浙江省宁波市奉化区2022—2023学年高一下学期期末数学试题

奉化区2022—2023学年第二学期期末试题

高一数学试卷

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数(为虚数单位)则为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ）

A. “至少有1个红球”与“都是黑球”

B. “恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C. “至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D. “都红球”与“都是黑球”

4. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列4个命题，其中真命题个数是（    ）

①若，，则；   ②若，，，则；

③若，，则；   ④若，，则.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 若向量满足，，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 2022年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3:2逆转击败韩国女足，成功夺冠.之前半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足.假设罚点球球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且即使方向判断正确也有的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门就扑出点球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在中，内角，，对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，为两个互相垂直的单位向量，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每一个数都乘以()得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）

A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为

C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的方差为

10. 已知复数且，下列命题一定正确的是（    ）

A.  B. 若，则

C. 与对应向量共线的单位向量为 D. 若，则

11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（　　）

A.

B. 若，则为等腰三角形

C. 若，则

D. 若，则为锐角三角形

12. 如图，四棱柱底面是边长为1的正方形，，点是直线上一动点，下列说法正确的是（    ）

A. 若棱柱是直棱柱，其外接球半径为2，则；

B. 若棱柱是正方体，分别为棱，中点，则四棱锥的体积为；

C. 不论取何值，一定存在点使得直线平面；

D. 若直线，，与平面所成角分别是，，，则.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，若，则______.

14. 已知圆台的上底面、下底面的半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积是______.

15. 半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.  

16. 已知是正方体棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 复数满足为纯虚数；

（1）求复数；

（2）求.

18. 在中，内角所对的边分别为请在①;②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题：

（1）选择      求；

（2）若，，求边及．

（如果选择多个条件解答按第一个解答给分）

19. （用坐标法不给分）已知三棱锥，为线段中点，是边长为1的正三角形，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，点在线段上且，求二面角的正切值.

20. 某校高一年级学生利用暑假假期期间进行志愿者活动，为了解学生参加志愿活动的时间，随机抽取了200名学生进行调查，将收集到的做志愿者时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，时间均在内，已知上述数据的百分位数为．

（1）求的值；

（2）现从第二组，第四组学生中采用按比例分层抽样的方法取人，再从人中随机抽取两人，求两人来自不同组的概率．

21. （用坐标法不给分）平行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，若为线段的中点，在翻折过程中，

（1）求证：平面；

（2）若二面角，求与平面所成角的正弦值.

22. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，.

（1）求b边的长度；

（2）求的余弦值；

（3）设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值.