高一上学期期末质量检测数学(文)试题

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这是一份高一上学期期末质量检测数学(文)试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|-1≤x＜3}，那么A∪B=（　　）
A. {x|−2 2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）
A. f(x)=|x|，g(x)=x2
B. f(x)=lg x2，g(x)=2lg x
C. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1
D. f(x)=x+1⋅x−1，g(x)=x2−1
3. 在下列函数中，图象的一部分如图所示的是（　　）
A. y=2sin(4x+π6)
B. y=−2sin(2x−π3)
C. y=2cos(2x−π6)
D. y=−2cos(2x−π3)
4. 函数f（x）=lnx+x3-9的零点所在的区间为（　　）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5. 若tanα＜0，且sinα＞cosα，则α在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）
A. 90∘ B. 120∘ C. 135∘ D. 150∘
7. 已知A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知|a|=3，|b|=4，且（a+kb）⊥（a-kb），则k等于（　　）
A. ±43 B. ±34 C. ±35 D. ±45
9. 奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，若f（-1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）
A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−∞,−1)(∪1,+∞)
C. (−1,0)∪(0,1) D. (−1,0)∪(1,+∞)
10. 已知函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=sin（ωx+π4）的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）
A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度
C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度
11. 设点O在△ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（　　）
A. 2 B. 32 C. 3 D. 53
12. 已知函数f（x）=|log2x|，0＜x＜2sin(π4x)，2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则(x3−1)⋅(x4−1)x1⋅x2的取值范围是（　　）
A. (20,32) B. (9,21) C. (8,24) D. (15,25)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f（x）=x2-m是定义在区间[-3-m，m2-m]上的奇函数，则f（m）=______．
14. 若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数为______．
15. tanα=12，求sinα−3cosαsinα+cosα=______．
16. 函数f（x+2）=lg(−x),(x<0)tanx,(x≥0)，则f（π4+2）•f（-98）等于______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 化简或求值：
（1）（0.064）−13−(−78)0+(8116)14+|-0.01|12；
（2）lg500+lg85−12lg64+50（lg2+lg5）2

18. 设f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（π6）的值．

19. 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=（a，b），n=（sinA，cosB），P=（1，1）．
（I）若m∥n，求角B的大小：
（Ⅱ）若m•p=4，边长c=2，角c=π3求△ABC的面积．

20. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）．已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）与售价p（元/件）的关系如图．
（1）写出销量q与售价p的函数关系式；
（2）当售价p定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？

21. 已知定义在R上的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3−2x．
（1）求f（0）．
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

22. 已知函数f(x)=(12)x，函数g(x)=log12x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]2-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数y=log12f(x2)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，
则A∪B={x|-2＜x＜3}
故选：A．
把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．
此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】
解：对于A，∵g（x）=，f（x）=|x|，∴两函数为同一函数；
对于B，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，而函数g（x）的定义域为{x|x＞0}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；
对于C，函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，而函数g（x）的定义域为R，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；
对于D，函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，而函数g（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数．
故选：A．
利用定义域相同，对应关系相同的函数为同一函数逐一核对四个选项即可得到答案．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的方法，对于两个函数，只要定义域相同，对应关系相同，两函数即为同一函数，是基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：由题意可知，A=2，T=，所以ω=2，
因为函数图象过（-，0），
所以0=sin（-+φ），
所以φ=
所以函数的解析式为：y=2sin（2x+）
即y=，
故选：C．
根据函数的图象，求出函数的周期，确定ω，求出A，根据图象过（-，0）求出φ，即可得到函数的解析式．
本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．
4.【答案】C
【解析】
解：由于函数f（x）=lnx+x3-9在（0，+∞）上是增函数，
f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3+18＞0，故函数f（x）=lnx+x3-9在区间（2，3）上有唯一的零点，
故选：C．
根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．
本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
解：∵tanα＜0，
∴α在第2或4象限．
∵sinα＞cosα，
∴α在第2象限．
故选：B．
利用各象限三角函数值的符号判断即可．
本题考查各象限三角函数值的符号，考查转化思想与运算能力，属于基本知识的考查．
6.【答案】B
【解析】
解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，
有余弦定理可得，cosθ==，
易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，
故选：B．
设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．
本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．
7.【答案】A
【解析】
解：A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，
又1和8的原象分别是3和10，
∴，
解得：，
即f：x→y=x-2
5在f下的象可得f（5）=1×5-2=3，
故选：A．
A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，1和8的原象分别是3和10，可以根据象与原像的关系满足f（x）=ax+b，列出不等式求出a，b的值，进而得到答案．
此题主要考查映射的定义及其应用，注意象与原象的对应关系，此题是一道基础题；
8.【答案】B
【解析】
解：∵
∴
即
∴9-16k2=0
解得k=
故选：B．
利用向量垂直的充要条件：数量积为0；再利用向量的平方等于向量模的平方列出方程解得．
本题考查向量垂直的充要条件及向量模的平方等于向量的平方．
9.【答案】A
【解析】
解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选：A．
根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．
本题主要考查函数的图象和性质，作为选择题，可灵活地选择方法，提高学习效率，培养能力．
10.【答案】B
【解析】
解：∵函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，
∴由得ω=2，
∴函数f（x）=cos2x，g（x）=sin（2x+）
∴要得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，
   由于sin（2x+）=cos（2x+-）=cos（2x-），得到函数g（x）=cos（2x-）即可，
∴需要把函数f（x）=cos2x图象向右平移个单位长度，
   故选B．
根据最小正周期为π，可以求出ω的值，然后再利用图象平移求解．
本题考查了余弦型函数的性质、诱导公式及图象变换，关键是用诱导公式把两个函数的名称化成一致的．
11.【答案】C
【解析】
解：分别取AC、BC的中点D、E，
∵，
∴，即2=-4，
∴O是DE的一个三等分点，
∴=3，
故选：C．
根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=-4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．
此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．
12.【答案】B
【解析】
解：函数的图象如图所示，
∵f（x1）=f（x2），
∴-log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4-（x3+x4）+1=x3x4-11，
∵2＜x3＜x4＜10
∴的取值范围是（9，21）．
故选：B．
画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得则的取值范围．
本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
13.【答案】-1
【解析】
解：由已知必有m2-m=3+m，即m2-2m-3=0，∴m=3，或m=-1；
当m=3时，函数即f（x）=x-1，而x∈[-6，6]，∴f（x）在x=0处无意义，故舍去．
当m=-1时，函数即f（x）=x3，此时x∈[-2，2]，∴f（m）=f（-1）=（-1）3=-1．
综上可得，f（m）=-1，
故答案为-1．
由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m2-m=3+m，求出m的值，代入条件检验可得结论．
本题主要考查函数的奇偶性的判断，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】
解：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，
根据题意，有，
解可得，α=2，r=1，
故答案为：2．
设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，由扇形的面积与弧长公式，可得关系式，求解可得答案．
本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．
15.【答案】-53
【解析】
解：∵tanα=，
∴===-．
故答案为：-
所求式子分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．
此题考查了同角三角函数基本关系的应用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
16.【答案】2
【解析】
解：∵
∴==1×2=2
故答案为：2
求分段函数的函数值，先判断出所属于的范围，将它们代入各段的解析式求出值．
解决分段函数的问题，应该分段解决，然后再将各段的结果求并集，属于基础题．
17.【答案】解：（1）（0.064）−13−(−78)0+(8116)14+|-0.01|12
=(0．43)−13-1+(32)4×14+(0．12)12
=52−1+32+110
=3110；
（2）lg500+lg85−12lg64+50（lg2+lg5）2
=lg(5×100)+lg8−lg5−12lg26+50
=2+lg5+3lg2-lg5-3lg2+50
=52．
【解析】

（1）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；
（2）利用对数的运算性质化简求值．
本题考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础的计算题．
18.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2 =23sin2x-1+sin2x=23•1−cos2x2-1+sin2x
=sin2x-3cos2x+3-1=2sin（2x-π3）+3-1，
令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，求得kπ-π12≤x≤kπ+5π12，
可得函数的增区间为[kπ-π12，kπ+5π12]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-π3）+3-1的图象；
再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+3-1的图象，
∴g（π6）=2sinπ6+3-1=3．
【解析】

（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
19.【答案】解：（I）∵m∥n，∴acosB=bsinA，（2分）
根据正弦定理得：2RsinAcosB=2RsinBsinA（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1，又B∈（0，π），
∴B=π4；（8分）
（Ⅱ）由m•p=4得：a+b=4，（8分）
由余弦定理可知：4=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
于是ab=4，（12分）
∴S△ABC=12absinC=3．（13分）
【解析】

（I）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积的运算法则化简•=4，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c2，变形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．
20.【答案】解：（1）q=−14p+7，16≤p≤20−15p+6，20＜p≤25；
（2）设月利润为W（万元），则
W=（p-16）q-6.8=(−14p+7)(p−16)−6.8，16≤p≤20(−15p+6)(p−16)−6.8，20＜p≤25
当16≤p≤20，W=-14 （p-22）2+2.2，当p=20时，Wmax=1.2；
当20＜p≤25，W=-15（p-23）2+3，当p=23时，Wmax=3．
∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元；
（3）设最早n个月后还清转让费，
则3n≥58，即n≥583，
∵n∈N*，∴n=20，
∴企业乙最早可望20个月后还清转让费．
【解析】

（1）由已知图象直接求出销量q与售价p的函数关系式；
（2）分段写出月利润为W（万元），利用配方法分段求出最大值，则月利润最大值可求；
（3）由（2）中求得的最大月利润乘以n，再由利润大于转让费求得n值．
本题考查简单的数学建模思想方法，考查函数解析式的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．
21.【答案】解（1）∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0；
（2）当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=-x3−2−x．
又∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）
∴f（x）=x3+2−x．
故当x＜0时，f（x）=x3+2−x．
（3）由不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0
得：f（t2-2t）＜-f（2t2-k）
∵f（x）是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2）
又∵f（x）在R上是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2
即对任意t∈R不等式3t2-2t＞k恒成立，
令g（t）=3t2-2t=3（t-13）2-13−13
∴k＜−13．
故实数k的取值范围为（−∞，−13）．
【解析】

（1）根据定义在R上的函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0；
（2）当x＞0时，f（x）=．那么x＜0时，-x＞0，即可求解；
（3）利用奇函数和单调性脱去“f”，转化为二次函数问题求解即可．
本题考查的是函数奇偶性和单调性的应用，恒成立问题转化思想．
22.【答案】解：（1）∵g(x)=log12x，
∴y=g(mx2+2x+m)=log12(mx2+2x+m)，
令u=mx2+2x+m，则y=log12u，
当m=0时，u=2x，y=log122x的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若y=log12u的定义域为R，
则△=4−4m2<0m>0，
解得m＞1，
综上所述，m＞1     …（4分）
（2）y=[f(x)]2−2af(x)+3=(12)2x−2a(12)x+3=[(12)x]2−2a(12)x+3，x∈[-1，1]，
令t=(12)x，则t∈[12，2]，y=t2-2at+3，t∈[12，2]
∵函数y=t2-2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当a＜12时，t=12时，h(a)=ymin=134−a；
当12≤a≤2时，t=a时，h(a)=ymin=3−a2；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7-4a．
综上所述，h(a)=134−a，a＜123−a2，12≤a≤27−4a，a＞2…（10分）
（3）y=log12f(x2)=log12(12)x2=x2，
假设存在，由题意，知n2=2nm2=2m
解得n=2m=0，
∴存在m=0，n=2，使得函数y=log12f(x2)的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）
【解析】

（1）若的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）令，则函数y=[f（x）]2-2af（x）+3可化为：y=t2-2at+3，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）假设存在，由题意，知解得答案．
本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．