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新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练6(三角、立几、概率、解几)(含解析)
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大题保分练6(三角、立几、概率、解几)1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a+b)cos C+ccos B=0.(1)求角C;(2)若△ABC的面积S=8,其外接圆的半径R=,求△ABC的周长.解 (1)(2a+b)cos C+ccos B=0,由正弦定理得2sin Acos C+sin Bcos C+cos Bsin C=0.即2sin Acos C=-sin(B+C)=-sin A,又sin A≠0,故cos C=-,又0<C<π,所以C=.(2)由C=,R=及c=2Rsin C,可得c=4,又S=absin =ab×=8,即ab=32,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得a2+b2-2abcos =(4)2,即a2+b2+ab=(a+b)2-ab=112,又ab=32,故a+b=12,所以a+b+c=12+4,即△ABC的周长为12+4.2.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).(1)若λ=,求AP与AQ所成角的余弦值;(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.解 以A为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),Q(2,0,1),P(1,2,2),(1)因为=(1,2,2),=(2,0,1),所以cos〈,〉===,所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2)由题意可知,=(0,0,2),=(2,0,2λ).设平面APQ的法向量为n=(x,y,z),则即令z=-2,则x=2λ,y=2-λ,所以n=(2λ,2-λ,-2).又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°,所以|cos〈n,〉|===,可得5λ2-4λ=0,又因为λ≠0,所以λ=.3.某公司销售部随机抽取了1 000名销售员1天的销售记录,经统计,其柱状图如图.该公司给出了两种日薪方案.方案1:没有底薪,每销售一件薪资20元;方案2:底薪90元,每日前5件的销售量没有奖励,超过5件的部分每件奖励20元.(1)分别求出两种日薪方案中日工资y(单位:元)与销售件数n的函数关系式;(2)若将频率视为概率,回答下列问题:①根据柱状图,试分别估计两种方案的日薪X(单位:元)的均值及方差;②如果你要应聘该公司的销售员,结合①中的数据,根据统计学的思想,分析选择哪种薪资方案比较合适,并说明你的理由.解 (1)方案1:日工资y(单位:元)与销售件数n的函数关系式为y=20n,n∈N;方案2:日工资y(单位:元)与销售件数n的函数关系式为y=(2)①根据柱状图知,日销售量满足如下表格: 日销量(件)34567概率0.050.20.250.40.1 所以方案1的日薪X1的分布列为X16080100120140P0.050.20.250.40.1 均值E(X1)=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106,方差D(X1)=0.05×(60-106)2+0.2×(80-106)2+0.25×(100-106)2+0.4×(120-106)2+0.1×(140-106)2=444;方案2的日薪X2的分布列为X290110130P0.50.40.1 均值E(X2)=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102,方差D(X2)=0.5×(90-102)2+0.4×(110-102)2+0.1×(130-102)2=176.②答案1:由①的计算结果可知,E(X1)>E(X2),但两者相差不大,又D(X1)>D(X2),则方案2的日薪工资波动相对较小,所以应选择方案2.答案2:由①的计算结果可知,E(X1)>E(X2),方案1的日薪工资均值大于方案2,所以应选择方案1.(注意:根据日薪波动性大小应选择方案2,根据日薪工资均值大小应选择方案1,两种答案同样给分)4.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,且右焦点到直线x-y+2=0的距离为2.(1)求椭圆的方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-,证明:四边形ABCD的面积为定值.(1)解 因为右焦点(c,0)到直线x-y+2=0的距离为d==2,解得c=2,∵e==,a2=b2+c2,∴a=2,b=2,因此,椭圆的方程为+=1.(2)证明 设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(2m2-8)(2k2+1)=64k2+32-8m2,则x1+x2=-,x1·x2=,由kAC·kBD=-,得x1x2=-2y1y2,即x1x2=-2(kx1+m)(kx2+m),∴(2k2+1)x1x2+2km(x1+x2)+2m2=0,即4m2-8-=0,解得m2=4k2+2,满足Δ>0恒成立.∵|AB|==·=,原点到直线AB的距离为d==,∵S▱ABCD=4S△AOB,且S△AOB=|AB|·d=××=2,∴S▱ABCD=4×2=8(定值).
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