浙江省七彩阳光联盟2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019学年七彩阳光联盟高一下开学考

一、选择题：每小题4分，共40分

1.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式转化为，根据特殊角三角函数值求得结果.

【详解】

故选：

【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，属于基础题.

2.若平面向量，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面向量数量积的坐标运算直接求得结果.

【详解】.

故选：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则边的值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理构造方程可求得结果.

【详解】由余弦定理得：，解得：.

故选：.

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题.

4.在等差数列中，若，则（    ）

A. 8 B. 10 C. 16 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】

由等差数列求和公式可求得，由等差数列下标和性质可得结果.

【详解】，，.

故选：.

【点睛】本题考查利用等差数列下标和性质求值的问题，涉及到等差数列前项和公式的应用，属于基础题.

5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数左右平移原则可直接求得结果.

【详解】，，

将向右平移个单位长度可得到的图象.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数的平移变换，关键是明确左右平移是针对的变化量，属于基础题.

6.设等比数列的前项和为，若 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先由等比数列前项和公式列方程，并解得，然后再次利用等比数列前项和公式，则求得答案．

【详解】设公比为，则，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.

7.已知，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：

考点：同角间三角函数关系

8.如图中，已知点在边上，，，，，则等于（    ）

A. 4 B. 24 C.  D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式可求得，在中，利用余弦定理可求得、，进而得到，在中，根据余弦定理可构造方程求得结果.

【详解】，，

在中，

由余弦定理得：，

，，

，

又，，.

故选：.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形的知识，涉及到诱导公式的应用，关键是能够利用余弦定理和诱导公式求得.

9.在矩形中，，为上的动点，则的最小值为（    ）

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】

以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算将所求数量积的最小值变为二次函数最小值的求解问题，从而求得结果.

【详解】以为坐标原点可建立如下图所示平面直角坐标系：

则，，，，设，，

，，，

，

当时，取得最小值.

故选：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为二次函数最值的求解问题，属于常考题型.

10.在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（   ）

A 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】

由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．

详解】解：∵正项等比数列中，，，

∴.

∵，

解可得，或（舍），

∴，

∵，

∴.

整理可得，，

∴，

经检验满足题意，

故选C．

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分

11.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则___________；___________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据任意角三角函数定义可求得；由二倍角余弦公式求得.

【详解】，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、二倍角公式的应用，属于基础题.

12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而上各节的容积成等差数列，上面4节的容积共，下面3节的容积共，则公差为___________；第5节的容积为___________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用可构造方程求得；根据等差数列通项公式可求得.

【详解】设自下而上各节的容积成等差数列，公差为，且前项和为，

，解得：，

.

故答案为：；.

【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及到等差数列前项和公式和通项公式的应用，属于基础题.

13.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则___________；的面积为___________．

【答案】    (1).     (2). 或

【解析】

【分析】

利用余弦定理可求得，由此得到；将代入已知等式可求得，利用三角形面积公式可求得结果.

【详解】，，又，；

又，或，或.

故答案为：；或.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于基础题.

14.若非零向量满足，且，则向量和夹角为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果.

【详解】，，

即，

又，，

为非零向量，，又，.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据平面向量数量积求解向量夹角的问题，涉及到平面向量的垂直关系；关键是利用向量垂直关系得到向量数量积为零.

15.在数列中，，则        .

【答案】

【解析】

【详解】因为,

,

.

16.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

将不等式转化为，设，只需满足，根据的单调性，建立的不等量关系，求解即可.

【详解】，等价于，

设，存在，使得不等式成立，

故只需满足

，在上单调递增，

，，

，整理得：，

，，即，

实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数中的恒成立和能成立问题的求解，解题关键是能够将问题转化为函数的最值问题，进而通过分析函数最值构造出所需的不等关系，属于难题.

三、解答题：4小题，共50分

17.已知函数的最小正周期是.

(1)求的值及函数的单调递减区间；

(2)当时，求函数的取值范围.

【答案】(1)，减区间为；(2)

【解析】

【分析】

（1）利用倍角公式将函数化成的形式，再利用周期公式求出的值，并将代入区间，求出即可；

（2）由求得，利用单位圆中的三角函数线，即可得答案.

【详解】(1)，

，；

，，

的单调递减区间为.

(2)由得，

利用单位圆中的三角函数线可得：，

∴.

【点睛】本题考查三角恒等变换中倍角公式的应用、周期公式、值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度范围的限制.

18.已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且成等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】(1);.

(2).

【解析】

分析：（1）由题意可得等差数列的公差，则；等比数列的公比，.

（2）由（1）可知，错位相减可得前n项和.

详解：（1）设的公差为，则由已知得，

即，

解之得：或（舍），

所以；

因为，所以的公比，

所以.

（2）由（1）可知，

所以，

，

所以 ，

所以.

19.在中，内角，，所对的边长分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）已知不是钝角三角形，且，，求的面积．

【答案】（1）或；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式可将已知等式化为关于的方程，进而解出，从而得到结果；

（2）利用两角和差正弦公式和二倍角公式可化简得到，从而得到，利用余弦定理构造方程可求得，代入三角形面积公式可得结果.

详解】（1），，，

，解得：或，

，，或，或；

（2）不是钝角三角形，，

，

，

当时，，不成立，，

，由正弦定理知：，

，解得：，，

.

【点睛】本题考查三角恒等变换、诱导公式和解三角形的综合应用问题，解题关键是能够熟练应用公式对已知等式进行化简，得到所需的边角关系式.

20.已知函数，其中．

（1）当时，方程恰有三个根，求实数的取值范围；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】

（1）将问题转化为与恰有三个不同的交点，利用数形结合的方式可求得结果；

（2）将恒成立的不等式转化为或，采用分离变量的方式可求得结果.

【详解】（1）当时，，

可得图象如下图所示：

方程恰有三个根等价于与恰有三个不同的交点，

由图象可知：当时，与恰有三个不同的交点，

实数的取值范围为；

（2）当时，等价于，

当时，，，即，

或，

或

当时，，，

或，即实数的取值范围为或.

【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围、恒成立问题的求解；方程根的个数问题通常采用数形结合的方式，将问题转化为两函数交点个数的问题；求解恒成立问题的关键是能够将恒成立的不等式进行化简，通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间大小关系的问题.