2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练14 导数的概念及运算

课时规范练14　导数的概念及运算

基础巩固组

1.曲线f(x)=x2+2ex在点(0,f(0))处的切线方程为(　　)

A.x+2y+2=0 B.2x+y+2=0

C.x-2y+2=0 D.2x-y+2=0

2.已知函数f(x)=x3-f'(1)x2+2的导数为f'(x),则f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为(　　)

A.-8 B.8 C.12 D.16

3.已知函数f(x)=x4+ax,若=12,则a=(　　)

A.36 B.12 C.4 D.2

4.若曲线f(x)=ln x在点(1,0)的切线与曲线g(x)=x2+mx+也相切,则m=　　　　　. 

5.已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值为　　　　　. 

6.曲线f(x)=2x-ex与直线x-y+t=0相切,则t=　　　　　. 

7.已知函数f(x)=,且f'(1)=1,则a=　　　　　　,曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为　　　　　. 

综合提升组

8.已知函数f(x)=sin x和g(x)=cos x图象的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论:①f(x0)=g(x0);②f'(x0)=g'(x0);③f(x)和g(x)的图象在点P处的切线的倾斜角互补;④f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直.其中正确结论的序号是(　　)

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

9.函数f(x)=ln x图象上一点P到直线y=2x的最短距离为(　　)

A. B.

C. D.

10.设曲线y=ln x与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=(　　)

A.-1 B.- C. D.

11.已知函数f(x)=ex-+a,若直线y=0在点(b,f(b))处与曲线y=f(x)相切,则a=(　　)

A.1 B.0 

C.-1 D.-1或1

12.定义:函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”.则下列正确说法的序号为　　　　　.(填上所有正确答案的序号) 

①函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”;②函数f(x)=的“严格凸区间”为(0,);③函数f(x)=ex-x2在(1,4)为“严格凸函数”,则m的取值范围为[e,+∞).

创新应用组

13.已知a-ln b=0,c-d=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值是(　　)

A.1 B. C.2 D.2

参考答案

课时规范练14　导数的

概念及运算

1.D　f(x)=x2+2ex的导数为f'(x)=2x+2ex,则在点(0,f(0))处的切线的斜率为f'(0)=2,且切点为(0,2),则切线的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0.

2.B　因为f'(x)=3x2-2f'(1)x,令x=1,得f'(1)=3-2f'(1),所以f'(1)=1,所以f'(x)=3x2-2x,f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为f'(2)=8.

3.C　根据题意,f(x)=x4+ax,则f'(x)=4x3+a,则f'(0)=a,

若=12,

则

=3

=3f'(0)=12,

则有3a=12,即a=4.

4.-2或4　由f(x)=ln x的导数为f'(x)=,可得曲线f(x)=ln x在点(1,0)的切线斜率为1,切线的方程为y=x-1,联立可得x2+(2m-2)x+9=0,由切线与曲线g(x)=x2+mx+也相切,可得Δ=(2m-2)2-4×9=0,解得m=4或-2.

5.或-4　由题意得f'(x)=因为f'(a)=12,

所以解得a=或-4.

6.-1　∵f(x)=2x-ex,∴f'(x)=2-ex,切线x-y+t=0的斜率为k=1,

设切点P(x0,y0),令f'(x0)=2-=1,解得x0=0,代入f(x)=2x-ex得y0=2×0-e0=-1,∴切点坐标为(0,-1),代入切线方程x-y+t=0中得到0+1+t=0,解得t=-1.

7.0　y-=0　由f(x)=,则f'(x)=,因为f'(1)=1,即=1,解得a=0,所以f(x)=,f'(x)=,所以f(e)=,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为y-=0.

8.A　对于①,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,则f(x0)=g(x0),故①正确;对于②,因为f(x)和g(x)在点P处的切线不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②错误;对于③,显然f'(x0)+g'(x0)=0成立,故③正确;对于④,假设f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直,则有-cos x0sin x0=-1,即sin 2x0=2,这与|sin 2x0|≤1矛盾,故④错误.

9.C　设与直线y=2x平行且与曲线f(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为f'(x)=,所以=2,解得x0=,则切点坐标为,最短距离为点,-ln 2到直线y=2x的距离,即,即点P到直线y=2x的最短距离为.

10.B　因为y=ln x,所以y'=.又因为切线的斜率为1,设切点为(x0,y0),所以=1,解得x0=1,y0=0,所以切线方程为y=x-1.因为y=(x+a)2,设切点(x,y),所以y'=2x+2a=1,解得x=-a,代入切线方程得y=--a,再将-a,--a代入y=(x+a)2,解得a=-.

11.C　由f(x)=ex-+a可得f'(x)=ex-=ex+,因为直线y=0在点(b,f(b))处与曲线y=f(x)相切,则f'(b)=0,即eb+=0,所以eb·b=-·ln,两边同时取以e为底的对数,可得ln(eb·b)=ln,即ln eb+ln b=ln+ln,所以b+ln b=ln+ln,设g(x)=x+ln x,g'(x)=1+>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以b=ln,即b=-ln b,又因为f(b)=0,所以f(b)=eb-+a=0,解得a=-1.

12.①②　f(x)=-x3+3x2+2的导函数f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”,所以①正确;

f(x)=的定义域为(0,+∞)且导函数f'(x)=,f″(x)=,由f″(x)<0可得2ln x-3<0,解得x∈(0,),所以函数f(x)=的“严格凸区间”为(0,),所以②正确;

f(x)=ex-x2的导函数f'(x)=ex-mx,f″(x)=ex-m,

因为f(x)在(1,4)为“严格凸函数”,故f″(x)<0在(1,4)上恒成立,

所以ex-m<0在(1,4)上恒成立,即m>ex在(1,4)上恒成立,故m≥e4,所以③不正确.

13.C　设(b,a)是曲线C:y=ln x上的点,(d,c)是直线l:y=x+1上的点,则(a-c)2+(b-d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方.对函数y=ln x求导得y'=,令y'=1,得x=1,则y=0,所以曲线C上到直线y=x+1的距离最小的点为(1,0),该点到直线y=x+1的距离为.因此(a-c)2+(b-d)2的最小值为()2=2.