河北省沧州市重点高中2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

河北省重点高中高一年级第二学期期中联考

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 若复数，则复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的概念判断即可.

【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为．

故选：C．

2. 若三点共线，则（    ）

A.  B. 5 C. 0或 D. 0或5

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.

【详解】因为，

若三点共线，则，

所以，

解得或5．

故选：D.

3. 已知平面，和直线a，b，，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立.

【详解】如图1，满足，但不垂直，充分性不成立，

如图2，满足，但不满足，必要性不成立，

故选：D

4. 某实验室的笼子中有40只小白鼠，将其进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行试验，选取方法是从下面的随机数表的第1行第15列和第16列数字开始由左向右依次选取2个数字，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（    ）

90    84    60    79    80    24    36    59    87    38    82    07    53    89    35    96    35    23    79    18    05    98    90

07    35    46    40    62    98    80    54    97    20    56    95    15    74    80    08    32    16    46    70    50    80    67

A. 05 B. 40 C. 35 D. 23

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机数表抽样的定义和抽取方法进行求解.

【详解】重复的号码只能算作一个，抽取样本的号码是38，07，35，23，18，05，20，15，08，32，

所以抽取样本的第6个号码为05．

故选：A．

5. 已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由，

可得

，

因为，，

所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限．

故选：B．

6. 已知三棱锥，底面ABC，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意将三棱锥补形为长方体，此三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线，求解即可.

【详解】因为，，，

由余弦定理可得：，

则，所以.

所以，则为直角三角形，三棱锥补形为长方体，如下图，

所以，

此三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线为，

故三棱锥外接球的体积为．

故选：A．

7. 在中，点D是边BC的中点，且，若点P为平面ABC内一点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可.

【详解】因为D为BC的中点，

所以，

所以，

不妨以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

因为，则，，

设，则，

所以.即：的最小值为.

故选：A.

8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角A的内角平分线AD的长为4，则bc的最小值为（    ）

A. 16 B. 32 C. 64 D. 128

【答案】C

【解析】

【分析】先利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可求A，利用面积公式可得，结合基本不等式可求答案.

【详解】因为，

由正弦定理可得，即，

所以，

又，所以，

由，得，所以，

则，即，

当且仅当时等号成立，所以bc的最小值为64．

故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 关于复数，下列说法错误的是（    ）

A. 若，则或

B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为

C. 若z是复数，则

D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合向量的运算法则，即可求解；对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解．

【详解】对于A，取，则，故A错误；

对于B，，B错误；

对于C，取，但知C错误；

对于D，设复数，则由可知，

故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确．

故选：ABC．

10. 已知在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有（    ）

A. 若为锐角三角形，则

B. 若，，，则有两解

C. 若，，则外接圆半径为10

D. 若，，，则

【答案】AB

【解析】

【分析】由结合正弦函数单调性得可判断A；由AB边上的高为3，若，可判断B；由正弦定理可判断C；由正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断D.

【详解】对于A，因为锐角三角形，，

所以，

由正弦函数单调性得，A正确；

对于B，因为，AB边上的高为3，若，则有两解，B正确；

对于C，由正弦定理，可知，所以外接圆半径为5，C不正确；

对于D，由正弦定理，得，所以，D不正确．

故选：AB．

11. 在三棱锥中，，，且，点E，F分别为AD，BC的中点，点A在平面BCD内的射影为点O，则下列选项中正确的是（    ）

A. 平面平面ACD

B.

C. 异面直线AC与EF所成角的余弦值为

D. 三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据，，证得平面，进而证得平面平面ACD，可判定A正确；由，，证得平面，可判定B正确；取AB中点G，得到或其补角是异面直线与所成的角，在中，解三角形可判定C正确；由和，可判定D错误．

【详解】对于A中，因为点A在平面BCD内的射影为点O，连接BO，CO，DO，则，

又因为，且，平面，所以平面，

因为平面ACD，所以平面平面ACD，所以A正确；

对于B中，因为平面，且平面，所以，

同理可得，即O为的垂心，所以，

因为，且平面，所以平面，

所以，所以B正确；

对于C中，取AB中点G，连接EG，FG，则，，

所以或其补角是异面直线与所成的角，

所以且，

所以，所以，所以C正确；

对于中，因为分别是的中点，

所以，

所以，

所以两三棱锥体积相等，所以D错误．

故选：ABC.

12. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 在上的投影向量为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，可得，，

对于A中，向量，所以，所以A正确；

对于B中，因为，

可得，所以B正确；

对于C中，因为，所以C不正确；

对于D中，因为在上的投影向量为，

又因为，所以，

因为，所以，所以D不正确．

故选：AB．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知一个圆锥的底面面积为，体积为，则该圆锥的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据圆锥的体积可求出圆锥的高，再由圆锥侧面展开为扇形求出表面积.

【详解】设该圆锥的底面圆半径为r，高为h，

由底面积为，体积为，可得,解得，

所以圆锥母线长为，所以该圆锥表面积为．

故答案为：．

14. 已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，得，根据向量垂直列式，从而得关于向量的关系式，取符合关系式的值即可.

【详解】由题意可知．

设，则．

取，则，

所以与垂直的非零向量可以为．（答案不唯一）

故答案为：（答案不唯一）

15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且外接圆半径为，若，则的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理结合面积公式即可得出答案.

【详解】∵，且外接圆半径R为，

∴由正弦定理，可得，

∵，∴由余弦定理，

可得，解得，

∴．

故答案为：．

16. 已知直四棱柱的所有棱长均为4，，E为BC的中点，当点F在四边形内部及其边界运动时，有平面，则线段EF的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】取CD的中点M，的中点N，连接ME，MN，NE，，由面面平行的判定定定理可证得平面平面，结合题意知，点F在平面MNE与平面的交线上，即，即可求出线段EF的最大值.

【详解】取CD的中点M，的中点N，连接ME，MN，NE，，

∵M，E分别为CD，BC的中点，∴．

∵平面，平面，∴平面．

同理，M，N分别为DC，的中点，∴，

又，∴．平面，平面，

∴平面．

又，平面MNE，平面MNE，

∴平面平面．

又平面，∴平面MNE，

又点F在四边形内部及边界运动，

∴点F在平面MNE与平面的交线上，即．

在中，，，连接DE，

在中，，

∴，∴为钝角，

∴当点F运动到点N时，EF的最大值为．

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数是方程的根．（i是虚数单位，）

（1）求；

（2）设复数（是z的共复数），且复数所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，

（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得，结合复数的几何意义即可列不等式求解.

【小问1详解】

由题知，

∴，即，解得，

∴，．

【小问2详解】

，

复数所对应的点在第二象限，

∴，解得，

所以实数a的取值范围为．

18. 如图，在中，点C是AB的中点，点D在线段OB上，且，设，．

（1）若，，且与的夹角为，求；

（2）若向量与共线，求实数k的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由数量积的定义求出，代入即可求出的值；

（2）先分别求出向量与，再结合共线定理解方程即可得出答案.

【小问1详解】

因为，，且与的夹角为，

所以，

所以．

【小问2详解】

由C是AB的中点，得，

，

所以，

若与共线，则存在实数，使得，

即，所以，

因为与不共线，所以，解得，

所以实数k的值为．

19. 如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．

（1）求A，N之间的距离（用字母表示）；

（2）若，，，，，求M，N之间的距离．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，在中利用正弦定理求解作答.

（2）在中由正弦定理求出，结合（1）的结论，再在中利用余弦定理求解作答.

【小问1详解】

在中，由正弦定理得，即，

所以．

【小问2详解】

在中，由正弦定理得，即，

因此，而，，，，，

则，由（1）得，

在中，，由余弦定理得

，

所以MN之间的距离为．

20. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，且边长为2，BC垂直于AB，，E为PA的中点．

（1）证明：平面PBC．

（2）若底面ABCD，且，求点A到平面PBC的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，DF，由面面平行的判定定理可证得平面平面PBC，再由面面平行的性质可证明；

（2）由，即可求出点A到平面PBC的距离．

【小问1详解】

如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF，

∵为等边三角形，且F为AB的中点，∴，

又∵，∴，

又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，

又∵E，F分别为PA，AB的中点，∴，

又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC．

又∵，且EF，平面DEF，

∴平面平面PBC，

∵平面DEF，∴平面PBC．

【小问2详解】

在中，，，，

∴．

由题意得，

设点A到平面PBC的距离为d，

由，得，

∴．

21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）证明：．

（2）求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得，化简即可证明；

（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

由正弦定理得，

∴，

∴，

∵，，∴，∴或(舍去)，∴．

【小问2详解】

由（1）得，，

∴，

∵，，∴，∴，

函数在上单调递增，，．

∴，∴的取值范围为．

22. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）．

（1）证明：平面平面；

（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，为上靠近四等分点

【解析】

【分析】（1）证明出平面，可得出，结合可得出平面，可得出，推导出，可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）过作在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知为二面角的平面角，设，则，在中，设，由以及二面角的正切值求出的值，即可得出结论.

小问1详解】

证明：翻折前，因为，，为的中点，

所以，且，

又因为，则四边形为正方形，所以，，

翻折后，则，，，、平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，，、平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，，所以，

因为，、平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

【小问2详解】

解：假设存在点满足题意，如图，过作在平面内作，垂足为点，

在平面内，因为，，所以，

由（1）知，平面，所以平面，

因为平面，所以，

过点在平面内作，垂足为点，连接，

因为，，，、平面，

所以平面，

因为平面，所以，所以为二面角的平面角，

不妨设，则，在中，设，

因为，,

所以，，所以，

所以，得，

所以，解得，

即此时为线段上靠近点的四等分点．