陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期五模理科数学试题（含解析）

陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期五模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知向量，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．在中，，，，则的面积为

A．15 B． C．40 D．

5．如图，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则　　

A．2 B．3 C． D．

6．已知正实数a、b满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．5 D．9

7．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，A，B是函数的图象与x轴的两个交点，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

9．下列判断错误的是（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则

B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变

C．若随机变量服从二项分布，则

D．若方差，则

10． 中，若，则 的值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

11．已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

12．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（    ）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变

B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是

C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为

D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是

二、填空题

13．已知，则____________．

14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）

15．已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则_________.

16．已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.

三、解答题

17．已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.

(1)求与的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）

(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；

(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.

19．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.

(1)证明：平面DEF；

(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

20．已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．

21．已知函数.

(1)讨论的单调性和最值；

(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若点为曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值．

23．已知的最小值为．

(1)求的值；

(2)若正实数满足，证明：．

参考答案：

1．C

【分析】解不等式得到，从而求出交集.

【详解】由题知，，所以.

故选：C

2．A

【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．

【详解】若，则，解得或，则是的充分不必要条件；

故选：A

3．A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解

【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；

点在圆上，故，即

故直线l的方程为：

令令

当l的横纵截距相等时，

又

解得：

即，即

故选：A

4．B

【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.

【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.

【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

5．D

【分析】根据题意，设出、、的坐标，由线段轴，是等边三角形，得出、与的关系，求出、的值，计算出结果．

【详解】根据题意，设，，，，，

线段轴，是等边三角形，

，，，；

又，，

；又，

，；

；，

，

故选：．

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．

6．B

【分析】根据基本不等式“1”的妙用方法解题.

【详解】，当且仅当时等号成立.

故选：B.

7．B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.

【详解】因为，

所以，

故选:B.

8．B

【分析】将代入，求出，求出A，B两点的横坐标，进而列出方程，求出.

【详解】由图象可知，点在函数图象上，将其代入得：，

因为，所以，

，令，

解得：，，

因为，所以当时，解得：，

当时，，所以，

解得：

故选：B

9．D

【分析】由正态分布的对称性可判断A，根据数据方差的性质可判断B，由二项分布的期望公式，以及期望的性质可判断C，由随机变量的方差的性质可判断D.

【详解】A选项：由题意，，又随机变量服从正态分布，，故A选项正确；

B选项：每一组数据均减去一个数字，不影响整体的稳定程度，故方差不变，B选项正确．

C选项：因为随机变量服从二项分布，，，故C选项正确；

D选项：因为方差，，故D选项错误．

故选：D．

10．B

【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得，再利用余弦定可得，根据，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.

【详解】因为在 中，若，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以由余弦定理得，

化简得，

所以

，

故选：B

11．B

【分析】根据几何关系，求得点的坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.

【详解】根据题意，作图如下：

因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，

又到的距离，即，又为中点，则，

设点，则，解得；由可得，

则由等面积可知：，解得，则，

则，又点在渐近线上，即，即，

又，联立得，即，解得，

故.

故选：B.

12．D

【分析】由底面正方形的面积不变，点到平面的距离不变，可判定A正确；

以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确；

由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定C正确；

设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定D错误.

【详解】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，

所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确；

对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，

设，则，

设直线与所成角为，则，

因为，当时，可得，所以；

当时，，所以，

所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；

对于C中：因为直线与平面所成的角为，

若点在平面和平面内，

因为最大，不成立；

在平面内，点的轨迹是；

在平面内，点的轨迹是；

在平面时，作平面，如图所示，

因为，所以，又因为，所以，所以，

所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，

所以点的轨迹的长度为，

综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；

对于D中，由，

设，

则

设平面的一个法向量为，则，

取，可得，所以，

因为平面，所以，可得，

所以，

当时，等号成立，所以D错误.

故选：D.

【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

13．

【分析】利用复数四则运算法则，计算，然后利用复数相等，得，得答案.

【详解】，所以，从而．

故答案为：.

14．144

【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排

【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.

故答案为：144.

15．/

【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据韦达定理可得出与的关系，通过抛物线定义可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.

【详解】由题意知的方程为，

代入的方程，得，

设，则；

因为，且，

所以，

整理得，

所以，

结合，解得.

故答案为：.

16．

【分析】分析的单调性可知，的对称轴是极值点，则，此时在上单调递减，要使在上单调递增，则，即可求出答案.

【详解】∵，为连续函数，为单调函数，

所以在上无极值点；

又在上至多有一个极值点，

则的对称轴为，

要使恰有两个极值点，

∴和是必为的两个极值点，

∴，解得：，所以是的极大值点，

又在上单调递减，要使为的极值点，

则在上单调递增，∴；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）设的公差为d，因为，

所以，解得，

所以.

数列的前n项和为，且，①

当时，，②

①-②，得.

当时，，满足，所以.

（2）因为，

所以.③

，④

③-④，得，

所以.

18．(1)；

(2)，；

(3)佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.

【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；

（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；

（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.

【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，

“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，

故所求的概率为： ，

所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；

（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，

其中：；

；

.

所以男生人数的分布列为：

所以，

，

（3）由已知可得：

则：，

所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理可证明结论；

（2）先推出三棱锥的体积最大时，点E，F分别是，的中点，由此再求二面角的余弦值；

法一：通过证线面垂直可说明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；

法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.

【详解】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.

因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,

所以四边形AEFD是平行四边形.

所以 ,

所以.

因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,

又因为平面ABE，

所以.

又因为，DF，平面DEF，

所以平面DEF.

（2）由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，

由（1）知，，所以，

即底面三角形DEF是直角三角形.

设，，则,

所以，

当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，

三棱锥的体积最大,

下面求二面角的余弦值：

法一：

由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.

又因为，，所以平面BEF.

因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,

由（1）知为直角三角形，则.

故,

所以二面角的余弦值为.

法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，

如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则.

由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.

设平面BDF的法向量为，由，，

得，即，即，

取，得.

设二面角的平面角为θ,

则，

由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)①；②证明见解析，

【分析】（1）根据椭圆的性质，可得上顶点与右顶点的坐标，由离心率与三参数之间的关系，可得方程，进而解得答案；

（2）①设过定点的直线方程，联立方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，将四边形分割成两个顶底的三角形，根据面积公式，可得答案；②由题意设出两点，整理出直线方程，由①中的直线与韦达定理，进行等量代还，可得答案.

【详解】（1）由题可知：，所以，，

故椭圆的标准方程为；

（2）①由题，设直线，，，

联立，消去x，得，

因为，，，

则

所以四边形OAHB的面积，

令，∴，∴

因为（当且仅当即时取等号），所以，

所以四边形OAHB的面积取值范围为；

②∵，，所以直线BD的斜率，

所以直线BD的方程为，

令，可得，①

由（1）可得，，∴

化简①可得

则直线BD过定点．

21．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.

（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证

成立.

【详解】（1），其中

若，则在上恒成立，故在上为减函数，

故无最值.

若，当时，；

当时，；

故在上为增函数，在上为减函数，

故，无最小值.

（2）方程即为，

故，

因为为上的增函数，所以

所以关于的方程有两个不等的实数根即为：

有两个不同的实数根.

所以，所以，

不妨设，，故，

要证：即证，

即证，即证，

即证，

设，则，

故，所以在上为增函数，

故，所以在上为增函数，

所以，故成立.

【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数t得直线普通方程，将代入曲线可得直角坐标方程；

（2）设点，利用点到直线距离公式求解可得.

【详解】（1）将代入，消去t得直线的普通方程为；

由得，，

将代入可得，即曲线的直角坐标方程为；

（2）设点，

则点到直线的距离，

当，即时，，

所以点到直线的距离最小值为.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得，即可求出的值.

（2）由（1）中的结果，结合柯西不等式即可证明.

【详解】（1），

当且仅当时等号成立，

（2）由柯西不等式得：

，

，当且仅当时取等号.