(新高考)高考数学一轮复习过关练考点33 离散型随机变量的概率（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点33 离散型随机变量的概率（含解析），共23页。试卷主要包含了超几何分布，在考查随机变量的概率分布等内容，欢迎下载使用。
考点33 离散型随机变量的概率
考纲要求



1、 会求离散型随机变量的概率；
2、 了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单运用；
3、 理解N次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用；
理解离散型随机变量的均值与方差，会根据离散型随机变量的概率分布求出期望与方差
近三年高考情况分析



离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．

考点总结




1、随机变量及时描述随机事件的数学模型，也是随机现象的思想方法，它的引入使我们能够运用分析的方法研究概率问题。
2、超几何分布、二项分布，n次独立重复试验是概率分布中十分重要的概率模型，学会概率首先应正确理解和把握这几个重要的模型。
3、在考查随机变量的概率分布、数学期望与方差时往往与排列、组合相结合，因此要掌握排列组合灯相关知识。
三年高考真题





1、【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是








则当a在（0，1）内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
2、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】∵，∴或，
，
，可知，故．故选B．
3、【2018年高考浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P



则当p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【解析】，，，∴先增大后减小，故选D．
4、【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
5、【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．
【答案】，
【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
【答案】
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是
7、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【解析】（1）甲连胜四场的概率为．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为．
所以需要进行第五场比赛的概率为．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．
因此丙最终获胜的概率为．
8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【答案】（1）0.5；（2）0.1．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
9、【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为

0
1
2
3





随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知


．
10、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
因此．
令，得，
当时，；当时，．
所以的最大值点为．
（2）由（1）知，．
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知，，即．
所以．
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
11、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】X的所有可能取值为．
，，，
所以的分布列为








（2）（i）由（1）得．
因此，故，
即．
又因为，
所以为公比为4，首项为的等比数列．
（ii）由（i）可得

．
由于，故，
所以．
表示最终认为甲药更有效的概率，
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，
认为甲药更有效的概率为，
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
12、【2018年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（2）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（3）>>=>>．
13、【2018年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．

二年模拟试题




考点 离散型均值与方差
1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：
X
-1
0
1

Y
-1
0
1
P




P
a
b
c
若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知，，所以，即，又，故
，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，则，，
，
列出随机变量的分布列如下：

-1
0
1
P



所以.
故选：B.
2、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：

-1
0
1




其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，，成等差数列，
，

.
则的最大值为
3、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：

-1
1


-1
1







则当在内增大时（ ）
A．减小，增大 B．减小，减小
C．增大，增大 D．增大，减小
【答案】D
【解析】，
，
，
，
，
，
，
当在内增大时，增大，减小，
故选：D．
4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球（），若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】
可能值为，，
，
，
分布列为








，

，当且仅当时，等号成立.
故选:B.
5、（2020·浙江温州中学高三3月月考）随机变量的可能值有1，2，3，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】随机变量的可能值有1，2，3，且，，
可得：，
由，可得
所以．

，
当时，的最大值为1．
故选：D．
6、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】记该游客游览个景点为事件，，
则，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；
随机变量的可能取值为
，
，
，故B正确；
，
，故C错误；
数学期望为：，故D正确，
故选：ABD.
7、（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量的取值为、、，，，则______.
【答案】
【解析】设，其中，可得出，
，
，解得，
因此，.
故答案为：.
8、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知随机变量的分布列如下：

1
2
3




则___，方差___．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
，，，
，
，
综上，，.
故答案为：；.
9、（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.
（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
【解析】（1）设3条生产线中出现故障的条数为,则,
因此
（2）①当时,设该企业每月的实际获利为万元,
若,则；
若,则；
若,则；
若,则；
又,,
,
此时,实际获利的均值
②当时,设该企业每月的实际获利为万元,
若,则；
若,则；
若,则；
若,则；

因为,
于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用
10、（2020届山东省九校高三上学期联考）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：
教师评分（满分12分）
11
10
9
各分数所占比例



某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题得分的分布列及数学期望；
（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“类解答”，记该同学6个题中得分为的题目个数为，，，计算事件“”的概率.
【解析】
（1）随机变量的可能取值为9、9.5、10、10.5、11，
设一评、二评、仲裁所打分数分别为，，，

，
，
，

，

.
所以分布列如下表：
可能取值
9
9.5
10
10.5
11
概率





数学期望（分）.
（2）∵，∴，
∵，
，
，
，

，
∴.
11、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.
（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；
（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；
（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.
【解析】
（1）解：由题意，则盈利的天坑院数的均值.
（2）若投资项目二，则的分布列为

2
-1.2



盈利的均值.
（3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元），
所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为
（百万元）.


①当时，，
解得.
.故选择项目一.
②当时，，
解得.
此时选择项一.
③当时，，解得.
此时选择项二.
12、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；
（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.
【解析】（1），，
，，
综上，
棋子位置
掷骰子次数



2



3



（2）随机变量的可能数值为1，.
综合（1）得，
，
故随机变量的分布列为






.
（3）易知，因此，
而当时，，
又，
即.
因此，
故
即数列是以为首项，公比为的等比数列.
所以，
又
故.