2022年上海市宝山区高考数学二模试卷
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一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.(4分)设集合A={x|﹣<x<2},B={x|x2≤1},则A∪B= .
2.(4分)如果函数是奇函数,则f(﹣3)= .
3.(4分)若线性方程组的增广矩阵为,解为,则c1﹣c2= .
4.(4分)方程cos2x+sinx=1在(0,π)上的解集是 .
5.(4分)若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为 .
6.(4分)若一组数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差σ2= .
7.(5分)已知点P(x,y)在不等式组 表示的平面区域上运动,则z=x﹣y的取值范围是 .
8.(5分)已知P是双曲线上的点,过点P作双曲线两渐近线的平行线l1,l2,直线l1,l2分别交x轴于M,N两点,则|OM|•|ON|= .
9.(5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=,b=+1,C=45°,则A= .
10.(5分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,则p= .
11.(5分)已知直线与直线互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d,且a7a8=35,a4+a10<0,令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则Sm的值为 .
12.(5分)已知D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),且满足=α+β,则+的最小值为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.(5分)若a,b,c,d都是实数,且c>d,则“a>b”是“a﹣c>b﹣d”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
14.(5分)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行
B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C.平面α不垂直平面β,但平面α内存在直线垂直于平面β
D.若直线l不垂直于平面α,则在平面α内不存在与l垂直的直线
15.(5分)关于函数和实数m,n的下列结论中正确的是( )
A.若﹣3<m<n,则f(m)<f(n) B.若m<n<0,则f(m)<f(n)
C.若f(m)<f(n),则m2<n2 D.若f(m)<f(n),则m3<n3
16.(5分)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①对一切x∈(﹣∞,1)都有f(x)>0;
②存在x∈R+,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(14分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,点E是棱AB上的点,AE=2EB.
(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小;
(2)求点C到平面D1DE的距离.
18.(14分)某地区的一种特色水果上市时间11个月中,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数:①f(x)=p•qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=Asin(x﹣)+B(以上三式中p,q,A,B均为常数.)
(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么?
(2)若f(3)=8,f(7)=4,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,10],其中x=0表示1月份,x=1表示2月份,⋯⋯,以此类推),为保证果农的收益,打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道,请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略?
19.(14分)已知函数f(x)=.
(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.
20.(16分)已知是椭圆C的两个焦点坐标,是椭圆C上的一个定点,A,B是椭圆C上的两点,点M的坐标为(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;
(3)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.
21.(18分)已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足,其中A、B、C是常数.
(1)若A=0,B=3,C=﹣2,求数列{an}的通项公式;
(2)若A=1,,,且an>0,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)试探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为﹣1的等比数列.
2022年上海市宝山区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.(4分)设集合A={x|﹣<x<2},B={x|x2≤1},则A∪B= {x|﹣1≤x<2} .
【分析】集合B为简单的二次不等式的解集,解出后,利用数轴与A求并集即可.
【解答】解:B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1},
A∪B={x|﹣1≤x<2},
故答案为:{x|﹣1≤x<2}.
【点评】本题考查集合的基本运算,属基本题,注意等号.
2.(4分)如果函数是奇函数,则f(﹣3)= ﹣3 .
【分析】根据题意,求出x=3时的函数值,结合函数的奇偶性分析可得答案.
【解答】解:根据题意,函数,当x=3时,y=2×3﹣2=3,
而函数为奇函数,则f(﹣3)=﹣3;
故答案为:﹣3
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题.
3.(4分)若线性方程组的增广矩阵为,解为,则c1﹣c2= 16 .
【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可.
【解答】解:由题意知,是方程组的解,
即,
则c1﹣c2=21﹣5=16,
故答案为:16.
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.
4.(4分)方程cos2x+sinx=1在(0,π)上的解集是 {,} .
【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1;即sinx(1﹣2sinx)=0;从而求解.
【解答】解:cos2x+sinx=1可化为
1﹣2sin2x+sinx=1;
即sinx(1﹣2sinx)=0;
∵x∈(0,π),
∴sinx=;
∴x=或;
故答案为:{,}.
【点评】本题考查了三角函数的化简与求值,属于基础题.
5.(4分)若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为 .
【分析】过S作SO⊥平面ABC,根据正三棱锥的性质求的高SO,代入体积公式计算.
【解答】解:正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1如图:
过S作SO⊥平面ABC,∴OC为底面正三角形的高,且OC=××=,
∴棱锥的高SO==,
∴三棱锥的体积V=×××××=.
故答案是.
【点评】本题考查了正三棱锥的性质及体积计算,解题的关键是利用正三棱锥的性质求高.
6.(4分)若一组数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差σ2= .
【分析】根据已知条件,结合平均数和方差的公式,即可求解.
【解答】解:∵数据2,3,7,8,a的平均数为5,
∴2+3+7+8+a=25,解得a=5,
∴σ2=+(8﹣5)2+(5﹣5)2]=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查平均数和方差的公式,属于基础题.
7.(5分)已知点P(x,y)在不等式组 表示的平面区域上运动,则z=x﹣y的取值范围是 [﹣1,2] .
【分析】根据步骤:①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=y﹣x,平移可得直线过A或B时z有最值即可解决.
【解答】解:画可行域如图,画直线0=y﹣x,
平移直线0=y﹣x过点A(0,1)时z有最大值1;
平移直线0=y﹣x过点B(2,0)时z有最小值﹣2;
则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2,1],
则z=x﹣y的取值范围是[﹣1,2],
故答案为:[﹣1,2].
【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
8.(5分)已知P是双曲线上的点,过点P作双曲线两渐近线的平行线l1,l2,直线l1,l2分别交x轴于M,N两点,则|OM|•|ON|= 4 .
【分析】求出渐近线的斜率,设出P的坐标,推出MN的坐标,然后转化求解即可.
【解答】解:双曲线两渐近线的斜率为±,设点P(x0,y0),
则l1,l2的方程分别为y﹣y0=(x﹣x0),y﹣y0=﹣(x﹣x0),
所以M,N坐标为M(x0﹣y0,0),N(x0+y0,0),
∴|OM|•|ON|=|x0﹣y0||x0+y0|=x02﹣y02,又点P在双曲线上,则﹣=1,
所以|OM|•|ON|=4.
故答案为:4.
【点评】考查双曲线的渐近线的性质.考查分析问题解决问题的能力.
9.(5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=,b=+1,C=45°,则A= 60° .
【分析】由三角形的余弦定理可得c,再由正弦定理可得sinA,由三角形的边角关系可得A.
【解答】解:由a=,b=+1,C=45°,可得c2=a2+b2﹣2abcosC=6+4+2﹣2×(1+)×=4,
即有c=2,
由=可得sinA===,
由于a<b,所以A为锐角,则A=60°,
故答案为:60°.
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
10.(5分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,则p= .
【分析】由对立事件及独立事件性质知×p=1﹣,即可解得.
【解答】解:由题意得,
×p=1﹣,
解得p=,
故答案为:.
【点评】本题考查了对立事件及独立事件性质的应用,属于基础题.
11.(5分)已知直线与直线互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d,且a7a8=35,a4+a10<0,令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则Sm的值为 52 .
【分析】利用直线平行的性质可得d=﹣2,利用两平行直线间的距离公式可得m=10,由等差数列的性质可得{an}的通项公式,从而即可求解Sm的值.
【解答】解:由两直线平行可知d=﹣2,由两平行直线间的距离公式得m==10,
因为a7a8=35,所以a7(a7﹣2)=35,解得a7=﹣5或a7=7,
因为a4+a10=2a7<0,所以a7<0,所以a7=﹣5,
所以an=﹣2n+9,
所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣5|+|﹣7|+|﹣9|+|﹣11|=52.
故答案为:52.
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和,等差数列的通项公式,平行直线的性质以及两平行直线间的距离公式,考查运算求解能力,属于中档题.
12.(5分)已知D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),且满足=α+β,则+的最小值为 6+4 .
【分析】通过向量的基本定理,推出2α+2β=1,利用基本不等式求解表达式的最小值.
【解答】解:由于M是DE上的一动点(不包含D,E两点),
且满足+β=2α+2β,
所以α,β>0且2α+2β=1,
所以+=(+)(2α+2β)=6++≥6+2=6+4,
(当且仅当α=,β=时取=).
故答案为:6+4.
【点评】考查平面向量的线性运算,基本不等式的应用,考查计算能力.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.(5分)若a,b,c,d都是实数,且c>d,则“a>b”是“a﹣c>b﹣d”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【分析】由c>d,a﹣c>b﹣d,相加可得a>b,反之不成立.即可判断出结论.
【解答】解:由c>d,a﹣c>b﹣d,相加可得:a>b,
反之不成立,比如:a=2,b=﹣1,c=1,d=2,
∴c>d,则“a>b”是“a﹣c>b﹣d”的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
14.(5分)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行
B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C.平面α不垂直平面β,但平面α内存在直线垂直于平面β
D.若直线l不垂直于平面α,则在平面α内不存在与l垂直的直线
【分析】举特例说明判断A;由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B;推理说明判断C;举例说明判断D作答.
【解答】解:正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD,而直线A1B1与B1C1相交,A不正确;
如图,直线l是平面α的斜线,l∩α=O,点P是直线l上除斜足外的任意一点,
过点P作PA⊥α于点A,则直线OA是斜线l平面α内射影,直线l与直线OA确定平面β,
而PA⊂平面β,则平面β⊥平面α,即过斜线l一个平面垂直于平面α,
因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的,则直线l直线OA确定的平面β唯一,
所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直,B正确;
如果平面α内存在直线垂直于平面β,由面面垂直的判断知,平面α垂直于平面β,
因此,平面α不垂直平面β,则平面α内不存在直线垂直于平面β,C不正确;
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,平面ABCD为平面α,直线BC1为直线l,
显然直线l垂直于平面α,而平面α内直线AB,CD都垂直于直线l,D不正确.
故选:B.
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查学生的运算能力,属于中档题.
15.(5分)关于函数和实数m,n的下列结论中正确的是( )
A.若﹣3<m<n,则f(m)<f(n) B.若m<n<0,则f(m)<f(n)
C.若f(m)<f(n),则m2<n2 D.若f(m)<f(n),则m3<n3
【分析】考查函数y=f(x)的奇偶性,可知该函数是个偶函数,并考查函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,然后利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)结合该函数在[0,+∞)上的单调性对各选项进行验证.
【解答】解:∵=(2x﹣2﹣x)•,
∴f(﹣x)=(2﹣x﹣2x)•=(2x﹣2﹣x)•=f(x),
所以,函数y=f(x)为偶函数,
任取x1>x2≥0,
由于函数y1=2x﹣2﹣x和函数y2=都是增函数,
则﹣>﹣≥0,>≥0,
∴f(x1)>f(x2)≥0,
所以,函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,由于该函数为偶函数,则f(x)=f(|x|),
对于A选项,取m=﹣2,n=1,
∵|m|>|n|,则f(|m|)>f(|n|),则f(m)>f(n),A选项错误;
对于B选项,∵m<n≤0,则|m|>|n|≥0,
∴f(|m|)>f(|n|),即f(m)>f(n),B选项错误;
对于C选项,∵f(m)<f(n),则f(|m|)<f(|n|),
∴|m|<|n|,
所以m2<n2,C选项正确;
对于D选项,取m=1,n=﹣2,
则|m|<|n|,f(|m|)<f(|n|),
即f(m)<f(n),此时,m3>n3,D选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想,由f(x)为偶函数得到f(x)=f(|x|),是解答本题的关键,属于中档题.
16.(5分)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①对一切x∈(﹣∞,1)都有f(x)>0;
②存在x∈R+,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【分析】①利用指数函数的性质以a.b.c构成三角形的条件进行证明.②可以举反例进行判断.③利用函数零点的存在性定理进行判断.
【解答】解:①∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,
∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1,
当x∈(﹣∞,1)时,f(x)=ax+bx﹣cx=cx[+﹣1]
>cx•()=cx•>0,∴①正确.
②令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,
但a2=4,b2=9,c2=16却不能构成三角形,∴②正确.
③∵c>a>0,c>b>0,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2﹣c2<0,
∵f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a2+b2﹣c2<0,
∴根据根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,
即∃x∈(1,2),使f(x)=0,∴③正确.
故选:D.
【点评】本题考查的知识点较多,考查函数零点的存在性定理,考查指数函数的性质,以及余弦定理的应用,属中档题.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(14分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,点E是棱AB上的点,AE=2EB.
(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小;
(2)求点C到平面D1DE的距离.
【分析】(1)首先平移直线找到异面直线所成的角,然后计算其大小即可;
(2)利用等体积法转化顶点即可求得点面距离.
【解答】解:(1)在线段CD上取靠近点D的三等分点F,连结AF,D1F,由平面几何的知识易知AF∥CE,
故∠D1AF或其补角即为异面直线AD1与EC所成角,
由于,故△D1AF为等边三角形,∠D1AF=60°,
即异面直线AD1与EC所成角为60°.
(2)如图所示,利用等体积法,,
设点C到平面D1DE的距离为h,则,
即,
解得,即点C到平面D1DE的距离为.
【点评】本题主要考查异面直线所成的角的求解,点面距离的计算,等体积法的应用,空间想象能力的培养等知识,属于基础题.
18.(14分)某地区的一种特色水果上市时间11个月中,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数:①f(x)=p•qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=Asin(x﹣)+B(以上三式中p,q,A,B均为常数.)
(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么?
(2)若f(3)=8,f(7)=4,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,10],其中x=0表示1月份,x=1表示2月份,⋯⋯,以此类推),为保证果农的收益,打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道,请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略?
【分析】(1)根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③f(x)=Asin(x﹣)+B;
(2)根据f(3)=8,f(7)=4,求出A,B的值,再根据f(x)<5解出x的值即可.
【解答】解:(1)应选f(x)=Asin(x﹣)+B,
∵①f(x)=p•qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点,
②f(x)=px2+qx+1同样不具有先升后降再升的特点,
③f(x)=Asin(x﹣)+B有多个单调递增区间和减区间;
(2)由f(3)=Asin(﹣)+B=Asin+B=A+B=8,
f(7)=Asin(﹣)+B=Asin+B=﹣A+B=4,
所以解得:A=2,B=6;
所以f(x)=2sin(x﹣)+6(x∈[0,10]),
所以x﹣∈[﹣,],
当f(x)<5时,需采用外销策略,则此时2sin(x﹣)+6<5,
即sin(x﹣)<﹣,
又x﹣∈[﹣,],
由y=sinx函数得在[﹣,]内,sinx<﹣,
得﹣<x<﹣或+π<x<+π,
即﹣<x﹣<﹣或+π<x﹣<+π,
即0<x<或<<⇒<x<,
又x=0表示1月份,
故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略.
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型,也考查了学生分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
19.(14分)已知函数f(x)=.
(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.
【分析】(1)由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤,解此指数不等式即可求得x的取值范围;
(2)由f(0)=0,可求得a,f(1)+f(﹣1)=0可求得b,从而可得y=f(x)的解析式;利用单调性的定义,对任意x1,x2∈R,x1<x2,再作差f(x1)﹣f(x2),最后判断符号即可.
【解答】解:(1)由题意,≥3x,化简得3•(3x)2+2×3x﹣1≤0…(2分)
解得﹣1≤3x≤…(4分)
所以x≤﹣1…((6分),如果是其它答案得5分)
(2)已知定义域为R,所以f(0)==0⇒a=1,…(7分)
又f(1)+f(﹣1)=0⇒b=3,…(8分)
所以f(x)=;…(9分)
f(x)==()=(﹣1+)
对任意x1,x2∈R,x1<x2,
可知f(x1)﹣f(x2)=(﹣)=﹣()…(12分)
因为x1<x2,所以﹣>0,所以f(x1)>f(x2),
因此f(x)在R上递减.…(14分)
【点评】本题考查指数不等式的解法,考查函数奇偶性的应用,考查函数单调性的判断与证明,属于综合题,难度大,运算量大,属于难题.
20.(16分)已知是椭圆C的两个焦点坐标,是椭圆C上的一个定点,A,B是椭圆C上的两点,点M的坐标为(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;
(3)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.
【分析】(1)依题意设椭圆的标准方程为+=1,根据条件列出方程组,待定系数法求解即可;
(2)根据对称性设A(x0,y0),B(x0,﹣y0),由等边三角形可得,结合A点在椭圆上可得,求解x0可得AB的长;
(3)采用反证法,即如果△ABM为等边三角形,则有MN⊥AB,从而推出矛盾,可判断△MAB不可能为等边三角形.
【解答】解:(1)依题意设椭圆的标准方程为+=1,
因为是椭圆C的两个焦点坐标,是椭圆C上的一个定点,
所以,解得,
所以椭圆C的方程为:;
(2)设A(x0,y0),B(x0,﹣y0),
因为△ABM为等边三角形,所以,
又点A(x0,y0)在椭圆上,
所以,消去y0得,,
解得x0=2或,
当x0=2时,;
当时,.
(3)证明:根据题意可知,直线AB斜率存在,
设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为N(x0,y0),
联立消去y得(2+3k2)x2+6knx+3m2﹣9=0,
由Δ>0得到2m2﹣9k2﹣6<0,①
所以,
,
所以,
又M(1,0),
如果△ABM为等边三角形,则有MN⊥AB,
所以kMN×k=﹣1,即,
化简3k2+2+km=0,②
由②得,代入①得,
化简得3k2+4<0,不成立,
故△ABM不能为等边三角形.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的性质以及直线与椭圆的综合,属于难题.
21.(18分)已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足,其中A、B、C是常数.
(1)若A=0,B=3,C=﹣2,求数列{an}的通项公式;
(2)若A=1,,,且an>0,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)试探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为﹣1的等比数列.
【分析】(1)利用公式,结合等比数列的性质能求出数列{an}的通项公式.
(2)利用公式,结合题设条件进行因式分解,得到{an}是等差数列,由此能求出数列{an}的前n项和Sn.
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,分别讨论当q=1,q≠±1,q≠0时的情况,由此入手能够求出结果.
【解答】解:(1)∵,A=0,B=3,C=﹣2,
∴Sn=3an﹣2,
∴当n=1时,a1=3a1﹣2,解得a1=1;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3an﹣3an﹣1,
整理,得2an=3an﹣1,
∴,
∴.
(2)∵,A=1,B=,C=,
∴,
∴当n=1时,,解得,
当n≥2时,
整理,得,
∵an>0,∴,
∴{an}是首项为,公差为的等差数列,
∴.
(3)若数列{an}是公比为q的等比数列,
①当q=1时,an=a1,Sn=na1
由,得恒成立
∴a1=0,与数列{an}是等比数列矛盾;
②当q≠±1,q≠0时,,,
由恒成立,
得对于一切正整数n都成立
∴A=0,或或0,C≠0,
事实上,当A=0,B≠1或或0,C≠0时,
Sn=Ban+C,
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=Ban﹣Ban﹣1,
得或﹣1
∴数列{an}是以为首项,以为公比的等比数列.
【点评】本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法,探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为﹣1的等比数列,对数学思维能力要求较高,解题时要注意分类讨论思想的合理运用.
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