高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题 (含解析)

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.

证明：

构造函数，

则，

所以在上单调递增，，

也即对恒成立.

由，则，

所以，

即，又因为，且在上单调递减，

所以，即证

法三：由，得，化简得…，

不妨设，由法一知，.[KS5UKS5U.KS5U

令，则，代入式，得，

反解出，

则，故要证，[KS5UKS5UKS5U]

即证，

又因为，等价于证明：…，

构造函数，则，

故在上单调递增，，

从而也在上单调递增，，

构造，

则，

又令，则，

由于对恒成立，故，

在上单调递增，

所以，从而，

故在上单调递增，[KS5UKS5UKS5U]

由洛比塔法则知：，

即证，即证式成立，也即原不等式成立.

【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.

例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，[KS5UKS5UKS5U]

【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减. 

招式演练：

★已知函数，正实数满足.

证明：.[KS5UKS5U]

【解析】由，得

从而，

令，构造函数，

得，可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，也即，

解得：.

★已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.

【答案】（Ⅰ）在 (0,1)递增， 在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析

（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足

且，                 

由题意可知                              

又有(1)可知在递减

故                                                         

所以，令