2023年浙江省宁波市奉化区一模数学试题（含解析）

2023年浙江省宁波市奉化区一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（    ）

A．10 B．11 C．12 D．14

2．如图，在中，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ）

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

4．利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ）

A．抽中的扑克牌编号是3的概率 B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率

C．抽中的扑克牌编号大于3的概率 D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率

5．二次函数的图像与轴有两个交点，则满足的条件是（    ）

A． B． C．且 D．

6．如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（    ）

A．16 B．20 C．24 D．18

9．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（    ）

A．四边形和四边形的面积之差 B．四边形和四边形的面积之差

C．四边形和四边形的面积之差 D．四边形和四边形的面积之差

二、填空题

11．若，则的值是______．

12．从，0，，，中任取一个数，取到无理数的概率是______．

13．抛物线的顶点坐标是______．

14．如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为______．

15．在圆中，四点在圆上，，，，则的值为______．

16．如图，在正方形中，点E在上，，连接，取中点F，过F作且使得，连接并延长，将绕点C旋转到，当，，三点共线且时，______．

三、解答题

17．．

18．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．

(1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为．

(2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比．相似比为：______

19．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程选择一个参加：

A．竞技乒乓，B．围棋博弈，C．名著阅读，D．街舞少年．

(1)小明选择街舞少年的概率为______．

(2)用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率．

20．如图1是一个简易手机支架，由水平底板、侧支撑杆和手机托盘长组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长，侧支撑杆，，，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是的中点，手机托盘可绕点B转动，侧支撑杆可绕点D转动．

(1)如图2，求手机托盘最高点A离水平底板的高度h（精确到）．

(2)如图3，当手机托盘绕点B逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点C落在水平底板上，求（精确到0.1）．（参考数据：，，）

21．生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元．而据统计发现樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间满足一次函数关系．

(1)该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？

(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

22．如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)若，，求的长和扇形的面积．

23．已知二次函数的图像经过三点，，．

(1)求二次函数的表达式．

(2)二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出的取值范围．

(3)点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点．当点运动时，求面积的最大值．

24．如图1，为圆O的内接三角形，的三条角平分线交于点I，延长AI交圆O于点D，连接．

(1)求证：．

(2)如图2，连接，设与交于点P，若，，求的长．

(3)如图3，四边形内接于圆O，连接对角线，交于点E，且平分，过B作交于点F，平分交于点G，若，，求的最大值，并求此时圆O的半径．

参考答案：

1．C

【分析】由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．

【详解】解：∵一个正n边形的每一个外角都是，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和为是解题的关键．

2．B

【分析】先根据勾股定理计算出，再根据三角函数的定义，即可得解．

【详解】解：根据勾股定理可得，

则，

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，牢固掌握相关知识是解题关键．

3．A

【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，进行判断即可．

【详解】解：要将抛物线平移后得到抛物线，

需要将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，

故选：A

【点睛】此题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的平移规则．

4．B

【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可．

【详解】A、抽中的扑克牌编号是3的概率为，不符合试验的结果；

B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率，基本符合试验的结果；

C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果；

D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率，不符合试验的结果．

故选：B．

【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率．

5．C

【分析】根据二次函数图像与轴有两个交点，可知当时，的判别式，代值解不等式即可得到答案，在求解过程中一定要注意对于二次函数．

【详解】解：对于二次函数可知，

二次函数的图像与轴有两个交点，

，

且，

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数定义及二次函数与轴有两个交点对应的判别式，熟记二次函数与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键．

6．A

【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．

【详解】解：在中，，，，

则，，

点A恰在外，点B在内，

故选：A．

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．

7．B

【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解．

【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接，

则，

四边形是的内接四边形，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角．

8．C

【分析】证明，由相似三角形的性质得出，，得出，求出三角形的面积，则可得出答案．

【详解】∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵为三等分点且，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵的面积为1，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

9．C

【分析】利用判别式的意义和抛物线与轴有2个交点可以对进行判断；利用时，可以对进行判断；由抛物线开口向下得到，然后利用对称轴的位置以及抛物线与轴的交点可得到的符号，可以对进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，可以对进行判断．

【详解】解：抛物线与轴有2个交点，

，

，故正确；

当时，，

，故错误；

抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，

，，

抛物线的对称轴为直线，

，

，故正确；

抛物线的对称轴为直线，

，

当时，，

即，

，故正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即），对称轴在轴的左边，当与异号时（即），对称轴在轴的右边；常数项决定抛物线与轴的交点；抛物线与轴交点个数由决定，抛物线与轴有2个交点，，抛物线与轴有1个交点，，抛物线与轴没有交点．

10．C

【分析】分别过点，作的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．

【详解】解：如图，分别过点，作的平行线交于点，交于点，

四边形四边形，相似比，

，，，相似比，

则，，

，

，选项C符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．

11．

【分析】根据已知可得x=y，然后代入式子中进行计算即可解答．

【详解】解：∵2x=y，

∴x=y，

∴===，

故答案为：．

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

12．/0.4

【分析】根据概率公式为满足要求的事件结果数事件总的结果数，代值求解即可得到答案．

【详解】解：，0，，，这5个数中，无理数为、共2个，

由概率公式可得从，0，，，中任取一个数，取到无理数的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查简单概率公式的运用，读懂题意，分析出满足要求的事件结果数是解决问题的关键．

13．

【分析】根据二次函数的图像与性质，对于顶点式可以直接读出其顶点坐标，从而得到答案．

【详解】解：抛物线的顶点坐标是，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记抛物线顶点式性质是解决问题的关键．

14．4

【分析】先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到，最后利用相似比即可得解．

【详解】解：根据题意作图，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．

15．

【分析】连接，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知，根据垂径定理及勾股定理求出，代入求值即可得到答案．

【详解】解：连接，如图所示：

，，，设圆半径为，

，

在中，，则，

，解得，

在中，，，则，

故答案为：．

【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理的推论、勾股定理、垂径定理及解方程等知识，熟练掌握圆的性质及勾股定理是解决问题的关键．

16．

【分析】解：如图，过作于交于，过作于，交于，连接，证明，，设，求解，求解，，，证明，，过作于，求解，，，可得，过作于，可得，再解直角三角形可得答案．

【详解】解：如图，过作于交于，过作于，交于，连接，

∵中点为F， ，，

∴，，

设，

∵正方形中， ，

∴，，

∴，，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

由辅助线可得：四边形为矩形，

∴，，

由，

∴，，

∴，

过作于，

由，

同理可得：，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

过作于，

由旋转可得：，

∴设，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，本题难度很大，计算量大，对学生要求高，细心的计算是解本题的关键．

17．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角三家函数值是解题的关键．

18．(1)见解析

(2)见解析；

【分析】（1）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据相似比，求得格点三角形的各边长，即可求解；

（2）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据有一条公共边，确定相似比以及各边的长，即可求解．

【详解】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，

所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示

（2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，

有一个边为公共边，假设公共边为，并且所画三角形边长为的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为，

则所画三角形的各边长为，，，如下图所示：

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．

19．(1)

(2)见解析；

【分析】（1）直接根据概率公式进行计算，即可求解；

（2）根据题意画出树状图，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．

【详解】（1）解：根据概率的计算公式，小明选择街舞少年的概率为

（2）解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，

∴小明和小王选择同一个课程的概率为．

【点睛】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）作于点F，，于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出的长，可得答案．

（2）由题意可得，在中，已知两直角边，可求得的正切值，进而可求得α的度数．

【详解】（1）解：如图2，作于点F，，于点G，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，B是的中点，

∴

∴，

∴；

（2）解：由条件，得：，

又∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键．

21．(1)樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润

(2)当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元

【分析】（1）根据每日获得1200元的利润列出方程，解方程即可得到答案；

（2）设销售利润为元，根据题意列出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得到答案．

【详解】（1）解：由题意可列式：，

解得：，，

答：樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润；

（2）解：设销售利润为元，

根据题意可得：

，

当时，元

答：当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题的关键．

22．(1)见解析

(2)；

【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解；

（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．

【详解】（1）连接，

∵为直径，

∴，即，

又∵D是中点，

∴是线段的中垂线，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意设设二次函数表达式为，将带入二次函数得：，求出的值，即可得到答案；

（2）直接根据二次函数的图象观察即可得到答案；

（3）用待定系数法求出直线的解析式，设，则点，则，当当时，，易证，从而得到，因此计算即可得到答案．

【详解】（1）解：由交点式设二次函数表达式为，

把带入二次函数得：，

解得：，

二次函数表达式为；

（2）解：由（1）得，二次函数解析式为：，

对称轴为，

关于对称的点为，

二次函数的图象上若有两点，且，

由图象可得的取值范围为；

（3）解：设直线的解析式为：，

将，代入得：

，

解得：，

直线的解析式为，

设，则点，

则，

当时，，

轴，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

当最大时，最大，即当时，，

此时：．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．

24．(1)见解析

(2)4

(3)的最大值为；圆O的半径为

【分析】(1)根据角平分线的定义，通过外角性质及圆周角定理，即可证明，从而证得结论；

(2)首先由垂径定理，可得，根据圆周角定理及(1)可得，，再根据角平分线的定义及圆周角定理，即可证得，根据相似三角形的性质即可求解；

(3)过点C作于点H，根据角平分线的定义及(1)，可证得

，可得，设，则，，再根据平行线的性质及圆周角定理，可证得，，可证得，根据相似三角形的性质可得，，根据二次函数的性质可得，当时，最大，最大值为，此时，，再作直径，连接，则，即可求得，据此即可得半径．

【详解】（1）证明：的三条角平分线交于点I，

，，

，

，

，即，

；

（2）解：，

∴．

平分，

∴点D为弧的中点，

，

由(1)知，

，

∴．

的三条角平分线交于点I，

，

，

，

又

，

，

；

（3）解：如图：过C作于点H，

平分，平分，

，同(1)可证得，

∴，

设，则，，

，

∵，

，

，

，

又，

，

，

，

，

，

∴当时，最大，最大值为，

此时，，

如图：作直径，连接，

则，

，

∴此时圆O的半径为．

【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正弦的定义，作出辅助线是解决本题的关键．