2022年上海市浦东新区建平中学高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市浦东新区建平中学高考数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年上海市浦东新区建平中学高考数学二模试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝　 　．
2．（4分）在的二项展开式中，所有项的系数的和为　 　．
3．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根为1﹣2i，则实数m＝　 　．
4．（4分）行列式的元素π的代数余子式的值等于　 　．
5．（4分）已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为　 　
6．（4分）满足线性的约束条件的目标函数z＝2x﹣y的最大值为　 　．
7．（5分）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为　 　．
8．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 　 　．
9．（5分）若关于x的不等式在x＞0时恒成立，则实数λ的取值范围是　 　
10．（5分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为　 　．
11．（5分）已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0，x∈R），若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，ω的取值范围是　 　．
12．（5分）已知平面上的两个向量、满足•＝0，，若，且（λ﹣）2||2+（μ﹣）2||＝1，则的最大值为 　 　．
二、选择题（本大题共4题，满分12分）
13．（3分）下列各组不等式中，解集完全相同的是（　　）
A．与x2＜x+6
B．＜0与（x﹣2）（x+1）＜0
C．＞0与x+2＞0
D．与x﹣3＞2x+1
14．（3分）记min{a，b}实数a，b中较小的数，函数f（x），g（x）的定义域都是R，则“f（x），g（x）都是偶函数”是“函数P（x）＝min{f（x），g（x）}为偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
15．（3分）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）
A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），变换T将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系x'O'y'上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿折线段A﹣B﹣C运动时，在变换T作用下，动点P'的轨迹是（　　）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．

18．已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为椭圆C上的动点，点Q为圆N：x2+（y+1）2＝4上的动点，求线段PQ长的最大值．
19．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．

20．若数列{an}、{bn}满足|an+1﹣an|＝bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”．
（1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，求的值；
（3）设，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1＝1，a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1，若|an|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值．
21．设实数a、b∈R，f（x，a，b）＝a•2x+blog2x+x．
（1）解不等式：f（x，1，1）＞3；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1，2，0）＝9，f（x2，0，1）＝10，求x1+x2的值；
（3）设常数a＞0，若u＞0，u＞0，f（u，a，0）﹣f（v，0，1）＝t．求证：（v﹣a•2u）（t+log2a）≤0．

2022年上海市浦东新区建平中学高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝　[2，4]　．
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝﹣（x﹣2）2+4}＝{y|y≤4}，
∴A∩B＝[2，4]．
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查了描述法的定义，配方求二次函数的值域的方法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）在的二项展开式中，所有项的系数的和为　1　．
【分析】令x＝1，可得的二项展开式中，所有项的系数的和的值．
【解答】解：令x＝1，可得的二项展开式中，所有项的系数的和为 1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
3．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根为1﹣2i，则实数m＝　5　．
【分析】一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根为1﹣2i，可得1+2i也为一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根为1﹣2i，
则1+2i也为一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个虚根，
∴实数m＝（1﹣2i）（1+2i）＝12+22＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（4分）行列式的元素π的代数余子式的值等于　7　．
【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．
【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：
（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（4分）已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为　12π　
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由已知列式求得r与l的值，进一步求得h，再由体积公式求体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意得，解得．
∴h＝．
∴该圆锥的体积为V＝＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查圆锥的侧面积与体积公式，是基础的计算题．
6．（4分）满足线性的约束条件的目标函数z＝2x﹣y的最大值为　1　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，1），
由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为1．
故答案为：1．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
7．（5分）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为　　．
【分析】验证码共有10000种，求首位为2的递增型验证码只要确定后三位用组合有C种，相比即可．
【解答】解：∵a1＝2，2＜a2＜a3＜a4，∴a2、a3、a4从3～9中选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排有C种，
又验证码共有10×10×10×10＝10000种，
∴．
故答案是．
【点评】本题利用组合公式算概率，属于基础题．
8．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 　　．
【分析】方法一：由正弦定理化简已知可得2a﹣b2＝c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
方法二：由题意利用正弦定理，余弦定理可得A＝，作△ABC的外接圆，固定B，C，则A在优弧BC上运动（不包含端点），以BC为底边考虑△ABC的面积，当A平分优弧BC时BC边上的高最大，此时三角形为正三角形，解三角形即可得解其面积．
【解答】解：方法一：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：，
而b2+c2﹣a2＝bc
⇒b2+c2﹣bc＝a2
⇒b2+c2﹣bc＝4
⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以：，即△ABC面积的最大值为．
方法二：由已知条件结合正弦定理可得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，
整理得b2+c2﹣a2＝bc，从而由余弦定理可得A＝，
由于三角形ABC的边BC所对的角A为定角，因此△ABC的外接圆的半径是定值，
作△ABC的外接圆，固定B，C，则A在优弧BC上运动（不包含端点），
以BC为底边考虑△ABC的面积，当A平分优弧BC时BC边上的高最大，

因此三角形面积取得最大值，此时三角形为正三角形，面积为•22＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9．（5分）若关于x的不等式在x＞0时恒成立，则实数λ的取值范围是　[﹣3，+∞）　
【分析】由对数函数的单调性可得4x+1+λ•2x＞1，即λ＞2﹣x﹣2x+2在x＞0时恒成立，设t＝2x（t＞1），f（t）＝﹣4t，判定f（t）的单调性，可得值域，即可得到所求范围．
【解答】解：关于x的不等式在x＞0时恒成立，
可得4x+1+λ•2x＞1，即λ＞2﹣x﹣2x+2在x＞0时恒成立，
设t＝2x（t＞1），f（t）＝﹣4t，可得f（t）在（1，+∞）递减，
可得f（t）＜f（1）＝﹣3，
则λ≥﹣3，即λ的范围是[﹣3，+∞）．
故答案为：[﹣3，+∞）．
【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的运用，考查参数分离和换元法，运用函数的单调性是解题的关键，属于中档题．
10．（5分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为　y＝　．
【分析】根据条件求出Γ1与Γ2的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．
【解答】解：根据抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，
可得抛物线Γ1与Γ2的方程分别为|x|＝与，
∵两抛物线交于A、B两点，∴只需联立两方程即可求出直线AB的方程，
∴直线AB的方程为|x|＝，即y＝或y＝﹣，
经检验当y＝﹣时，不符合条件，
∴直线AB的方程为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．
11．（5分）已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0，x∈R），若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，ω的取值范围是　（0，]∪[，]　．
【分析】函数f（x）＝sin（ωx﹣），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出
【解答】解：f（x）＝sin2+sinωx﹣＝（1﹣cosωx）+sinωx﹣＝sin（ωx﹣），
由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，
解得x＝∉（π，2π），
∴ω∉（.）∪（，）∪（，）∪…＝（.）∪（，+∞），
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈（0，]∪[，]
故答案为：（0，]∪[，]
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知平面上的两个向量、满足•＝0，，若，且（λ﹣）2||2+（μ﹣）2||＝1，则的最大值为 　　．
【分析】由题意得出，记，得出M为线段AB上靠近B的三等分点，且C在以M为圆心，1为半径的圆上，由数量积公式得出的最大值．
【解答】解：因为，且，
所以，记，
则M为线段AB上靠近B的三等分点，且C在以M为圆心，1为半径的圆上，
因为，
所以（当O，A重合时取等号）．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，满分12分）
13．（3分）下列各组不等式中，解集完全相同的是（　　）
A．与x2＜x+6
B．＜0与（x﹣2）（x+1）＜0
C．＞0与x+2＞0
D．与x﹣3＞2x+1
【分析】把各个不等式等价变形，可得结论．
【解答】解：∵＜，等价于＜0，∴x＜﹣2，或﹣1＜x＜3．
而由x2＜x+6，求得﹣2＜x＜3，故A错误．
∵＞0，等价于，即﹣2＜x＜1 或x＞1；
而（x﹣2）（x+1）＜0，等价于﹣1＜x＜2，故B错误．
∵＞0，等价于x＞﹣2 且x≠1，故C错误；
∵x2﹣x+1＝+＞0恒成立，故＞，等价于x﹣3＞2x+1，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，等价变形，属于中档题．
14．（3分）记min{a，b}实数a，b中较小的数，函数f（x），g（x）的定义域都是R，则“f（x），g（x）都是偶函数”是“函数P（x）＝min{f（x），g（x）}为偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】根据min{a，b}的定义，结合函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行分析求解，即可得到答案．
【解答】解：因为f（x），g（x）都是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x）恒成立，
根据偶函数的对称性可知，函数P（x）＝min{f（x），g（x）}也关于y轴对称，即P（x）为偶函数成立，故充分性成立；
若函数P（x）＝min{f（x），g（x）}为偶函数，则f（x）与g（x）不一定都是偶函数，
例如：f（x）＝|x|为偶函数，g（x）＝﹣2x，x＜0，偶函数，满足P（x）＝min{f（x），g（x）}为偶函数，但是g（x）＝﹣2x，x＜0，不是偶函数，故必要性不成立，
所以“f（x），g（x）都是偶函数”是“函数P（x）＝min{f（x），g（x）}为偶函数”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了新定义问题的理解和应用以及函数奇偶性的应用，属于中档题．
15．（3分）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）
A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，e＝，进而求出b＝，由此能求出双曲线C：＝1的渐近线方程．
【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，
又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，
∴|PF2|2＝|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，
∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，
同时除以a2，化简e2﹣2e+3＝0，
解得e＝，∴c＝，
∴b＝＝，
∴双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝＝±，
即＝0．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），变换T将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系x'O'y'上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿折线段A﹣B﹣C运动时，在变换T作用下，动点P'的轨迹是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分消去参数y和参数x确定轨迹方程即可．
【解答】解：点P沿着线段AB运动时，X＝1，Y∈[0，1]，此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），
消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是，
点P沿着线段BC运动时，X∈[0，1]，Y＝1．此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），
消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是，
故动点P'的轨迹如选项A所示．
故选：A．
【点评】本题主要考查轨迹方程的确定，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．

【分析】（1）证明BD⊥AC，A1O⊥BD，然后证明A1C⊥平面ACC1A1，得到A1C⊥BD．
（2）取B1D1中点O1，联结OO1，说明∠COO1即为所求角，然后求解即可．
【解答】（1）证明：由题意易得：BD⊥AC，又A1O⊥平面ABCD，
BD⊆平面ABCD，∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，
∴BD⊥平面ACC1A1，又A1C⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD．
（2）解：取B1D1中点O1，联结OO1，则由四棱柱的性质可知，四边形A1O1OA为平行四边形，
又∵A1A＝A1C＝，AC＝2，∴A1A⊥A1C，∴A1A⊥O1O，又A1C⊥BD．所以A1C⊥平面DBB1D1．
∴∠COO1即为所求角，直线AC与平面BB1D1D所成的角，
∵A1A＝A1C＝，所以直线AC与平面BB1D1D所成的角的大小为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为椭圆C上的动点，点Q为圆N：x2+（y+1）2＝4上的动点，求线段PQ长的最大值．
【分析】（1）将x＝﹣c代入椭圆方程，结合得出椭圆C的方程；
（2）设P（x，y），N（0，﹣1），由|PQ|≤|PN|+|NQ|＝|PN|+2结合距离公式以及二次函数的性质得出线段PQ长的最大值．
【解答】解：（1）由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c代入椭圆方程，得，
由题意知，，即a＝2b2，又，所以a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为．
（2）由题意可知|PQ|≤|PN|+|NQ|＝|PN|+2，设P（x，y），N（0，﹣1），
则，
所以当时，，即．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
19．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．

【分析】（1）由tan∠BAN＝，∠BCN＝，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；
（2）方案①：总铺设费用为5×4＝20（万元）．
方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，则总铺设费用为2AP+4BP＝8﹣+＝8+6•．设f（θ）＝，则f′（θ）＝＝，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝，
所以AD＝BD，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，
所以CD＝BD．
则AC＝AD﹣CD＝BD﹣BD＝BD＝1，即BD＝3，
所以CD＝3，AD＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5（km）．
所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）
（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20（万元）．…（6分）
方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，
在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，
所以AP＝4﹣DP＝4﹣．
则总铺设费用为2AP+4BP＝8﹣+＝8+6•．…（8分）
设f（θ）＝，则f′（θ）＝＝，
令f'（θ）＝0，得θ＝，列表如下：
θ
（θ0，）

（，）
f'（θ）
﹣
0
+
f（θ）
↘
极小值
↗
所以f（θ）的最小值为f（）＝．
所以方案②的总铺设费用最小为8+6 （万元），此时AP＝4﹣． …（12分）
而8+6 ＜20，
所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向（4﹣）km处，总铺设费用最低．…（14分）

【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．
20．若数列{an}、{bn}满足|an+1﹣an|＝bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”．
（1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，求的值；
（3）设，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1＝1，a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1，若|an|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值．
【分析】（1）{an}不一定为等差数列，如；
（2）设数列{an}的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；
（3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．
【解答】解：（1）{an}不一定为等差数列，如，则bn＝2为常数列，但{an}不是等差数列，
（2）设数列{an}的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，
因为a3﹣a2＝6，所以a1q（q﹣1）＝6＝1×2×3，
解得或，
故或（n∈N*），
①当时，，，
＝＝；
②当时，，，
＝＝；
综上，的值为或；
（3）由a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1得，＝
故有：，，
……，
累加得：
＝
＝，
又a1＝1，所以，
当n为奇数时，{an}单调递增，an＞0，，
当n为偶数时，{an}单调递减，an＜0，，
从而0＜|an|＜，所以M≥，即M的最小值为．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题．
21．设实数a、b∈R，f（x，a，b）＝a•2x+blog2x+x．
（1）解不等式：f（x，1，1）＞3；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1，2，0）＝9，f（x2，0，1）＝10，求x1+x2的值；
（3）设常数a＞0，若u＞0，u＞0，f（u，a，0）﹣f（v，0，1）＝t．求证：（v﹣a•2u）（t+log2a）≤0．
【分析】（1）由f（1，1，1）＝3及f（x，1，1）的单调性求不等式的解集；
（2）问题转化为求y＝9﹣x与y＝2x+1、y＝log2x﹣的交点横坐标，根据y＝2x+1与y＝log2x﹣1关于y＝x对称，即可求x1+x2的值；
（3）由题设可得，根据y＝a⋅2x与关于y＝x对称及其单调性，由反函数性质讨论v＞a⋅2u、v＝a⋅2u、v＜a⋅2u对应t+log2a的符号，即可证结论．
【解答】解：（1）由题设f（x，1，1）＝2x+log2x+x＞3，
又f（x，1，1）在定义域上递增且f（1，1，1）＝3，
所以f（x，1，1）＞f（1，1，1），则x＞1，
故解集为（1，+∞）；
（2）由题设，f（x，2，0）＝2x+1+x，f（x，0，1）＝log2x+x，
由f（x1，2，0）＝9，f（x2，0，1）＝10，则，
所以x1，x2分别是y＝9﹣x与y＝2x+1、y＝log2x﹣1的交点横坐标，
而y＝2x+1与y＝log2x﹣1关于y＝x对称，即互为反函数，
所以x1＝9﹣x2，即x1+x2＝9；
证明：（3）由f（u，a，0）＝a⋅2u+u，f（v，0，1）＝log2v+v，
由题设有，
又a＞0，y＝a⋅2x与关于y＝x对称，且在定义域上均递增，

当v＞a⋅2u时，，则t+log2a＜0，此时（v﹣a⋅2u）（t+log2a）＜0，
当v＝a⋅2u时，，则t+log2a＝0，此时（v﹣a⋅2u）（t+log2a）＝0，
当v＜a⋅2u时，，则t+log2a＞0，此时（v﹣a⋅2u）（t+log2a）＜0，
综上，（v﹣a⋅2it）（t+log2a）≤0．
【点评】第二、三问，结合反函数的对称性和指对数函数的单调性，求参数值或讨论参数的大小关系证明不等式．
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