精品解析：黑龙江省哈尔滨市顺迈高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

顺迈高中2022—2023学年度下学期期中考试

数学试卷

考试时间：120分钟        满分：150分

命题人：谢文博        审题人：徐玉顺

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 的虚部是（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用虚部的定义判断即可.

【详解】的虚部为，

故选：D

2. 不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．

【详解】解：不等式，可化为，解得，

即不等式的解集为．

故选：C．

3. 复数在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

【详解】，故对应的点为

故选:D．

4. 已知，是第一象限角，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由诱导公式得，结合已知求，即可求的值.

【详解】，而，是第一象限角，可得，

∴.

故选：D.

5. 若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积

【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为，

故选：C

6. 若i虚数单位，复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数的除法求出的代数形式，再代入求模即可.

【详解】由已知，

.

故选：B.

7. 已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积.

【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径，

故外接球半径，

故外接球的体积为.

故选：B

8. 国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C，D两点，在C，D处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且C､D的距离为15米，则旗杆的高度为多少米？（    ）

A. 13 B.  C. 15 D.

【答案】C

【解析】

【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.

【详解】如图所示：

设旗杆的高度为，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

即，

解得或（舍去），

故选：C

二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.

【详解】对于A：，所以A正确

对于B：，所以B正确

对于C：，所以C不正确

对于D：，所以D正确，

故选：ABD.

10. 如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.

【详解】建系如图，不妨设正方体的边长为，设，则根据题意可得：

，，，，，，, ,

，，，,,,

由于,所以，故,

对于A, ,故A正确，

对于B，,故B正确，

对于C，,故C正确，

对于D，，,故D错误，

故选：ABC

11. 设函数，则下列结论正确的为（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的图象关于点对称

C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到

D. 在上的最大值为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正弦函数的周期可判断A；将代入验证可判断B；根据正弦函数图象的平移变换可判断C；由，确定，根据正弦函数的最值可判断D.

【详解】对于函数，它的最小正周期为，故A错误；

令，求得，可得的图象关于点对称，故B正确；

把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C错误；

当，，故当时，函数取得最大值为，故D正确．

故选：BD．

12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ）

A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为

C. 的最小值为 D. 当平面CEP时，

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.

【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，则点，

对于A，，，，而，

显然，即是平面的一个法向量，

而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；

对于B，，则，

因此当时，取得最小值，B正确；

对于C，，

于是，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，取的中点，连接，如图，

因为E为边AD中点，则，当平面CEP时，平面，

连接，连接，连接，显然平面平面，

因此，平面，平面，则平面，

即有，而，所以，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）

13. 复数的共轭复数为_______.

【答案】

【解析】

【分析】先化简复数，再利用共轭复数的概念求解.

【详解】解：因为复数，

所以其共轭复数为，

故答案为：

14. 已知向量，满足，，，则与的夹角为______．

【答案】

【解析】

【分析】先设与的夹角为，再根据由向量夹角公式即可求解．

【详解】设与的夹角为，

则，

又，所以与的夹角为．

故答案为：．

15. 已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意该四面体外接球就是正方体的外接球，求出半径即可求解

【详解】由题意可知四面体内置于一个正方体中，

且易得该正方体的边长为，

该四面体外接球就是正方体的外接球，

可知其外接球的半径为，

且，

从而其表面积为.

故答案为：

16. 如图，在四边形中，，且，若，则的最大值为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】设，利用余弦定理可求得，结合垂直关系可得，根据向量数量积定义可得，由正弦型函数最大值可求得结果.

【详解】设，则，

作，交的延长线于点，

由余弦定理得：，，

即，，

，，即，，

，

，

，，则当，即时，，

.

故答案为：.

四、解答题（本题共6小题，17题10分，18—22每题12分，共70分）

17. 已知，．

（1）当m为何值时，与共线？

（2）若，当k为何值时，与垂直？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量平行满足的坐标运算即可求解，

（2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.

【小问1详解】

，共线，则，

【小问2详解】

，

由于与垂直，所以

18. 在中，内角所对的边分别为，，，已知.

（1）若，，求的值；

（2）若，判断的形状.

【答案】（1）；   

（2）正三角形.

【解析】

【分析】（1）（2）根据给定条件，利用余弦定理计算、推理判断作答.

【小问1详解】

在中，，，，由余弦定理得：

，

所以.

【小问2详解】

在中，，而，则，

由及余弦定理得：，整理得，则，

所以为正三角形.

19. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，M为的中点．

（1）证明：∥平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）根据题意直接利用三棱锥的体积公式求解.

【小问1详解】

连接交于，连接，

因为四边形为平行四边形，所以，

因为M为中点，所以∥，

因为平面，平面，所以∥平面；

  【小问2详解】

因为底面是平行四边形，，，

所以，，

因为M为的中点，所以，

又在直四棱柱中，底面，

所以三棱锥的体积为

20. 如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：

（1）//；

（2）求异面直线PA与NC所成角余弦值．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）由线线平行，以及异面直线所成角的定义即可求解平面角，由余弦定理即可求解.

【小问1详解】

在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD＝AD，

∴BC∥AD，

【小问2详解】

由于点N是AD的中点，BC∥AD，，所以,故四边形为平行四边形，则 ,

故或其补角即异面直线PA与NC所成角，

在中，,

故异面直线PA与NC所成角的余弦值为

21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．

（1）求角B的大小；

（2）若，求的面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求即可；

（2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.

【小问1详解】

因为，

由余弦定理得，又，所以.

【小问2详解】

因为，

由（1）得，当且仅当时取等号，

所以，

面积

所以三角形面积的最大值为．

22. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建现赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花，

（1）探究“赏小径PM，PN的长度之和是否为定值?请说明理由

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小?

（3）求郁金香区域面积之和的最小值.

【答案】（1）400;   

（2）P点是MN的中点，；   

（3）.

【解析】

【分析】(1)在和中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和；

(2)在中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；

(3) 由（1）可知PM＝，，进而表达出与，并利用PB+PC=BC为定值，利用基本不等式求解即可.

【小问1详解】

解：在中，＝180°－60°－45°＝75°，

由正弦定理可得：，

 即＝＝，

同理可得，

所以＝为定值；

【小问2详解】

解：在中，由余弦定理可得：

，

即，

所以，，

又由（1）有＝，

故，当且仅当时等号成立.

 故当P点是MN的中点时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小，最小为；

【小问3详解】

解：由（1）可知PM＝，

故＝，

同理可得：，

所以＝＝＝＝＝.

 当且仅当PB=PC=200时取得最小值.