备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第三章 培优课 §3.8 隐零点与极值点偏移问题

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第三章 培优课 §3.8 隐零点与极值点偏移问题，共7页。试卷主要包含了8　隐零点与极值点偏移问题等内容，欢迎下载使用。

隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．
题型一 隐零点
例1 (2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ex＋1－eq \f(2,x)＋1，g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2.
(1)求函数g(x)的极值；
(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．
(1)解 g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)0)，
即xex＋1－ln x－x－2≥0.
令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，
h′(x)＝(x＋1)ex＋1－eq \f(1＋x,x)＝(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋1－\f(1,x)))，
令φ(x)＝ex＋1－eq \f(1,x)，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝－101时，ln x＋1>(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值．
解 (1)由题意知，f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)，
当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，若x∈(0，a)，f′(x)0；
∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增；
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－2，
f′(x)＝1－eq \f(1,x)(x>0)；
由ln x＋1>(1＋k)f′(x)得，x(ln x＋1)>(1＋k)(x－1)，即k＋11)，
令g(x)＝eq \f(xln x＋1,x－1)(x>1)，则g′(x)＝eq \f(x－ln x－2,x－12)，
令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)>0，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又h(3)＝1－ln 30，
∴∃x0∈(3,4)，使得h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，
此时ln x0＝x0－2，
则当x∈(1，x0)时，g′(x)0，
∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(x0)＝eq \f(x0ln x0＋1,x0－1)＝eq \f(x0x0－1,x0－1)＝x0，
∴k＋10得x1时，g(t)单调递增，
所以g(t)>g(1)＝0，
所以ln t－eq \f(2t－1,t＋1)>0，
故x1＋x2>2.
思维升华 极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>((0，得0h(0)＝0.
即x1＋x2>2.