高考数学模拟试卷-(文科)

高考数学模拟卷四

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则（   ）

A.   B.   C.   D.

2. 已知，且的共轭复数为，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。则下列说法中一定正确的是（    ）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人

B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分

C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内

D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内

4. 已知等差数列的前项和为，且，，则（     ）

A. 8           B. 10            C. 12          D. 14

5. 已知函数，若，且的最小值为，，则（    ）

A.     B.

C.      D.

6. 已知圆C：与直线交于A，B两点，则的取值范围是（    ）

A.   B.    C.    D.

7. 执行如图所示的程序框图，若输入的时，则输出的（     ）

A. 2018     B. 2019   C. 2020    D. 2021

8. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，给出下列命题：①平面；②平面平面；③平面截该正方体所得截面的面积为。其中是真命题的个数是（    ）

A. 0   B. 1    C. 2   D. 3

9. 有一道条件不完整的题目：“已知函数则_________。”

已知该题目的答案是，现有如下四个式子：①；②；③；④。则可以作为时的解析式的是（       ）。

A. ①④   B. ②③     C. ②③④   D. ①②③④

10. 在中，内角所对的边分别是，且，，则的最大值是（    ）

A.   B.        C.       D.

11. 已知为双曲线的右焦点，若在的右支上存在点，使得中点到原点的距离大于等于点到的距离，则的离心率的取值范围是（     ）

A.   B.   C.   D.

12. 已知定义在上的偶函数，其导函数为。当时，不等式。若对，不等式恒成立，则正整数的最大值是（    ）

A.      B.    C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知实数满足不等式组，则的最小值为___________。

14. 已知半径为2的球被截去两部分后，形成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_________。

15. 一名大学生在国庆节放假的时候，从10月1日到10月4日去电影院看《战狼2》等四部最近热播的电影，每天一部。设这四部电影分别为A，B，C，D，现在了解到：①1号不看A，B；②2号不看A，D；③3号不看B，D；④4号不看A，B；⑤若1号不看D，则3号不看A。根据以上情况，可以知道C是_____号看。

16. 在平行四边形中，，，且，若与交于点，则的最大值是__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17. （本小题满分12分）

已知是递增的等比数列，若，且成等差数列。

（Ⅰ）求的前项和；

（Ⅱ）设，且数列的前项和为，求证：。

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，O为线段上一点，平面平面，且为等腰直角三角形，斜边。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）将绕旋转一周，求所得旋转体的体积。

19. （本小题满分12分）

为了进一步提升教育教学质量，为广大教师提供展示、交流、学习的机会，某学校从该校的教师中，随机抽取15位教师参加优质课竞赛活动。本次活动有“课堂教学”和“说课”两个阶段，每个阶段都采用10分制评分标准。学校根据两个阶段的综合得分，给予参赛者一定的精神和物质奖励。现知15位参赛者的两个阶段的得分情况如下图：

（Ⅰ）求这15位参赛者的“说课”得分的平均值（精确到0.01）；

（Ⅱ）在“课堂教学”得分大于9.5分的参赛者中，随机抽取2位，则至少有一位参赛者的“说课”得分大于9.6分的概率。

20. （本小题满分12分）

已知椭圆上的点到原点O的距离最小值为，且的离心率。

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）若直线与圆相切，且与交于两点，则是否为定值，若是，求出该定值。若不是，请说明理由。

21. （本小题满分12分）

已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若是的两个零点，求证：。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4坐标系与参数方程选讲] （10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

（Ⅰ）若直线上两点对应的参数分别为和，求；

（Ⅱ）若直线与交于两点，点坐标为。是否存在，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

（Ⅰ）解关于的不等式；

（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求证：。

答案与解析

1. C

【解析】由，可得或，所以，故选C。

【命题依据】集合的基本运算是全国卷的高频考点，同时常与绝对值不等式交汇。

2. A

【解析】∵，则，

故，故选A。

【命题依据】复数概念、复数的运算是高考高频考点，考查难度不大。

3. C

【解析】由图可知，该班级数学分数大于等于95分的人数是46人，而大于等于90分的不确定，故A错；通过该班级的数学分数，可以去估计该校高三年级的数学分数的分布情况，但不是确定的结果，故B，D不一定正确；对于C，因为该班人数是50，75分到115分的人数是20人，而在[115，125）内有14人，故中位数在[115，125）内，故C正确；

所以选C。

【命题依据】近几年高考在选填题中，对统计图表的考查频率比较高，主要考查学生的数据处理核心素养。

4. C

【解析】因为，所以，所以，

所以。

【命题依据】等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查其通项公式和前项和问题。

5. D

【解析】由题意可得，所以，所以，

即，又因为，所以，

因为，所以。故选D。

【命题依据】三角函数的图象和性质是高考的必考内容，主要涉及到对称轴、对称中心等知识。

6. D

【解析】因为过定点，且点在圆内，所以直线恒与相交，

当为弦的中点时，此时弦最短，又，

则，

当过圆心时，此时，故选D。

【命题依据】在直线与圆的位置关系的考查中，弦长问题、切线问题是常考知识。

7. C

【解析】执行程序框图时，每次循环时的取值是偶数，的取值是奇数，且比大1，当时，，此时跳出循环，执行“”得，故选C。

【命题依据】程序框图是高考的高频考点，一般属于中档难度。

8. A

【解析】对于①，因为平面，故错误；对于②，若平面平面，过作，垂足为，则由面面垂直性质定理，可知，又，则平面，即，此时矛盾，故②错；对于③，平面截该正方体所得截面是四边形，该四边形是边长为的菱形，

则其面积，故③错。综上所述：选A。

【命题依据】空间立体几何知识在高考的选填题中出现2题，而空间点线面问题、截面问题是常考知识，尤其近年来，截面问题更是热点问题。

9. D

【解析】因为，且，所以，

又因为，所以①②③④均可作为时的解析式，故选D。

【命题依据】分段函数求值问题一直是高考的常客，而新的考纲对开放性问题的考查又有所提升，意在拓宽学生的开放性思维。

10. B

【解析】由，可化为，

由正弦定理可得，

即，即，

因为，所以，即，

所以，所以

因为，所以当时，取得最大值，最大值为。

故选B。

【命题依据】三角形正弦定理、余弦定理及其三角恒等变形等知识一直是高考的必考内容，近年来难度有所提升。

11. B

【解析】设中点为，的左焦点为，由题意知，  

当点异于的右顶点时，连接，则由三角形中位线性质，可得，

即，则，又因为，

所以，即。

当点是的右顶点时，则，，

由题意得，即。

综上所述：，故选B。

【关键点拨】解答此题的关键点是：①要连接点与左焦点，利用双曲线的定义；②利用右支上的点到右焦点的距离最小值是右顶点到右焦点的距离；③要对点进行讨论。

【命题依据】双曲线的简单几何性质在高考中是属于必考内容，尤其离心率更是热点和难点。

12. B

【解析】因为，即，

令，则，

又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，

所以是在上的单调递增函数，

又因为，可化为，

即，又因为是在上的单调递增函数，

所以恒成立，令，则， 

所以在单调递减，在上单调递增， 

所以，则，所以，故选B。

【关键点拨】关键点是构造新函数，再利用新函数的单调性转化不等式。

【命题依据】函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等问题是高考的热点和难点，难度比较大。

13. -2

【解析】由题可知，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．

[来源:学_科_网]

联立直线方程可得点，平移直线，易知在点C处取得最小值，此时．

【解题技巧】若不等式组对应的平面区域是一个多边形，则线性目标函数通常在其顶点处取得最值，因此，本题可以直接求出三个顶点坐标，再代入目标函数，即可求出最大值与最小值。

【命题依据】简单线性规划问题在高考中属于简单题型，考查的目标函数多为线性目标函数。

14.

【解析】由题意可知，该几何体直观图如图所示：

所以该几何体的表面积。

【关键点拨】是得到该几何体的直观图，其次理解几何体表面积的概念。

【命题依据】全国卷对三视图的考查，主要以圆柱、圆锥、棱柱、棱锥为背景命题，设问角度一般是求几何体的表面积、体积等。

15. 4

【解析】设“√”代表看；“×”代表不看，列表如下：

因为每一列，每一行只能出现一个“√”，故是4号去看C部电影。

【命题依据】推理与证明在高考中出现的频率不是太高，一般难度都是易或中档。

16.

【解析】设

因为三点共线，则，

设，即，则，

所以，消去可得，因为，

所以，当且仅当时，取得等号。

所以的最大值是。

【关键点拨】①利用三点共线和三点共线；②利用两组三点共线表示出向量；③利用基本不等式。

【命题依据】平面向量一直是高考考查的重点知识，难度相对简单，但近年来对平面向量的考查难度有所提升。尤其是考查数量积取值范围、模长范围等问题时，难度是比较大的。

17. 解：（Ⅰ）设的公比为，

由成等差数列，可得，即，则，

所以或，因为是递增的等比数列，所以，

又因为，可得，即，所以，

所以；

（Ⅱ）由（1）可得，所以数列是递增数列，所以。[来源:学*科*网]

又因为，

∴。

综上所述：。

【关键点拨】证明时，一般思路是直接求解，再利用的表达式进行证明，当的表达式不易求解时，一般采用放缩思想进行求证，而在文科数学中，常常利用数列的单调性进行放缩或将放缩成常见的数列。

【命题依据】文科近几年17题主要考查了解三角形问题，而今年17题考查数列的可能性很大，而放缩思想在数列中的应用是很多学生容易忽视的。

18. （Ⅰ）证明：取中点为，连，如图

因为，

所以，且，又平面，

所以平面，又因为平面，

所以。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，所以三角形为直角三角形，

又因为为等腰直角三角形，斜边，

所以，，，

所以在中，可得，

所以是边长为4的等边三角形，

取中点为，连，可知，

所以将绕旋转一周，所得旋转体是以为底面半径，2为高的两个公共底面的圆锥。

所以该几何体的体积。

【命题依据】线面垂直、空间几何体的体积等问题是高考必考内容，而对于旋转体的体积问题是很多学生容易忽视的问题。

19. 解：（Ⅰ）这15位参赛者的“说课”阶段得分分别为：3个9.1分，2个9.2分，1个9.3分，2个9.4分，1个9.5分，3个9.6分，1个9.7分，2个9.8分.

所以15位参赛者的“说课”阶段得分的平均分为：

；

（Ⅱ）由图可知，设参赛者“课堂教学”得分为，“说课”得分为，用坐标表示每位参赛者两个阶段得分。

则满足“课堂教学”得分大于9.5分的坐标为：，，，，，共有6位，满足“说课”得分大于9.6分的有，设分别表示“说课”得分不大于9.6分的参赛者，分别表示“说课”得分大于9.6分的参赛者。

从这6位参赛者中任取2位，有如下情况：，,，，共15种，满足至少有一位参赛者的“说课”得分大于9.6分的有9种，所以至少有一位参赛者的“说课”得分大于9.6分的概率。

【关键点拨】关键点是理解题目意思和识别统计图表所表达的意思。

【命题依据】统计与概率在高考中的考查越来越注重对数据的处理，尤其是借助于统计图表将问题呈现。而样本的数据特征和古典概型依然是考查的热点和重点。

20. 解：（Ⅰ）由题意可知，又因为，

所以，即，因为，

所以，即，

所以的标准方程是；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由相切可得的方程为或，

将代入的方程，可得，不妨设，

则，所以，同理；

当直线的斜率存在时，设的方程为，

由相切可得点O到直线的距离，

即，

由，得，则，

设，，则由韦达定理可得，

又因为，

即，

所以

又因为，所以[来源:学#科#网Z#X#X#K]

所以，即，

综上所述：是定值，且该定值是。

【关键点拨】此题的难点在第二问上，而第二问的关键点是由特殊到一般的思想，可以判断出是定值。从而为求解当直线的斜率存在时，提供了解题思路。

【命题依据】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点，意在考查学生的转化与划归、特殊到一般的思想。

21. 解：（Ⅰ）由条件可知，函数的定义域是。

由可得。

①当时，在上恒成立，故在上单调递减；

②当时，当时，，

当时，，则在上单调递减，在上单调递增。

综上可知：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）由（1）可知，当时，至多1个零点，故不满足条件；

当时，在上单调递减，在上单调递增。

所以，

①当时，即，此时至多1个零点，故不满足条件；

②当，即，即，

又因为，所以，又因为在上单调递增。

所以在上有且只有1个零点；

当时，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增。所以，

所以，

所以，又因为当时，所以，

所以，又因为在上单调递减，

所以在上有且只有一个零点，

所以，所以。

【关键点拨】第一问的关键点是对参数的讨论。第二问的关键点是确定两个零点所在的范围，是利用零点存在性定理，找到“动态点”，一般通过放缩思想找到“动态点”，同时这个“动态点”是不唯一的，也就是根据题目的要求，去找“动态点”，比如此题的。

【命题依据】函数的单调性、函数零点等问题一直是导数压轴题的热门命题方向，意在让学生通过分类讨论思想、转化与划归思想将问题解决。

22. 解：（Ⅰ）因为点对应的参数为，所以将代入的参数方程，

得，即，同理可得，

所以；

（Ⅱ）存在实数，使得。理由如下：

由，可得，将代入，

得，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

则，因为，所以，

设两点对应的参数分别为，

由韦达定理可得，

因为，且，所以，

所以，即，

所以。

【关键点拨】理解直线参数方程中的参数的几何意义。

【命题依据】直线参数方程中参数的几何意义、极坐标方程中的的几何意义等是参数方程与极坐标方程中的主要命题方向，大多大同小异，难度不大，意在考查学生的转化与划归思想。

23. 解：（Ⅰ）由可得。

当时，不等式可变为，解之得，故；(2分）

当时，不等式可变为，解之得，故；

当时，不等式可变为，解之得，故。

综上可知，原不等式的解集为；

（Ⅱ）证明：由（1）知，

可知的最小值为，所以，所以，

即，由基本不等式可知：

=。[来源:学*科*网Z*X*X*K]

当且仅当时，即时等号成立。

所以。

【命题依据】绝对值不等式、绝对值函数、基本不等式、恒成立等问题是该板块知识的主流命题方向，难度不大。