2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数（其中为虚数单位），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，即可得出答案.

【详解】根据复数的除法运算有，.

故选：D.

2．已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.

【详解】若，则，，,则；

若，则，解得，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．在中，，，，则为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理求得正确答案.

【详解】由正弦定理得，

由于，所以.

故选：D

4．在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，向量，的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.

【详解】由题知，，，向量，的夹角为150°，

所以.

故选：A．

5．已知是关于的方程（）的一个根，则（ ）

A．-1 B．1 C．-3 D．3

【答案】A

【分析】将方程，解出实数，的值即可.

【详解】由是关于的方程 （）的一个根，

，即，

得，解得，，

则.

故选：A.

6．在平行四边形中，，若交于点M，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案.

【详解】，为线段靠近点的四等分点

显然，即

故选：B

【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.

7．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（    ）

A．km B．km C．km D．km

【答案】A

【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，进一步根据余弦定理求出AD，从而得到答案.

【详解】连接AC，

设，

在△ACB中，AB=4，BC=5, ，所以AC=

所以,

所以cos=

所以

多以.

故选：A.

【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际问题的知识点，考查计算能力，属于比较常见的题型.

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（   ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】易知结合余弦定理可得，然后边化角后利用展开，然后化简可得.

【详解】由余弦定理以及可得：，

又在三角形中有，即，

所以

故.

故选：A．

二、多选题

9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则的虚部为

D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【分析】根据的幂指数运算的周期性可知A正确；由虚数无法比较大小知B错误；根据复数乘方运算和虚部定义可知C错误；设，化简已知等式可得所求轨迹为，知D正确.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，虚数无法比较大小，B错误；

对于C，，则的虚部为，C错误；

对于D，设，则，，

整理可得：，即在复平面内对应的点为，轨迹为直线，D正确.

故选：AD.

10．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（    ）

A．若存在非零向量使得，则

B．已知向量，则在方向上的投影向量是

C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是

D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数

【答案】BD

【分析】选项A可由向量的运算性质判断；选项B根据投影向量的定义判断；选项C将向量的夹角转化为数量积进行运算；选项D根据共线向量基本定理进行运算.

【详解】选项A，，则，所以或，所以A错误；

选项B，在方向上的投影向量的长度为，所以投影向量为，B正确；

选项C，，则，所以；当与共线时，，，则k的取值范围是，C错误；

选项D，不是基底，即共线，则存在，使得，，故，或，所以D正确；

故选：BD.

11．设函数，下列说法中，正确的是（    ）

A．的最小值为

B．在区间上单调递增

C．函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到

D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称

【答案】ABC

【分析】先化简得到，从而得到的最小值为，A正确；B选项，由得到，整体法得到在区间上的单调性；C选项，根据平移变换和伸缩变换得到变换后的解析式，C正确；D选项，求出平移后的解析式，判断其图象不关于y轴对称.

【详解】，

当，即时，的最小值为，A正确；

时，，由于在上单调递增，

故在区间上单调递增，B正确；

函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到，C正确；

将函数的图象向左平移个单位，所得函数为，

当时，，故不关于y轴对称，D错误.

故选：ABC

12．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则（    ）

A． B．周长的最大值为6

C．的取值范围为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】若，利用余弦定理化简可得，即可判断A；由余弦定理结合均值不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断C；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断D；

【详解】对于A，若，则可得，可得，解得，由于，故A错误．

对于B，由余弦定理得：，则，所以，周长为，所以周长的最大值为6，故B正确；

对于C，，

因为，则的取值范围为，

所以的取值范围为，，，故C错误；

对于D，由正弦定理得，则，则，

，，

.

∵，，，则当，

即时，取得最大值为，故D正确；

故选：BD.

三、填空题

13．复数为纯虚数，则实数________

【答案】4

【分析】若复数为纯虚数，则，再将题设中的条件代入运算即可.

【详解】解：因为复数为纯虚数，

所以，解得，即，

故答案为4.

【点睛】本题考查了纯虚数的概念，属基础题.

14．若向量的夹角为，则__________.

【答案】

【分析】代入求解.

【详解】

故答案为：

15．函数的图象的对称轴方程是______（）．

【答案】

【分析】根据正弦型函数的对称性直接求解即可.

【详解】令,

解得，

即函数的图象的对称轴方程是，

故答案为：

16．在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是___________.

【答案】/

【分析】建立平面直角坐标系后，用向量的坐标运算进行求解即可.

【详解】

连接，，，交于点，则正六边形被分为个全等的等边三角形，如图所示，以为原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，

∵正六边形的边长为，∴，， ，，

∵是线段上的动点（包括端点），

∴设，（）

∴，

∴，，

∴，

∵，∴当且仅当时，的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．

(1)化简；

(2)若锐角满足，求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据诱导公式化简即可；

（2）由正余弦的平方关系化为正余弦的齐次式，再化为正切即可得解.

【详解】（1）.

（2），

则

.

18．已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，.

(1)求a；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知以及余弦定理，可列出关于的关系式，求出即可；

（2）易知，，代入三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）在中，，，，

由余弦定理得：，

解得或（不合题意，舍去）.

所以，.

（2）由（1）知，所以，

又，，所以，

所以.

所以的面积为.

19．已知函数

(1)求的最大值及对应的的集合；

(2)求在上的单调递增区间；

【答案】(1)，此时的集合为

(2).

【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；

（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.

【详解】（1）解：当，即时，

，所以，此时的集合为；

（2）令，

则，

又因，所以在上的单调递增区间为.

20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.

（2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.

【详解】（1）由正弦定理可得，即，

由余弦定理的变形得，

又，所以.

（2）由得，且，

所以，

所以，

因为，从而，

所以，从而.

即的取值范围为.

21．记的内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若为线段延长线上的一点，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；

（2）设，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.

【详解】（1）由已知得，

由正弦定理，得，

则，

即，

所以（舍去）或，

故，所以.

（2）设，在中，由正弦定理，得①，

在中，由正弦定理，得②，

所以，所以，解得，

所以，即.

22．已知函数，其中.

(1)求函数的最小正周期，并求使得的的取值范围；

(2)若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.

【答案】(1)的最小正周期为；的取值范围是，；

(2)．

【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，根据三角函数性质即可求解；

(2)根据题意，构造函数，将问题转化为三角函数的单调性求解即可．

【详解】（1）∵

，

∴的最小正周期为；

则，

∴，解得，，

∴的取值范围是，．

（2），

令，

则

，

由题可知在上为增函数，

又由得的增区间是：，

则，

当时，即，

∴，

∴正实数的最大值为﹒