高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.4 极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题 (含解析)

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

★例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：.

    不妨设，记，则，

    因此只要证明：，

再次换元令，即证

构造新函数，

求导，得在上递增，

所以，因此原不等式获证.

★例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：

法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：

 不妨设，

∵，∴，

∴，欲证明，即证.

∵，∴即证，

∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.

法三：直接换元构造新函数：

设，

则，

反解出：，

故，转化成法二，下同，略.

★例3.已知是函数的两个零点，且.

（1）求证：；
（2）求证：.

(2)要证：，即证：，等价于，

也即，等价于，令

等价于，也等价于，等价于即证：

令，则，

又令，得，∴在单调递减，

，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.

【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.

★例4.已知函数，若存在，使，求证：.[KS5UKS5UKS5U]

再证：.

∵，

而，

∴.证毕.

【招式演练】

★设函数的图像与轴交于两点，

（1）证明：；

（2）求证：.

（2）证明：由，易知且，

从而，令，则，

由于，下面只要证明：，

结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，

又因为，即证：，

令，则，

∴在上单调递减，∴，

∴原不等式成立.

★设函数，其图像在点处切线的斜率为.

当时，令，设是方程的两个根，

是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.

★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：

【解析】∵，又依题意，

得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，

即……

不妨设，注意到，由函数单调性知，有，

构造函数，则，

当时，，即单调递减，当时，，从而不等式式成立，故原不等式成立. 

★已知函数.

（1）若，求函数在上的零点个数；

（2）若有两零点（），求证：.

【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点.

2.难点的证明依赖利用放缩.

★已知函数 .

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，证明：当时， ；

（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析

（Ⅱ）令，则

.

求导数，得 ，

当时，，在上是减函数.

而， ，

故当时，

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，

故，从而的最小值为，且，

不妨设，则， ，

由（Ⅱ）得 ，

从而，于是，

由（Ⅰ）知， . 

点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.

★已知函数（）.

（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，

证明：.

【答案】（1）（2）见解析

由题设得 .

又 ，

∴

.

不妨设， ，则，则

.

令 ，则，所以在上单调递增，所以，

故.[KS5UKS5U.KS5U

又因为，因此，即.

又由知在上单调递减，

所以，即.

★已知函数，．

（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．

【答案】（1）（2）见解析[KS5UKS5U.KS5U

∴，解得

∴切线的斜率为，∴切线方程为

（Ⅱ）

，

当时，即时， ， 在上单调递增；

当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增．

当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

★已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若函数有两个零点， （， ），证明： .

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

试题解析：

（1）欲证证，

，

在上递增，

（2）， ，

[KS5UKS5U]

令，易知在递减， ，

， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ，[KS5UKS5U]

要合题意，如图，，，右大于左，原题得证