新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.8　隐零点与极值点偏移问题　培优课

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.8　隐零点与极值点偏移问题　培优课，共11页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§3.8 隐零点与极值点偏移问题
题型一 隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
例1 (2022·扬州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．
(1)解 f′(x)＝eq \f(1,x)－a＝eq \f(1－ax,x)(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,a)，
所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递增，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．
(2)证明 设函数φ(x)＝ex－2－ln x(x>0)，
则φ′(x)＝ex－2－eq \f(1,x)，
可知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又由φ′(1)0知，φ′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x0，且10，
即不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．
思维升华 零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
跟踪训练1 (2022·淄博模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,a)x2＋ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．
(1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)g(1)＝0，
所以ln t－eq \f(2t－1,t＋1)>0，
故x1＋x2>2.
课时精练
1．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
由已知f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)－eq \f(1,x2)＝－eq \f(ln x,x2)，
当01时，f′(x)0，g′(x)0，
所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，
因此h(t)>h(1)＝0.
于是当t>1时，有ln t>eq \f(2t－1,t＋1).
所以ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2得证．