天津市和平区2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

这是一份天津市和平区2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.
1．设z＝，则z的虚部是（　　）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（　　）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
3．用m、n表示两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α
4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（　　）
A．102 B．102.5 C．103 D．103.5
5．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝　 　．
11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为　 　．
12．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为　 　．

13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝　 　．
14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为 　 　．
15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△AMN与△ABC的面积之比为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.
16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．
（1）求|；
（2）若2与m垂直，求实数m的值．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC＝a．
（1）求的值；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
18．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点．求证：
（1）OE∥平面BCC1B1；
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．

19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．
（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；
（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．
（1）求异面直线AB与PD所成的角；
（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；
（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．



参考答案
一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.
1．设z＝，则z的虚部是（　　）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
解：∵z＝＝，
∴z的虚部是1．
故选：A．
2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（　　）
A．﹣ B． C．6 D．﹣6
解：∵，
∴3﹣2x＝0，解得．
故选：B．
3．用m、n表示两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α
解：若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；
若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B错误；
若m∥β，则β内存在直线n∥m，又m⊥α，∴n⊥α，而n⊂β，∴α⊥β，故C正确；
若m⊥n，n⊂α，则m⊂α或n∥α或n与α相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：C．
4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（　　）
A．102 B．102.5 C．103 D．103.5
解：5×0.6＝3，
第60百分位数是第三与第四个数的平均数，
即＝103.5．
故选：D．
5．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：由题意可得，在上的投影向量为||cosθ，
∵＝（1，），||＝2，为单位向量，＝（1，0），且与夹角为θ＝，
∴||cosθ＝2×＝．
故选：D．
6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
解：由余弦定理得cosC＝，
把cosC代入a＝bcosC得：a＝b•＝，
∴2a2＝a2+b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
即三角形为直角三角形．
故选：C．
7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是＝．
故选：B．
8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
解：如图，分别取BC，B1C1的中点M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1易证，MN⊥平面ABC．
连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直．
以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz：
由已知得：A（，0，0），C（0，−，0），C1（0，−，），B（0，，0）．
所以＝（，，0），＝（0，0，），＝（0，−1，），
设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），
所以，即，
令x＝1，则y＝﹣，z＝0，故＝（1，−，0）．
设BC1与侧面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．
故选：D．

9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
解：建立如图的坐标系，

则A（0，0），B（2，0），E（2，1），C（2，2），
因为F是线段AE上的点；
故可设F（2a，a）；0≤a≤1；
则＝（2a，a），＝（2a﹣2，a﹣2）；
∴＝2a（2a﹣2）+a（a﹣2）＝5a2﹣6a＝5（a﹣）2﹣；
∴a＝时的取小值：﹣．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝　　．
解：∵z＝（1+i）（1+2i）＝1+3i+2i2＝﹣1+3i，
∴．
故答案为：．
11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为　10　．
解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得 x＝10，
故答案为10．
12．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为　22.5　．

解：由频率分布直方图，得：
[10，20）的频率为（0.02+0.04）×5＝0.3，
[20，25）的频率为0.08×5＝0.4，
∴估计这批产品的中位数为：20+×5＝22.5．
故答案为：22.5．
13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝　　．
解：∵A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，
P（A）＝，P（C）＝，
∴P（B）＝1﹣P（C）＝1﹣＝，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝．
故答案为：．
14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为 　　．
解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，
设正方体的棱长为a，则 6a2＝24，∴a＝2，
设球的半径为R，则：（2R）2＝22+22+22＝12，
则，其体积：．
故答案为：．
15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△AMN与△ABC的面积之比为 　　．
解：设BC的中点为D，则＝＝+，
又，即＝，
∴＝+，
∴x＝，又x+y＝1，∴y＝，
∴＝，即＝，
∴＝＝•＝×＝．
故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.
16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．
（1）求|；
（2）若2与m垂直，求实数m的值．
解：（1）∵||＝2，|＝3，向量与的夹角为，
∴|＝＝＝＝；
（2）由2与m垂直，得（2）•（m）＝0，
∴2m+4+（8+m）•＝0
8m+36+（8+m）×2×3×（﹣）＝0
解得：m＝﹣．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC＝a．
（1）求的值；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
解：（1）由正弦定理，ccosA+acosC＝a可化为：
sinCcosA+cosCsinA＝sinA，
也就是sin（A+C）＝sinA．
由三角形内角和定理得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB．
即sinB＝sinA． 由正弦定理可得b＝a，故．
（2）由a＝1可知b＝1．而，
由余弦定理可知．
又0＜C＜π，于是．
∴＝．
18．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点．求证：
（1）OE∥平面BCC1B1；
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．

【解答】证明：（1）连结BC1．
∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O
∴O为AC1的中点
∵E是AB的中点
∴OE∥BC1；
∵OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1
∴OE∥平面BCC1B1
（2）∵侧面AA1C1C是菱形
∴AC1⊥A1C
∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC
∴AC1⊥平面A1BC
∵BC⊂平面A1BC
∴AC1⊥BC．

19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．
（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；
（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率．
解：（1）设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．
则P（A）＝，P（B）＝，
任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，
则事件C发生的概率P（C）＝P（A）+P（）＝＝．
（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，
甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是＝“甲、乙均没有猜对”，
则事件D发生的概率P（D）＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]
＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．
（1）求异面直线AB与PD所成的角；
（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；
（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．

【解答】（1）解：因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，
则∠PDC即为异面直线AB与PD所成的角，
在△PCD中，PC⊥PD，PC＝PD＝2，
所以∠PDC＝45°，
故异面直线AB与PD所成的角为45°；
（2）证明：平面ABCD⊥平面PCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，
所以AD⊥PC，又PC⊥PD，PD∩AD＝D，
则PC⊥平面PAD，MD⊂平面PAD，
所以PC⊥MD，
因为PD＝AD＝2，M为AP的中点，所以MD⊥AP，
因为PC∩AP＝A，PC，AP⊂平面PAC，则MD⊥平面APC，
又MD⊂平面PAC，故平面ACP⊥平面MCD；
（3）解：由（2）可知，MC⊥MD，PM⊥MD，
则∠CMP为二面角C﹣MD﹣P的平面角，
因为PC＝2，MP＝，
则，
所以cos∠CMP＝＝，
故二面角C﹣MD﹣P的余弦值为．