（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，

故可设其方程为x=my+，

联立，消去x，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k，

故，，

∴，∴k=，

当m=0时，k=0，

当m≠0时，k=，故|4m+|=4|m|+，

∴0＜≤，

∴0＜|k|，∴﹣，且k≠0，

综上所述，直线AR的斜率的取值范围是[﹣]．

12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线E：x2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，直线y=k（x﹣4）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，直线x=1与直线BM交于点P．

（i）证明：A，P，N三点共线；

（ii）求△OMN面积的最大值．

【思路点拨】（Ⅰ）由题意知⇒a=2，b=1，c=，即可；

（Ⅱ）（i）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）代入椭圆C得：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．则M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））．要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，即证明成立．

（ii）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）变形为x=my+4，（m=）．联立得（m2﹣4）y2+8my﹣12=0．

|MN|=，点O到直线MN的距离d=．△OMN面积S=×|MN|×d即可．

则M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））．

∴BM的方程为：，⇒P（1，）

∴）．

要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，

即证明成立．

即证明2x1x2﹣5（x1+x2）﹣8=0，将①代入上式显然成立．

∴A，P，N三点共线．