备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质，共20页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，焦点三角形，焦点弦，已知F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
第5节　椭　圆
考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.


1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(易错题)(2022·济南联考)“20).连接F1A，

令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一(待定系数法)　设所求椭圆方程为＋＝1(k0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k0).
训练1 (1)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(，)的椭圆标准方程为______________.
(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，)，过其中一焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|＝1，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　(1)＋＝1或＋＝1　(2)C
解析　(1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝a(a>0)，
将点(，)代入，得a＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为＋＝λ(λ>0)，
将点(，)代入，得λ＝.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意知，椭圆C的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆C经过点(0，)，得b＝.
不妨设A(c，y1)，
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝，
所以|AB|＝＝1，由此解得a＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
考点三　椭圆的几何性质
角度1　椭圆的离心率
例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2021·兰州调研)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上一点，且PF1与x轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)设M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，N(x，y)，
因为＝3，
所以(－c，－b)＝3(c－x，－y)，
所以代入椭圆方程并化简，
得e2＋＝1，解得e＝.
(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，
由PF1与x轴垂直，PQ的斜率为－，
可得P，
由kPQ＝kPF2＝＝－，
整理得＝，即2c2＋3ac－2a2＝0，
得2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去).
感悟提升　求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程求解.
(3)利用公式e＝求解.
角度2　与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例3 (1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)依题意，B(0，b)，
设椭圆上一点P(x0，y0)，
则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，
则|PB|2＝x＋(y0－b)2
＝x＋y－2by0＋b2
＝－y－2by0＋a2＋b2
＝－＋＋a2＋b2≤4b2.
因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，
所以－≤－b，得2c2≤a2，
所以离心率e＝≤.
(2)设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.
∵－1≤y0≤1，
∴当y0＝－时，|PA|＝，
即|PA|max＝.
感悟提升　利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
训练2 (1)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2022·驻马店模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，点P是椭圆C上的一个动点，|PF|的最小值为－1，且存在点P，使得△OPF(点O为坐标原点)为正三角形，则椭圆C的离心率为________，焦距为________.
答案　(1)A　(2)－1　4
解析　(1)①当焦点在x轴上，依题意得
0b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，

即2(a2－c2)＝c2，
则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
5.(2021·盐城调研)已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，若S△F1PF2＝4，则∠F1PF2等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案　D
解析　由＋＝1，可得a＝2，b＝2，c＝＝2.
设P(x1，y1)且y1>0，
所以S△F1PF2＝|F1F2|·y1＝×4×y1＝4，解得y1＝2，
此时点P的坐标为(0，2)，
所以|PF1|＝|PF2|＝2.
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以∠F1PF2＝90°.
6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2
得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥.
又0b>0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 400＋265＝3 665，远火点满足a＋c＝3 400＋11 945＝15 345，
解得a＝9 505，c＝5 840，
所以椭圆的离心率为e＝＝≈0.6.
9.已知椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
答案　(－3，0)或(3，0)
解析　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
由题意知a＝5，b＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，等号成立，
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
所以点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解　设所求椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
∵F1A⊥F2A，∴·＝0.
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4，
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，即e≥.又00)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一个交点为A，若4＝5，则a＝________.
答案　3
解析　如图，设椭圆的左焦点为F′，则F′(－1，0).

连接AF′，BF′，
则|BF|＝|BF′|＝a.
由4＝5，得|AF|＝.
由椭圆的定义可知，|AF′|＝2a－|AF|＝a，
设∠AFF′＝θ，则∠BFF′＝π－θ，
则cos θ＝
＝＝
＝①，
而cos(π－θ)＝
＝＝②，
由①＋②得＋＝0，解得a＝3.
14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P，
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).