备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 §2.8 对数与对数函数

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 §2.8 对数与对数函数，共13页。试卷主要包含了反函数等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数称为自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1，＝ eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( × )
(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( × )
(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(4)函数y＝lg2x与y＝的图象重合．( √ )
教材改编题
1．若函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案 A
解析 根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则lg21≤lg2(x＋1)≤lg22，
即f(x)∈[0,1]．
2．函数y＝lga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点 ．
答案 (3,2)
解析 ∵lga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
3．eln 2＋eq \f(lg2 02216,lg2 0224)＝ .
答案 4
解析 eln 2＋eq \f(lg2 02216,lg2 0224)＝2＋lg416＝2＋2＝4.
题型一 对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值是( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,10) D．1
答案 D
解析 由2a＝5b＝10，
∴a＝lg210，b＝lg510，
∴eq \f(1,a)＝lg 2，eq \f(1,b)＝lg 5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)计算：lg535＋－lg5eq \f(1,50)－lg514＝ .
答案 2
解析 原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋
＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝lg85，则4a－3b＝ .
答案 eq \f(9,25)
解析 因为2a＝3，所以a＝lg23，
又b＝lg85，
所以b＝eq \f(1,3)lg25，
所以a－3b＝lg2eq \f(3,5)，4a－3b＝＝eq \f(9,25).
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋eq \f(1,2)lg 4－lg34×lg23＝ .
答案 －1
解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－eq \f(2lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0